初等数学--代数2011.pdf

数学基础能力测验 初等数学 代数部分 扈志明 初等数学 代数 考试情况总结 第二部分第二部分 初等代数共初等代数共43题题 一 数与代数式 13道 1 乘方 开方运算 1道 2 绝对值的的概念与性质 1道 3 复数的基本概念与简单运算 7道 4 简单代数公式 4道 二 集合与函数 5 三 代数方程 9道 1 一元二次方程 5道 2 二元一次方程组 1道 3 一元二次函数 4道 四 不等式 1道 五 数列 4道 六 排列与组合 2道 七 概率初步 8道 1 等可能事件的概率 6道 2 简单概率公式 2道 初等数学 代数 内容综述 一一 数和代数式数和代数式 1 1 实数的运算实数的运算 1 1 乘方与开方乘方与开方 乘积与分式的方根乘积与分式的方根 根式的乘方与化简根式的乘方与化简 xyyxxxxyx y x yxyx aabaaba a a aaa 2 2 绝 对 值绝 对 值aaababa aa a aa a 0 0 0 0 abab 初等数学 代数 内容综述 2 2 复数的运算及其复数的运算及其几何意义几何意义 虚数单位虚数单位 实部实部 虚部虚部 共轭复数共轭复数 模模 幅角幅角 2 1i ibaz zaib 22 baz a b tan 加减 111222121212 zaibzaibzzaai bb 数乘 biaz biaz 乘法 1 2121 21 22 1 z za abbi a ba b 除法 11122 22 222 zabi ab i zab 1111 sincos izz 2222 sincos izz sin cos 21212121 izzzz sin cos 2121 2 1 2 1 i z z z z 1 0 zz ba 初等数学 代数 内容综述 3 3 几个常用公式几个常用公式 和与差的平方和与差的平方 和与差的立方和与差的立方 平方差平方差 立方和立方和 立方差等立方差等 222 2 bababa 32233 33 babbaaba 32233 33 babbaaba 22 bababa 2233 babababa 2233 babababa 1 2 1 321 nnn 初等数学 代数 内容综述 二二 集合与函数集合与函数 微积分微积分 1 1 集合运算集合运算 交集交集 并集并集 补集补集 空集空集 全集全集 子集子集 运算律运算律 BABACABACBA CBACBAACABABA I 2 2 函数函数 1 1 概念概念 定义定义 两要素两要素 图形图形 反函数反函数 Dxxfyyx 1 xfy 2 2 简单性质简单性质 有界性有界性 单调性单调性 奇偶性奇偶性 周期性周期性 3 3 幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 含义含义 性质性质 常用公式常用公式 xyxyxyayxy a xa ln lg log a x yxyxyx y x yxxy b b a y log log log lnln lnlnln lnlnln 初等数学 代数 内容综述 三三 代数方程代数方程 1 1 二元一次方程组解的存在性二元一次方程组解的存在性 111 222 a xb yc a xb yc 当当 11 22 ab ab 时时 有唯一解有唯一解 当当 111 222 abc abc 时时 无解无解 当当 111 222 abc abc 时时 无穷多解无穷多解 2 2 一元二次方程一元二次方程 1 1 求根公式求根公式 判别式判别式 0 2 cbxax acb4 2 a acbb x 2 4 2 2 2 根与系数的关系根与系数的关系 a c xx a b xx 2121 3 3 二次函数的图像二次函数的图像 开口开口 对称轴对称轴 顶点坐标顶点坐标 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 22 初等数学 代数 内容综述 四四 不等式不等式 1 1 不等式的基本性质及基本不等式不等式的基本性质及基本不等式 算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 绝对值不等式绝对值不等式 性质性质 0 0 kbkakbakbkakba cbdadbcadcba 基本不等式基本不等式 abba 2 1 baba 2 2 几种常见不等式的解法几种常见不等式的解法 绝对值不等式绝对值不等式 一元二次不等式一元二次不等式 分式不等式分式不等式 指数不等式指数不等式 对数不等式等对数不等式等 0 2 cbxax 0 a axfaxfaxf 0 初等数学 代数 内容综述 五五 数列数列 1 1 数列的概念数列的概念 数列数列 通项通项 前前n项的和项的和 各项的和各项的和 数列与数集的区别数列与数集的区别 21n aaa n k knn aaaaS 1 21 2 2 等差数列等差数列 1 1 概念概念 定义定义 通项通项 前前n项的和项的和 2 2 简单性质简单性质 等差等差 中项公式中项公式 平均值平均值 2 1 2 1 2 1 1 1 21 111 n n nknkn nnnnn aa n aaa aaa dnnnaSdnaadaaa 3 3 等比数列等比数列 1 1 概念概念 定义定义 通项通项 前前n项的和项的和 2 2 简单性质简单性质 等比等比 中项公式中项公式 2 1 1 1 1 1 1 0 nknkn n n n n n n nn aaa q q aSqaaq a a aa 初等数学 代数 内容综述 六六 排列排列 组合组合 二项式定理二项式定理 1 1 分类求分类求和和原理与原理与分步求积分步求积原理原理 2 2 排列与排列数排列与排列数 1 1 定义定义 2 2 公式公式 1 2 1 mnnnnP m n 注注 阶乘阶乘 全排列全排列 mPm m 3 3 组合与组合数组合与组合数 1 1 定义定义 2 2 公式公式 m m m nm n m m m n m n P P CPCP 3 3 基本性质基本性质 0 2 n mn mkn nnn k CCC 4 4 二项式定理二项式定理 n k knkk n n baCba 0 初等数学 代数 内容综述 七七 古典概率问题古典概率问题 1 1 基本概念基本概念 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件 和事件和事件 积事件积事件 互不相容事件互不相容事件 对立事件对立事件 2 2 概率的概念与性质概率的概念与性质 1 1 定义定义 非负性非负性 规范性规范性 可加性可加性 2 2 性质性质 1 0 AP 0 P BAPBPAPBAP 3 3 几种特殊事件发生的概率几种特殊事件发生的概率 1 1 等可能事件等可能事件 古典概型古典概型 n m AP 2 2 互不相容事件互不相容事件 BPAPBAP 对立事件对立事件 1 BPAP 3 3 相互独立事件相互独立事件 BPAPBAP 4 4 独立重复试验独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为如果在一次试验中某事件发生的概率为p 那么在那么在n此独立重复试验中这个事件恰好发此独立重复试验中这个事件恰好发 生生k次的概率为次的概率为 knkk nn ppCkP 1 初等数学 代数 典型例题 一一 数和代数式数和代数式 1 1 若若Cz 且且122 iz 则则iz22 的最小值是的最小值是 B B A A 2 B B 3 C C 4 D D 5 分析分析 1 22 22 iziz表示复数表示复数z对应的对应的点在点在 以 点以 点 2 2 为 圆 心为 圆 心 半 径 是半 径 是1的 圆 周 上的 圆 周 上 22 22iziz 最小最小 是指复数是指复数z对应的点到点对应的点到点 2 2 的距离最短的距离最短 此最短距离为此最短距离为3 初等数学 代数 典型例题 2 2 如果如果 1 x整除整除1 223 axxax 则实数则实数 a D D A 0 A 0 B B 1 1 C 2 C 2 D 2 D 2 或或1 分析分析 1 x能够整除能够整除1 223 axxax说明说明 1 x是是1 223 axxax的一个因子的一个因子 因因 此当此当1 x时时 1 223 axxax的值应为的值应为0 即即 011 2 aa 解得解得 2 a或或 a1 初等数学 代数 典型例题 二二 集合和函数集合和函数 1 1 设设 xf是周期为是周期为2的偶函数的偶函数 且在且在 1 0 上单调递减上单调递减 则则 2 1 2 1 fff 的大小的大小 关系是关系是 A A 2 1 2 1 fff B B 2 2 1 1 fff C C 1 2 2 1 fff C C 2 1 2 1 fff 答答 B B 分析分析 本题考查了函数单调性本题考查了函数单调性 奇偶性及周期性的概念与性质奇偶性及周期性的概念与性质 因为函数因为函数 xf在在 1 0 上单调递减上单调递减 所以所以 0 2 1 1 fff 又因为又因为 xf是周期为是周期为2的的 偶函数偶函数 所以所以 0 2 2 1 2 1 ffff 从而从而 2 2 1 1 fff 故正确选项为故正确选项为 B B 注注 本题利用数形结合的方法会更简单本题利用数形结合的方法会更简单 初等数学 代数 典型例题 2 2 设设 xf是定义在是定义在 上的奇函数上的奇函数 且当且当0 x时时 2 xxxf 则当则当0 x时时 xf A A A A 2 xx B B 2 xx C C xx 2 D D 2 xx 分析分析 本题主要考查了奇函数的概念与性质本题主要考查了奇函数的概念与性质 当当0 x时时 根据奇函数的概念可知根据奇函数的概念可知 22 xxxxxfxf 故正确选项为故正确选项为 A A 注注 因为奇函数的图像关于原点对称因为奇函数的图像关于原点对称 利用选项验证法利用选项验证法 只要画一画只要画一画 2 xxxfy 和和 2 xxy 的图像就可以了的图像就可以了 注注 特殊值代入法特殊值代入法 初等数学 代数 典型例题 3 3 已知已知0 a 函数函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是的图像关于原点对称的充分必要条件是 D D A A 0 b B B 0 c C C 0 d D D 0 db 分析分析 函数函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 xf为为 奇函数奇函数 故其偶次项的系数为故其偶次项的系数为0 即即0 db 注注 也可利用也可利用 1 1 0 0 ff f 求得求得0 db 再说明当再说明当0 db时时 xfy 的图像关于原点的图像关于原点 对称对称 初等数学 代数 典型例题 4 4 设设0 0 ba 且且abba7 22 那么那么 3 1 lnba B B A A ln ln 2 1 ba B B ln 2 1 ab C C ln ln 3 1 ba D D ln 3 1 ab 分析分析 由于由于0 0 ba 所以选项所以选项 A C A C 不正确不正确 根据根据 9 2 ln 2 1 3 1 ln 2 1 3 1 ln 22 2 abba baba 及及abba7 22 可知可知 3 1 lnba ln 2 1 ab 初等数学 代数 典型例题 三三 代数方程和简单的超越方程代数方程和简单的超越方程 1 1 设设0 c 若若 21 x x是方程是方程0 2 cbxx的两个根的两个根 求求 2 1 1 2 21 2 2 2 1 x x x x xxxx 3 2 3 1 xx 分析分析 根据韦达定理可知根据韦达定理可知 cxxbxx 2121 所以所以 cbxxxxxx22 2 21 2 21 2 2 2 1 cbxxxxxxxx42 2 21 2 2 2 1 2 2121 c cb xx xx x x x x2 2 21 2 1 2 2 2 1 1 2 33222 12121122 3 xxxxxx xxbcb 初等数学 代数 典型例题 2 2 指数方程组指数方程组 632 1624 yx yx 的解的解 A A A A 只有一组只有一组 B B 只有两组只有两组 C C 有无穷多组有无穷多组 D D 不存在不存在 分析分析 在方程组在方程组 632 1624 yx yx 中每个方程的两端取对数中每个方程的两端取对数 得得 6ln3ln2ln 16ln2ln4ln yx yx 由于由于x与与y的系数不成比例的系数不成比例 所以此方程组只有一组解所以此方程组只有一组解 初等数学 代数 典型例题 四四 不等式不等式 已知集合已知集合 32 xxA 集合集合 0 1 2 axaxxB 若若AB 求求a 得取值范围得取值范围 分析分析 2 11 2 4 1 1 2 2 1 aaaaa x 当当1 a时时 1 xaxB 当当1 a时时 1 axxB 所以当所以当1 a时时 不会有不会有AB 当当1 a时时 若若AB 则则5 a 初等数学 代数 典型例题 五五 数列数列 1 1 设设 n a是一等差数列是一等差数列 且且 231011 64aaaa 求求 76 aa 和和 12 S 分析分析 由于由于 76 aa 112103 aaaa 所以所以 76 aa 32 2 111032 aaaa 192 6 7612112112 aaaaaaS 初等数学 代数 典型例题 2 2 设设 n a是一等比数列是一等比数列 且且48 12 53 aa 求求 101 a a和和 62a a 分析分析 设数列设数列 n a的公比为的公比为q 则则4 2 3 5 q a a 所以所以 3 4 12 2 3 1 q a a 153623 99 110 qaa 或或 1536 2 3 99 110 qaa 5764812 5362 aaaa 初等数学 代数 典型例题 六六 排列排列 组合组合 二项式定理二项式定理 1 1 5 5 个男生和个男生和 2 2 个女生拍成一排照相个女生拍成一排照相 1 1 共有多少种排法共有多少种排法 7 7 P 2 2 男生甲必须站在一端男生甲必须站在一端 且两女生必须相邻且两女生必须相邻 有多少种排法有多少种排法 2 2 5 5 2 2 PPP 2 2 100100 件产品中件产品中 只有只有 3 3 件次品件次品 从中任取从中任取 3 3 件件 1 1 恰有一件次品的取法有多少种恰有一件次品的取法有多少种 2 97 1 3C C 2 2 至少有一件次品的取法有多少种至少有一件次品的取法有多少种 3 97 3 100 CC 3 3 至多有两件次品的取法有多少种至多有两件次品的取法有多少种 3 3 3 100 CC 初等数学 代数 典型例题 3 3 求求 9 21 x 展开式中所有无理项系数之和展开式中所有无理项系数之和 分析分析 无理项指的是无理项指的是x的指数是非整数的项的指数是非整数的项 根据二项式定理可知要求的和为根据二项式定理可知要求的和为 9 9 97 9 75 9 53 9 31 9 22222CCCCCS 4 4 如果如果 7 1 ax 的展开式中的展开式中 3 x的系数等于的系数等于 25 7 那么那么a的值是的值是 A A 5 B B 5 C C 5 1 D D 5 1 答答 D D 分析分析 本题考查了二项式定理的展开式本题考查了二项式定理的展开式 由于由于 7 0 7 7 1 1 k kkkk xaCax 所以所以3 k对应的项是对应的项是 33333 7 35xaxaC 根据题意根据题意 可知可知 25 7 35 3 a 所以所以 5 1 a 故正确选项为故正确选项为 D D 初等数学 代数 典型例题 七七 古典概率问题古典概率问题 1 1 在在 100100 件产品中件产品中 只有只有 5 5 件次品件次品 从中任取两件从中任取两件 1 1 两件都是合格品的概率是多少两件都是合格品的概率是多少 2 100 2 95 C C 2 2 两件都是次品的概率是多少两件都是次品的概率是多少 2 100 2 5 C C 3 3 一件是合格品一件是合格品 一件是次品的概率是多少一件是次品的概率是多少 2 100 1 95 1 5 C CC 2 2 甲甲 乙两人各投篮一次乙两人各投篮一次 如果两人投中的概率分别是如果两人投中的概率分别是6 0和和5 0 1 1 两人都投中的概率是多少两人都投中的概率是多少 5 06 0 2 2 恰有一人投中的概率是多少恰有一人投中的概率是多少 5 04 05 06 0 3 3 至少有一人投中的概率是多少至少有一人投中的概率是多少 5 04 01 初等数学 代数 典型例题 3 3 将将 1010 个球等可能地放到个球等可能地放到 1515 个盒子中去个盒子中去 求下列事件的概率求下列事件的概率 1 1 某指定的某指定的 1010 个盒子中各有个盒子中各有 1 1 个球个球 10 15 10 2 2 正好有正好有 1010 个盒子中各有个盒子中各有 1 1 个球个球 10 10 15 15 10 C 初等数学 代数 样题与真题 一一 数与代数式数与代数式 1313 一一 乘方乘方 开放运算开放运算 1 1 200320030909 已知实数已知实数x和和y满足条件满足条件1 999 yx和和1 1000 yx 则则 10001000 yx 的的 值是值是 A A 1 B B 0 C C 1 D D 2 答答 C C 分析分析 本题是本题是 20032003 年的一道考题年的一道考题 主要考查了简单的开方和乘方运算主要考查了简单的开方和乘方运算 由于由于1 999 yx 所以所以1 yx 而由而由1 1000 yx可知可知1 yx或或1 yx 解解 方程组方程组 1 1 yx yx 和和 1 1 yx yx 得得 1 0 y x 和和 0 1 y x 从而从而 1 10001000 yx 故正确选项为故正确选项为 C C 初等数学 代数 样题与真题 二二 绝对值的绝对值的概念与性质概念与性质 1 1 200420040707 实数实数cba 在数轴上的位置如下图表示在数轴上的位置如下图表示 图中图中O为原点为原点 则代数式则代数式 ccaabba A A ca23 B B caba2 C C ba2 D D a3 答答 A A 分析分析 本题是本题是 20042004 年的一道考题年的一道考题 主要考查了实数与数轴上点的对应关系及绝对值的主要考查了实数与数轴上点的对应关系及绝对值的 概念概念 本题的关键就是要正确去掉绝对值符号本题的关键就是要正确去掉绝对值符号 从题中图上可知从题中图上可知 cab 0 所以所以 cacacbabaccaabba23 故正确选项为故正确选项为 A A c O a b 初等数学 代数 样题与真题 三三 复数的基本概念与简单运算复数的基本概念与简单运算 7 7 1 1 200420040909 zarg表示表示z的幅角的幅角 今又今又 21arg 2arg ii 则则 sin D D A A 5 4 B B 5 3 C C 5 4 D D 5 3 分析分析 如图如图 易知易知 5 1 cos 5 2 sin 5 2 cos 5 1 sin 所以所以 5 3 sincoscossin sin 故正确选项为故正确选项为 D D 1 2 2 1 初等数学 代数 样题与真题 2 2 200520050707 复数复数 2 1 ziz 的模 A A 4 B4 B 2 22 C C 2 D2 D 2 分析分析 因为因为21 i 所以所以21 1 2 2 ii 即正确选项为即正确选项为 C C 初等数学 代数 样题与真题 3 200808 i是虚数单位是虚数单位 6 1 i 的模等于的模等于 A A 64 B64 B 26 C C 8 D8 D 22 分析分析 本题时代数题本题时代数题 考查了复数模的概念与计算考查了复数模的概念与计算 6 66 1 1 2 8ii 故正确选项为故正确选项为 C C 初等数学 代数 样题与真题 4 4 200720070707 复数复数z 1234567 iiiiiii 则则 zi C C A A 2 2 B B 3 C C 2 D D 1 1 分析分析 考查虚数单位考查虚数单位i的正整数幂的周期性规律的正整数幂的周期性规律 因为因为 1234 1 1ii iii i 所以所以 234567 1 1 1 1iiiiiiiiiii 从从 而而 2zi 初等数学 代数 样题与真题 5 5 200620060606 复数复数 i z 1 的共轭复数的共轭复数z是是 A A i B B i C C 1 D 1 D 1 答答 A A 分析分析 本题是代数题本题是代数题 考查复数的基本概念考查复数的基本概念 由于由于i i z 1 所所 以以iz 初等数学 代数 样题与真题 6 6 20092009 若复数若复数 1 1 1z i 23 2 25zii 则则 12 zz A A 3 B B 4 C C 5 D D 2 2 分析分析 本题是初等代数题本题是初等代数题 考查了复数的基本概念与简单运算考查了复数的基本概念与简单运算 1 1 11zi i 23 2 2525ziii 12 345zzi 正确选项为正确选项为 C C 初等数学 代数 样题与真题 7 7 201020100909 若复数若复数 23 2 11 1 iii ii z 则则z A A 2 B B 2 2 C C 1 D D 2 答答 A A 分析分析 因为因为 23 2 11 111 11ziiiiiii ii 所以所以 12zi 初等数学 代数 样题与真题 四四 简单代数公式简单代数公式 4 4 1 1 200520050505 已知已知510 xyzy 且 则则 222 xyzxyyzzx A A 50 50 B B 75 75 C C 100 100 D D 105105 答答 B B 分析分析 本题是本题是 20052005 年的一道考题年的一道考题 主要考查了两数差的平方公式主要考查了两数差的平方公式 根据题中条件根据题中条件 如何将平方项及交叉乘积项与两数之差联系起来是求解本题的关键如何将平方项及交叉乘积项与两数之差联系起来是求解本题的关键 由于由于10 5 yzyx 所以所以5 xz 从而从而 75 2 1 222222 xzyzyxzxyzxyzyx 故正确选项为故正确选项为 B B 注注 特殊值代入法特殊值代入法 令令0 y 初等数学 代数 样题与真题 2 2 200520050202 设设p为正数为正数 则则 2 99 xpx A A 9 11 xx B B 9 11 xx C C 9 11 xx D D 9 11 xx 分析分析 选项 验证法选项 验证法 由 于由 于9920 11 9 2 xxxx 992 11 9 2 xxxx 992 11 9 2 xxxx 9920 11 9 2 xxxx 根据题意便知正确选项为根据题意便知正确选项为 C C 初等数学 代数 样题与真题 3 3 200720071111 当当1x 和和2x 时时 2 1 3212 xmn xxxx 恒成立恒成立 则则 A A A A 2 3mn B B 3 2mn C C 2 3mn D D 3 2mn 分析分析 考查分式运算考查分式运算 因式分解因式分解 待定系数法等待定系数法等 2 1 3212 xmn xxxx 2 2 1 2 1 2 32 m xn xmn xmn xxxx 所以所以 2 1mn xmnx 于是比较系数得于是比较系数得1 21mnmn 解得解得 2 3mn 注注 特殊值代入法特殊值代入法 令令 1x 得得 0 23 mn 令令 0 x 得得 1 22 n m 解得解得 2 3mn 初等数学 代数 样题与真题 4 4 200720071414 对任意两个实数对任意两个实数 a b 定义两种运算定义两种运算 aab ab bab 若 若 和和 bab ab aab 若 若 则算式则算式 575 和算式和算式 577 分别等于分别等于 D D A A 7 7 和和 5 5 B B 5 5 和和 5 5 C C 7 7 和和 7 7 D D 5 5 和和 7 7 分析分析 考查对新定义的数学概念与运算的理解能力考查对新定义的数学概念与运算的理解能力 5 aaa if ab abaa baa if ab 7 bbb if ab abbb abb if ab 初等数学 代数 样题与真题 5 5 样题样题 在连乘式在连乘式 5 4 3 2 1 xxxxx展开式中展开式中 4 x前面的系数为前面的系数为 A A 13 B B 14 C C 15 D D 16 答答 C C 分析分析 本题主要考查了连因式的乘法运算本题主要考查了连因式的乘法运算 弄清乘开后所得弄清乘开后所得 5 5 次多项式中的每一项如次多项式中的每一项如 何构成是处理此题的关键何构成是处理此题的关键 类似的问题曾经在线性代数部分考过两类似的问题曾经在线性代数部分考过两次次 5 4 3 2 1 xxxxx展开式中展开式中 4 x是由一个因子中的常数与其他四个因子中的是由一个因子中的常数与其他四个因子中的 x相乘得到的相乘得到的 所以共有所以共有 5 5 部分含有部分含有 4 x因子因子 它们是它们是 44444 2 3 4 5xxxxx 因此因此 4 x前面的系前面的系 数为数为1565 2 1 54321 故正确选项为故正确选项为 C C 6 6 求阶乘不超过求阶乘不超过200的最大整数的最大整数 A A 3 B B 4 C C 5 D D 6 初等数学 代数 样题与真题 二二 集合与函数集合与函数 5 5 1 1 200720070101 集合集合 0 0 1 1 2 2 3 3 的子集的个数为的子集的个数为 C C A A 1414 B B 1515 C C 1616 D D 1818 分析分析 考查集合概念考查集合概念 子集计数子集计数 由由 1 1 个元素构成的子集个元素构成的子集 4 4 个个 由由 2 2 个元素构成的子集个元素构成的子集 6 6 个个 由由 3 3 个元素构成的子集个元素构成的子集 4 4 个个 再加上空集与全集再加上空集与全集 共共 4 6 4 2 164 6 4 2 16 个个 一般地一般地 n个元素的集合所有的子集个数个元素的集合所有的子集个数 为为2n 初等数学 代数 样题与真题 2 2 200320030808 函数函数 1 xfy 与与 1 xfy 的图形关于的图形关于 C C A A 直线直线1 x对称对称 B B 直线直线1 x对称对称 C C 直线直线0 x对称对称 D D 直线直线0 y对称对称 分析分析 记记 1 1 xfxhxfxg 由于由于 1 1 xhxfxfxg 所以曲线所以曲线 xgy 上的点上的点 xgx关于直线关于直线0 x的对称点的对称点 xhxxgx 在曲线在曲线 xhy 上上 即函数即函数 1 xfy 与与 1 xfy 的的 图形关于直线图形关于直线0 x对称对称 故正确选项为故正确选项为 C C 注注 作为选择问题作为选择问题 利用特殊值代入法处理本题是利用特殊值代入法处理本题是 最有效的最有效的 如取如取xxf 则则xxfy 1 1 与与 xxfy 1 1 是两条关于是两条关于y对称的直线对称的直线 初等数学 代数 样题与真题 3 3 样题样题 设函数设函数 1 x x xf 1 0 xx 则则 1 xf f A A A A x 1 B B x 1 1 C C 1 x x D D 1 x 分析分析 x x x x x xf xf xf f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 xx 初等数学 代数 样题与真题 4 4 样题样题 函数函数 1ln 2 xxxf 是是 B B A A 周期函数周期函数 B B 奇函数奇函数 C C 偶函数偶函数 D D 单调减少函数单调减少函数 分析分析 1ln 1 1 ln 1ln 2 2 2 xfxx xx xxxf 注注 排除法与特殊值代入法排除法与特殊值代入法 0 12ln 1 0 12ln 1 ff 注注 2 1 1 fx x 初等数学 代数 样题与真题 5 5 20092009 分析分析 本题是初等代数题本题是初等代数题 考查了函数的简单性质考查了函数的简单性质 周期性周期性 根 据 周 期 函 数 的 概 念 可 知根 据 周 期 函 数 的 概 念 可 知 2009 20093 670 1 fff 3 0 ff 4 1 ff 所以所以 1 2009 2 1 2 1 2 3 4 0 1 1 2 fff ffff 正确选项为正确选项为 C C 初等数学 代数 样题与真题 6 6 201020100808 函数函数 f x是奇函数是奇函数 g x是以是以4为周期的周期函数为周期的周期函数 且且 2 2 6fg 若若 2 0 2 2 1 20 2 2 fg fg gf 则则 0 g A A 2 B B 1 C C 0 D D 1 答答 A A 分析分析 因为因为 f x是奇函数是奇函数 所以所以 0 0f 且由且由 2 6f 知知 2 6f 又又 2 6g 所所 以以 22 0 2 2 12 20 2 120 fg fgg gfg 由于由于 g x的周期为的周期为4 所以所以 12 120 0 ggg 由题设知由题设知 2 0 1 2 0 g g 解得解得 0 2g 初等数学 代数 样题与真题 7 201011 答 A 分析 根据所剩面积变化的对称性 及所剩面积的最小值为3 利用排除法即知正确选项为 A 初等数学 代数 样题与真题 三三 代数方程和简单的超越方程代数方程和简单的超越方程 9 9 一一 一元二次方程一元二次方程 4 4 1 1 200420040808 已知已知1 ab 且满足且满足0320082 2 aa和和0220083 2 bb 则则 B B A A 023 ba B B 032 ba C C 023 ba D D 032 ba 分析分析 本题是本题是 20042004 年的一道考题年的一道考题 主要考查了一元二次方成的求根公式主要考查了一元二次方成的求根公式 根据求根公式得根据求根公式得 6 2420082008 4 2420082008 22 ba 当当 6 2420082008 4 2420082008 22 ba时时 易知易知1 ab 不满足条件不满足条件 类似可类似可 知知 6 2420082008 4 2420082008 22 ba也不满足条件也不满足条件 所以所以ba 表达式中根号表达式中根号 前的符号一致前的符号一致 从而从而032 ba 故正确选项为故正确选项为 B B 初等数学 代数 样题与真题 2 2 200814 200814 两个正数两个正数 baba 的算术平均值是其几何平均值的的算术平均值是其几何平均值的 2 2 倍倍 则与则与 b a 最接最接 近的整数是近的整数是 A A 12 B12 B 1313 C C 14 D14 D 1515 分析分析 本题是代数题本题是代数题 考查了算术平均数与几何平均数的概念考查了算术平均数与几何平均数的概念 一元二次方程的性一元二次方程的性 质质 根据题意得根据题意得 2 2 ab ab 所以所以 2 1410 aa bb 解得解得74 3 a b 负号负号 舍去舍去 即与即与 a b 最接近的整数是最接近的整数是14 故正确选项为故正确选项为 C C 初等数学 代数 样题与真题 3 3 200620060404 方程方程 2 2006 2007xx 所有实数根的和等于所有实数根的和等于 C C A A 2006 B 2006 B 4 4 C C 0 D 0 D 20062006 解解 1 1 方程方程 2 2006 2007xx 等价于等价于 方程方程 2 2006 20070 xx 显然显然 该二次方该二次方 程必有实数根程必有实数根 又由于该方法的左端关于正又由于该方法的左端关于正 负负x的值不变的值不变 通常称为关于正通常称为关于正 负负x 是对称的是对称的 因此因此 若若x是方程的一个根是方程的一个根 则则x 也为其根也为其根 因此因此 方程的根成对出现方程的根成对出现 且互为相反数且互为相反数 而每一对相反数之和为而每一对相反数之和为 0 0 所以方程所以方程 2 2006 2007xx 所有实数根之所有实数根之 和等于和等于0 解解 2 2 亦可利用二次代数方程求解亦可利用二次代数方程求解 由二次方程根与系数的关系由二次方程根与系数的关系 方程方程 2 2006 20070 xx 之根为之根为 2 200620064 2007 2 x 由绝对值性质可知由绝对值性质可知 则原方程的根满足条件为则原方程的根满足条件为 2 100310032007x 该方程之根为该方程之根为 2 1 100310032007x 2 2 100310032007x 所以方程所以方程20072006 2 xx的所有实数根之和的所有实数根之和 12 0 xx 初等数学 代数 样题与真题 4 4 200720070909 两个不等的实数两个不等的实数a与与b 分别满足分别满足 2 31xx 则则 22 ba ab 的值等于的值等于 C C A A 18 B B 18 18 C C 36 D D 3636 分析分析 考查韦达定理考查韦达定理 基本乘法公式基本乘法公式 代数式求值代数式求值 两个不等的实数两个不等的实数a与与b 分别是二次方程分别是二次方程 2 310 xx 的两个实数根的两个实数根 根据韦达定理根据韦达定理 得得3 1abab 所以所以 22 ba ab 332 3 baababab abab 2 3 33 1 3 12 36 1 1 初等数学 代数 样题与真题 5 5 20092009 若两个正数的等差中项为若两个正数的等差中项为15 等比中项为等比中项为12 则这两数之差的绝对值等于则这两数之差的绝对值等于 A A 7 B B 9 C C 10 D D 18 分析分析 本题是初等代数题本题是初等代数题 考查了等比考查了等比 等差数列的概念和基本的代数公式及简单的变形方式等差数列的概念和基本的代数公式及简单的变形方式 设两个正数分别为设两个正数分别为 a b 则则 2 2 15 12 ab ab 所以所以 22 490057632418abababab 正确选项为正确选项为 D D 另解另解 由由 2 2 15 12 ab ab 得得 2 30144 24 6 0bbbb 进一步得进一步得 6 24 a b 或或 24 6 a b 所以所以18ab 初等数学 代数 样题与真题 二二 二元一次方程组二元一次方程组 1 1 200704200704 方程方程2 20 xyxy 的的解解为为 D D A A 2 0 y x B B 1 3 y x C C 3 2 y x D D 4 2 x y 分析分析 考查绝对值考查绝对值 根式的概念及简单代数方程求解根式的概念及简单代数方程求解 由由2 20 xyxy 得等价联立方程得等价联立方程 20 20 xy xy 即即 20 20 xy xy 求解得求解得 4 2 x y 注注 作为选择题作为选择题 选项验证法可能是本题最直接的解法选项验证法可能是本题最直接的解法 初等数学 代数 样题与真题 三三 一元二次函数一元二次函数 5 5 1 1 200320030707 函数函数 0 2 acbxaxy在在 0 上单调减的充要条件是上单调减的充要条件是 A A 0 a 且且0 b B B 0 a 且且0 b C C 0 a 且且0 b D D 0 a 且且0 b 答答 D D 分析分析 本题式年的一道考题本题式年的一道考题 主要一元二次函数单调性与其图像的开口和对称轴的关主要一元二次函数单调性与其图像的开口和对称轴的关 系系 函数函数 0 2 acbxaxy在在 0 上单调减意味着其图像的开口朝上和顶点的横上单调减意味着其图像的开口朝上和顶点的横 坐标非负坐标非负 所以所以0 a且且 0 2 a b 故故0 a 且且0 b 即正确选项为即正确选项为 D D 注注 如果不会做时如果不会做时 您也不要猜选项您也不要猜选项 A A 或选项或选项 B B 因为您肯定知道开口朝下的抛物线不会因为您肯定知道开口朝下的抛物线不会在在 0 上单调减上单调减 初等数学 代数 样题与真题 2 2 200620061515 设二次函数设二次函数cbxaxxf 2 的对称轴为的对称轴为1 x 其图像过点其图像过点 2 2 0 0 则则 1 1 f f A A 3 B B 2 C C 2 D D 3 答答 D D 分析分析 本题是本题是 20062006 年的一道考题年的一道考题 考查了一元二次函数图像的对称轴和数的简单运算考查了一元二次函数图像的对称轴和数的简单运算 根据题意根据题意024 1 2 cba a b 所以所以2 0 a b c 从而从而 3 1 3 1 1 1 1 a b a b ba ba f f 故正确选项为故正确选项为 D D 注注 本题不用对称轴方程更直接本题不用对称轴方程更直接 由由0 0 f 您一定要知道为什么您一定要知道为什么 得得0 c 由由0 2 f 得得2 a b 以下以下步骤上面都有步骤上面都有 初等数学 代数 样题与真题 3 2008053 200805 抛物线抛物线34 2 xxy的图象不经过的图象不经过 A A 第一象限第一象限 B B 第二象限第二象限 C C 第三象限第三象限 D D 第四象限第四象限 分析分析 本题时代数题本题时代数题 考查了抛物线的开口方向考查了抛物线的开口方向 对称轴方对称轴方 程和顶点坐标程和顶点坐标 由 于 抛 物 线由 于 抛 物 线 2 43yxx 的 开 口 朝 下的 开 口 朝 下 对 称 轴 是对 称 轴 是 2 2 b x a 顶点坐标为顶点坐标为 2 1 所以此抛物线只可能不经过第二象限所以此抛物线只可能不经过第二象限 故正确选项为故正确选项为 B B 初等数学 代数 样题与真题 4 4 20092009 分析分析 本题是初等代数题本题是初等代数题 考查了一元二次函数的图像考查了一元二次函数的图像 开口与对称轴开口与对称轴 也是一个考过多次的问题也是一个考过多次的问题 由图知抛物线的开口朝上且对称轴为由图知抛物线的开口朝上且对称轴为2x 在四个选项中只有在四个选项中只有 2 45yxx 符合题意符合题意 正确选项为正确选项为 B B 注注 1 1 本题的做法实际上就是选项验证法本题的做法实际上就是选项验证法 注注 2 2 利用利用 1 5 0ff 及选项验证法处理本题也较简单及选项验证法处理本题也较简单 初等数学 代数 样题与真题 5 5 201006201006 若图中给出的函数若图中给出的函数 2 yxaxa 的图像与的图像与x轴相切轴相切 则则a A A 0 B B 1 C C 2 D D 4 y x 答答 D D 分析分析 由于由于 2 yxaxa 的图像与的图像与x轴相切轴相切 所以方程所以方程 2 0 xaxa 有重根有重根 故故 2 40aa 由图知由图知0a 所以所以4a 初等数学 代数 样题与真题 6 6 样题样题 设设30 x 则函数则函数2 2 2 xy的最大值为的最大值为 C C A A 2 B B 1 C C 2 D D 3 分析分析 如图如图 最大值只可能在端点取到最大值只可能在端点取到 0 50 511 522 53 x 2 1 1 y 初等数学 代数 样题与真题 四四 不等式不等式 1 1 20042004 设设cba 均为正数均为正数 若若 ac b cb a ba c 则则 A A bac B B acb C C cba D D abc 答答 A A 分析分析 本题是本题是 20042004 年的一个考题年的一个考题 主要考查了分数运算与不等式的简单性质主要考查了分数运算与不等式的简单性质 因为因为 ac b cb a ba c 所以所以 abbcac cab 从而从而111 abbcac cab 故故 cab 即即正确选项为正确选项为 A A 2 2007 曲线曲线 1 yx x 上的点与单位圆上的点与单位圆 22 1xy 上的点之间的最短距离为上的点之间的最短距离为d 则则 D A 1d B 0 1d C 2d D 1 2d 分分析析 因为该因为该曲线上的点与单位圆周曲线上的点与单位圆周 22 1xy 上的点之间的上的点之间的最短最短距离距离 等于原点到曲线的最短距离等于原点到曲线的最短距离 减圆的半径减圆的半径 常数常数 2 222 2 11 22lxxxx xx 2 2 1 222 22x x 其最小值其最小值 2 222 2321l 所求的最短距离为所求的最短距离为d 满足条件满足条件 12dl 初等数学 代数 样题与真题 五五 数列数列 3 3 1 1 200520050808 三个不相同的非三个不相同的非0实数实数 a b c成等差数列成等差数列 又又bca 恰成等比数列恰成等比数列 则则 a b 等于等于 A A A A 4 B B 2 C C 4 D D 2 分析分析 根据条件可知根据条件可知abccab 2 2 从而从而 2 b c b a b c b c b c b a 2 2 由于由于1 b c 所以解得所以解得 2 b c 4 b a 即正确选项为即正确选项为 A A 注注 根据条件根据条件 2 cab 所以所以0 b a 故选项故选项 C C D D 可被排除可被排除 又有又有cab 2可知可知 b c b a 2 且且0 b c 故故2 b a 这样选项这样选项 B B 也被排除也被排除 故正确选项为故正确选项为 A A 初等数学 代数 样题与真题 2 2 200620061414 设设n为正整数为正整数 在在 1 1 与与1 n之间插入之间插入n个正数个正数 使这使这2 n个数成等比数个数成等比数 列列 则所插入的则所插入的n个正数之积等于个正数之积等于 A A 2 1 n n B B n n 1 C C n n 2 1 D D n n 3 1 答答 A A 分析分析 本题是代数题本题是代数题 考查了乘方运算的性质考查了乘方运算的性质 等比数列的概念和通项公式等比数列的概念和通项公式 设此等比数列的公比为设此等比数列的公比为q 则则1 1 nq n 即即 1 1 1 nnq 所以所以 2 1 2 1 32 1 n nn n nqqqqq 注注 特殊值代入法特殊值代入法 取取1n 则数列为则数列为1 2 2 插入的数为插入的数为 1 2 2 1 1 即只有选项即只有选项 A A 满足满足 初等数学 代数 样题与真题 3 3 201020100505 在实验室密闭容器中培育某种细菌在实验室密闭容器中培育某种细菌 如果该细菌每天的密如果该细菌每天的密 度增长度增长1倍倍 它在它在20天内密度增长到天内密度增长到4百万株百万株 3 m 那么该细菌密度增那么该细菌密度增 长到长到 1 4 百万株百万株 3 m时用了时用了 天天 A A 2 B B 4 C C 8 D D 1616 答答 D D 分析分析 假设第一天的细菌密度是假设第一天的细菌密度是a 由题意可知第由题意