四川省绵阳市2016届高三上学期第一次诊断数学试卷(文科) Word版含解析.doc

2015-2016学年四川省绵阳市高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是符合题目要求的1集合S=3，4，5，T=4，7，8，则ST=（）A4B3，5，7，8C3，4，5，7，8D3，4，4，5，7，82命题“x0N，x02+2x03”的否定为（）Ax0N，x02+2x03BxN，x2+2x3Cx0N，x02+2x03DxN，x2+2x33已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是（）A2BC2D644若a，b，cR，且abc0，已知P：a，b，c成等比数列；Q：b=，则P是Q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5下列四个函数中，最小正周期为，且关于直线x=对称的函数是（）Ay=sin（）By=sin（）Cy=sin（2x）Dy=sin（2x+）6在等差数列an中，若a4+a9+a14=36，则2a10a11=（）A6B12C24D367在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2=，sinA=2，则cosC=（）ABCD8若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值为（）A1B2C3D49设函数y=f（x），xR满足f（x+1）=f（x1），且当x（1，1时，f（x）=1x2，函数g（x）=，则h（x）=f（x）g（x）在区间6，9内的零点个数是（）A15B14C13D1210直角ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）则|最大值是（）ABCD二、填空题：每小题5分，共25分11函数f（x）=的定义域为12求值：tan20+tan40+tan20tan40=13已知函数f（x）=其中a0，a1，若对任意的x1，x2R，x1x2，恒有f（x1）f（x2）（x1x2）0，则实数a的取值范围14已知a，b满足log2alogb=1，则（1+2a）（1+b）的最小值为15设集合M是实数集R的一个子集，如果点x0R满足：对任意0，都存在xM，使得0|xx0|，称x0为集合M的一个“聚点”若由集合：有理数集；无理数集；sin|nN*；|nN*其中以0为“聚点”的集合是（写出所有符合题意的结论序号）三、解答题：共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知向量=（cos，1sin），=（cos，sin）（R）（1）若，求角的值；（2）若|=，求cos2的值17已知数列an的首项a1=1，且an+1=2an+1（nN*）（1）证明数列an+1是等比数列，并求an的通项公式；（2）记bn=，求数列bn的前n项和Sn18某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐奖学金共50万元，该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人（1）当a=10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过0.8万元？请说明理由 （2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？19已知如图，在RtABC中，A=60，AB=6，点D、E是斜边AB上两点（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等点时，求的值；（2）当点D、E在线段AB上运动时，且DCE=30，设ACD=，试用表示DCE的面积S，并求S的最小值20已知f（x）=ax3+bx2+cx1的导函数为f（x），且不等式f（x）0的解集为x|2x1（1）若函数f（x）在x=2处的切线斜率是3，求实数a的值；（2）当x3，0时，关于x的方程f（x）ma+1=0恰有两个实数根，求实数m的取值范围21己知函数f（x）=lnxax+l，其中aR（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1x2，证明：；（3）是否存在kZ，使得f（x）+ax2k（1一）对任意xl恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由2015-2016学年四川省绵阳市高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是符合题目要求的1集合S=3，4，5，T=4，7，8，则ST=（）A4B3，5，7，8C3，4，5，7，8D3，4，4，5，7，8【考点】并集及其运算【分析】由已知条件利用并集的定义直接求解【解答】解：集合S=3，4，5，T=4，7，8，ST=3，4，5，7，8故选：C2命题“x0N，x02+2x03”的否定为（）Ax0N，x02+2x03BxN，x2+2x3Cx0N，x02+2x03DxN，x2+2x3【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是求出命题写出结果即可【解答】解：因为特称命的否定是全称命题，所以，命题“x0N，x02+2x03”的否定为：xN，x2+2x3故选：D3已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是（）A2BC2D64【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出函数的解析式，再计算对应的函数值【解答】解：设幂函数y=x，其图象过点（2，），2=，解得=，函数y=，当x=8时，函数y=2故选：A4若a，b，cR，且abc0，已知P：a，b，c成等比数列；Q：b=，则P是Q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由P：b2=ac，即b=；Q：b=，即可判断出结论【解答】解：abc0，P：a，b，c成等比数列，可得：b2=ac，于是；Q：b=，可得：QP，反之不成立P是Q的必要不充分条件故选：B5下列四个函数中，最小正周期为，且关于直线x=对称的函数是（）Ay=sin（）By=sin（）Cy=sin（2x）Dy=sin（2x+）【考点】正弦函数的图象【分析】由周期求出，由函数的图象的对称性求出的值，可得函数的解析式【解答】解：对于函数y=sin（x+），由最小正周期为=，求得=2，再根据它的图象直线x=对称，可得2（）+=k+，kZ，即=k+，故可取=，y=sin（2x+），故选：D6在等差数列an中，若a4+a9+a14=36，则2a10a11=（）A6B12C24D36【考点】等差数列的性质【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a4+a9+a14=36，3a1+24d=36，即a1+8d=12则2a10a11=2（a1+9d）（a1+10d）=a1+8d=12故选：B7在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2=，sinA=2，则cosC=（）ABCD【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由已知利用正弦定理可得a=2b，利用已知可求c2=5b2，根据余弦定理可得cosC的值【解答】解：sinA=2，由正弦定理可得：a=2b，c2=b2+2bb=5b2，cosC=故选：A8若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值为（）A1B2C3D4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（2，1），代入目标函数z=x+y得z=2+1=3即目标函数z=x+y的最大值为3故选：C9设函数y=f（x），xR满足f（x+1）=f（x1），且当x（1，1时，f（x）=1x2，函数g（x）=，则h（x）=f（x）g（x）在区间6，9内的零点个数是（）A15B14C13D12【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用【分析】根据函数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x1），可得函数y=f（x）是以2为周期的周期函数，作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间6，9内的图象，即可得到结论【解答】解：函数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x1），即f（x+2）=f（x），函数y=f（x）是以2为周期的周期函数，由h（x）=f（x）g（x）=0得f（x）=g（x），当x（1，1时，f（x）=1x2，分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间6，9内的图象，可得共有14个交点故选：B10直角ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）则|最大值是（）ABCD【考点】点与圆的位置关系【分析】由题意，|=|+2|+2|，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即可求出|的最大值【解答】解：由题意，|=|+2|+2|，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即|取得最大值，最大值是+1=+1，故选：C二、填空题：每小题5分，共25分11函数f（x）=的定义域为10，+【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法【分析】函数f（x）=的定义域为：x|，由此能够求出结果【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x|，解得x|x10故答案为：10，+）12求值：tan20+tan40+tan20tan40=【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用60=20+40，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值【解答】解：tan60=tan（20+40）=tan20+tan40+tan20tan40故答案为：13已知函数f（x）=其中a0，a1，若对任意的x1，x2R，x1x2，恒有f（x1）f（x2）（x1x2）0，则实数a的取值范围a2【考点】分段函数的应用【分析】由已知可得函数f（x）=在R上为增函数，则，解得答案【解答】解：若对任意的x1，x2R，x1x2，恒有f（x1）f（x2）（x1x2）0，则函数f（x）=在R上为增函数，则，解得：a2，故答案为：a214已知a，b满足log2alogb=1，则（1+2a）（1+b）的最小值为9【考点】基本不等式【分析】由题意可得a、b为正数且b=，代入化简可得原式=5+2a，由基本不等式可得【解答】解：由题意可得a、b为正数且1=log2alogb=log2a+log2b=log2ab，ab=2，b=，（1+2a）（1+b）=（1+2a）（1+）=1+2a+4=5+2a5+2=9当且仅当=2a即a=1且b2时取等号故答案为：915设集合M是实数集R的一个子集，如果点x0R满足：对任意0，都存在xM，使得0|xx0|，称x0为集合M的一个“聚点”若由集合：有理数集；无理数集；sin|nN*；|nN*其中以0为“聚点”的集合是（写出所有符合题意的结论序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据聚点的定义分别进行判断即可【解答】解：定义x为不大于x的最大整数，则对任意0，+2，则，取有理数x=即可得，0|0|，故0为有理数集的“聚点”；对任意的0，都存在x=，使得0|x|0是无理数集的聚点；sinxx，x（0，1），对任意0，0|sin|，0为集合sin|nN*的“聚点”；，0不是集合|nN*的“聚点”，故答案为：三、解答题：共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知向量=（cos，1sin），=（cos，sin）（R）（1）若，求角的值；（2）若|=，求cos2的值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）由，可得=0，解得即可得出；（2）由于（2cos，12sin），可得|=，化简再利用倍角公式即可得出【解答】解：（1），=cos2+（1sin）sin=sin1=0，解得sin=1=，（kZ）（2）（2cos，12sin），|=，sincos2=12sin2=1=17已知数列an的首项a1=1，且an+1=2an+1（nN*）（1）证明数列an+1是等比数列，并求an的通项公式；（2）记bn=，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）由已知得an+1+1=2（an+1），a1+1=2，由此能证明数列an+1是以2为公比，以其昏昏为首项的等比数列，并能求出an的通项公式（2）由，利用错位相减法能求出数列bn的前n项和【解答】证明：（1）数列an的首项a1=1，且an+1=2an+1（nN*），an+1+1=2（an+1），a1+1=2，数列an+1是以2为公比，以2为首项的等比数列，解：（2），数列bn的前n项和：Sn=，得： =1，Sn=218某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐奖学金共50万元，该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人（1）当a=10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过0.8万元？请说明理由 （2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）设从今年起的第x年后（今年为第0年后）受捐贫困大学生人均获得的奖学金y万元在计划时间内，列出受捐贫困大学生人均获得的奖学金，令其大于或等于0.8万元，求出最低年限，即可得出结论（2）设0x1x29，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定资助的大学生每年净增量不能超过的人数【解答】解：（1）设从今年起的第x年后（今年为第0年后）受捐贫困大学生人均获得的奖学金为y万元则y=（xN+，0x9）；由题意，有0.8（a=10），解得，x7所以，在计划时间内，第9年起受捐贫困大学生人均获得的奖学金超过0.8万元（2）设0x1x29，则f（x2）f（x1）=0，所以，108050a0，得a16所以，为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过16人19已知如图，在RtABC中，A=60，AB=6，点D、E是斜边AB上两点（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等点时，求的值；（2）当点D、E在线段AB上运动时，且DCE=30，设ACD=，试用表示DCE的面积S，并求S的最小值【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）以C为坐标原点建立平面直角坐标系，求出，的坐标带入公式计算；（2）在ACD中，由正弦定理得CD的长，在BCE中，由正弦定理求出CE的长，带入面积公式S=CDCEsin30进行三角化简【解答】解：（1）以CA为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系如图：A=60，AB=6，BCA=90A（3，0），B（0，3），C（0，0），=（3，3），=（1，），=（3，0）=+=（2，）=32+0=6（2）在ACD中，ADC=18060=120，AC=3，由正弦定理得=CD=AC=在BCE中，BCE=9030=60，BEC=18030（60）=90+，BC=3由正弦定理得=，CE=BC=S=CDCEsin30=060，602+60180，0sin（2+60）1，当sin（2+60）=1时，S取得最小值，最小值为20已知f（x）=ax3+bx2+cx1的导函数为f（x），且不等式f（x）0的解集为x|2x1（1）若函数f（x）在x=2处的切线斜率是3，求实数a的值；（2）当x3，0时，关于x的方程f（x）ma+1=0恰有两个实数根，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导f（x）=3ax2+bx+c，从而可得f（x）=3a（x+2）（x1），且a0；再由f（2）=3解得；（2）结合（1）知b=3a，c=6a，从而可化简方程为x3+x26xm=0，利用数形结合的方法求解即可【解答】解：（1）f（x）=ax3+bx2+cx1，f（x）=3ax2+bx+c，又不等式f（x）0的解集为x|2x1，f（x）=3a（x+2）（x1），且a0；f（2）=3a（2+2）（21）=3，解得，a=；（2）由（1）知，b=3a，c=6a，故f（x）ma+1=0可化为ax3+3ax26ax1ma+1=0，即x3+x26xm=0，即x3+x26x=m，令g（x）=x3+x26x，则g（x）=3x2+3x6=3（x+2）（x1），故g（3）=27+18=，g（2）=8+6+12=10，g（0）=0，作g（x）=x3+x26x的图象如下，结合图象可知，实数m的取值范围为，10）21己知函数f（x）=lnxax+l，其中aR（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1x2，证明：；（3）是否存在kZ，使得f（x）+ax2k（1一）对任意xl恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出原函数的