2018届高中数学第三章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用课件6苏教版.pptx

要点梳理1 函数的单调性在 a b 内可导函数f x f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 f x 0 f x 为 f x 0 f x 为 导数的综合应用 增函数 减函数 基础知识自主学习 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程的根 检查f x 在方程的根左右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的 将f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f b f a f b 极值 f a f b f a 基础自测1 函数y x3 3x的单调递减区间是 解析 y 3x2 3 由3x2 3 0 得 1 x 1 1 1 2 函数f x x3 ax 2在区间 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 解析 f x x3 ax 2在 1 上是增函数 f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 又 在 1 上 3x2 3 a 3 3 3 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 解析 y 6x2 6x 12 0 得x 1 舍去 或2 故函数y f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最值可能是x取0 2 3时的函数值 而f 0 5 f 2 15 f 3 4 故最大值为5 最小值为 15 5 15 4 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 个解析f x 0时 f x 单调递增 f x 0时 f x 单调递减 极小值点应在先减后增的特殊点 即f x 0 f x 0 f x 0 由图象可知只有1个极小值点 1 5 若函数f x 在x 1处取极值 则a 解析因为f x 在x 1处取极值 所以1是f x 0的根 将x 1代入得a 3 3 题型一函数的单调性与导数 例1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集R上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 求f x f x 0或f x 0恒成立 a的范围 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x R恒成立 3x2 0 只要a 0 又 a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在R上是增函数 a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 a 3x2在x 1 1 上恒成立 又 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 因此 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 知能迁移1已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域R内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解f x ex a 1 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在R上递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在R内单调递增 f x 0在R上恒成立 ex a 0 即a ex在R上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 方法一由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0时 ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 方法二由题意知 x 0为f x 的极小值点 f 0 0 即e0 a 0 a 1 题型二函数的极值与导数 例2 设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 2 试判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 1 函数的导函数在极值点处的函数值为0 列方程组求解 2 极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定义判断 思维启迪 解 1 f x 2bx 1 函数定义域为 0 列表 x 1是f x 的极小值点 x 2是f x 的极大值点 此题属于逆向思维 但仍可根据函数极值的步骤求解 但要注意极值点与导数之间的关系 利用这一关系 f x 0 建立字母系数的方程 通过解方程 组 确定字母系数 从而解决问题 探究提高 题型三函数的最值与导数 例3 已知a为实数 且函数f x x2 4 x a 1 求导函数f x 2 若f 1 0 求函数f x 在 2 2 上的最大值 最小值 先求函数的极值 然后再与端点值进行比较 确定最值 解 1 f x x3 ax2 4x 4a 得f x 3x2 2ax 4 思维启迪 2 因为f 1 0 所以a 有f x x3 x2 4x 2 所以f x 3x2 x 4 又f x 0 所以x 或x 1 又f f 1 f 2 0 f 2 0 所以f x 在 2 2 上的最大值 最小值分别为 探究提高在解决类似的问题时 首先要注意区分函数最值与极值的区别 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 知能迁移2已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值 1 讨论f 1 和f 1 是函数f x 的极大值还是极小值 2 过点A 0 16 作曲线y f x 的切线 求此切线方程 解 1 f x 3ax2 2bx 3 依题意 3a 2b 3 03a 2b 3 0 f 1 f 1 0 即 解得a 1 b 0 f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 x 1 若x 1 1 则f x 0 故f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上是增函数 若x 1 1 则f x 0 故f x 在 1 1 上是减函数 所以f 1 2是极大值 f 1 2是极小值 2 曲线方程为y x3 3x 点A 0 16 不在曲线上 设切点为M x0 y0 则点M的坐标满足y0 3x0 因f x0 3 1 故切线的方程为y y0 3 1 x x0 注意到点A 0 16 在切线上 有16 x 3x0 3 x 1 0 x0 化简得x 8 解得x0 2 所以 切点为M 2 2 切线方程为9x y 16 0 知能迁移3已知a为实数 函数f x x2 1 x a 若f 1 0 求函数y f x 在 1 上的最大值和最小值 解 f x 3x2 2ax 1 又f 1 0 3 2a 1 0 即a 2 f x 3x2 4x 1 3 x x 1 由f x 0 得x 1或x 由f x 0 得 1 x 因此函数f x 的单调递增区间为 1 1 单调递减区间为 1 f x 在x 1取得极大值为f 1 2 f x 在x 取得极小值为f 又 f f 1 6 且 f x 在 1 上的最大值为f 1 6 最小值为f 方法与技巧1 注意单调函数的充要条件 尤其对于已知单调性求参数值 范围 时 隐含恒成立思想 2 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 3 在实际问题中 如果函数在区