可达矩阵快速算法.doc

传递闭包Warshall方法计算可达矩阵简要介绍 在集合X上的二元关系R的传递闭包是包含R的X上的最小的传递关系。R的传递闭包在数字图像处理的图像和视觉基础、图的连通性描述等方面都是基本概念。一般用B表示定义在具有n个元素的集合X上关系R的nn二值矩阵，则传递闭包的矩阵B+可如下计算： B+ = B + B2 + B3 + + (B)n 式中矩阵运算时所有乘法都用逻辑与代替，所有加法都用逻辑或代替。上式中的操作次序为B，B(B)，B(BB)，B(BBB)，所以在运算的每一步我们只需简单地把现有结果乘以B，完成矩阵的n次乘法即可。 /ism/cal_warshall_get_r_mat_detail.phpWarshall在1962年提出了一个求关系的传递闭包的有效算法。其具体过程如下，设在n个元素的有限集上关系R的关系矩阵为M：（1）置新矩阵A=M;（2）置k=1;（3）对所有i如果Ai,k=1，则对j=1.n执行：Ai,jAi,jAk,j;（4）k增1;（5）如果kn，则转到步骤（3），否则停止。所得的矩阵A即为关系R的传递闭包t(R)的关系矩阵。在离散数学中都提及了该算法。Warshall算法映射到有向图中设关系R的关系图为G，设图G的所有顶点为u1,u2,un，则t(R)的关系图可用该方法得到：若G中任意两顶点ui和uj之间有一条路径且没有ui到uj的弧，则在图G中增加一条从ui到uj的弧，将这样改造后的图记为G，则G即为t(R)的关系图。G的邻接矩阵A应满足：若图G中存在从ui到uj路径，即ui与uj连通，则Ai,j=1，否则Ai,j=0。 这样，求t(R)的问题就变为求图G中每一对顶点间是否连通的问题。相乘矩阵，就为所有节点的关系图，也就是当前条件下的关系矩阵。对于相乘矩阵，进行叠代，叠代的过程为，行取值，然后计算值中对应的每一行的值取并集，得到当前行的关系集合。取完所有行，得到了一个新的转移矩阵再对转移矩阵进行进行求解。Warshall的叠代次数比逐次平方法的运行效率要高。如果图中的顶点是有序的排列，只要进行一次Warshall运算就可以获得可达矩阵。您输入原始矩阵 matrix_A 为一个方阵结果如下abcdefga11b11c1d1e1f1g1第 1 次迭代 当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b 5号要素 f 的可达集合c，f 0号要素 a 的可达集合b，f，a 当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b ） 2号要素 c 的可达集合b，c 4号要素 e 的可达集合f，e 1号要素 b 的可达集合c，e，b 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ） 当前2号要素 c 的可达集合（b，c ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 2号要素 c 的可达集合b，c 当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ） 当前3号要素 d 的可达集合（a，d ） 0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e 3号要素 d 的可达集合a，d 当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 当前4号要素 e 的可达集合（f，e ） 5号要素 f 的可达集合c，f 4号要素 e 的可达集合f，e 当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c ） 当前5号要素 f 的可达集合（c，f ） 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 5号要素 f 的可达集合c，f 当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 当前6号要素 g 的可达集合（b，g ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 6号要素 g 的可达集合b，g 当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）第 1 次迭代 得到的转移矩阵如下：abcdefga11111b1111c1111d111111e111f1111g11111第 2 次迭代 当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c 当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ） 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ） 当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ） 当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e 3号要素 d 的可达集合a，d，b，f，c，e 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c 当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c ） 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 4号要素 e 的可达集合f，e，c 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ） 当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c，b 当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 6号要素 g 的可达集合b，g，c，e，f 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c，b 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）第 2 次迭代 得到的转移矩阵如下：abcdefga11111b1111c1111d111111e1111f1111g11111第 3 次迭代 当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c，b 当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ） 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c，b 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ） 当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c，b 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ） 当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e 3号要素 d 的可达集合a，d，b，f，c，e 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c，b 当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ） 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 4号要素 e 的可达集合f，e，c，b 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ） 当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f 4号要素 e 的可达集合f，e，c，b 当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ） 1号要