（浙江专用）2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题教案.docx

第3讲圆锥曲线中的综合问题“ 构造法”求最值(范围)典型例题 (2019高考浙江卷)如图，已知点F(1，0)为抛物线y22px(p0)的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标【解】(1)由题意得1，即p2.所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，则xAt2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又由于xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，故2tyC0，得C，G.所以直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21，0)由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而2.令mt22，则m0，2221.所以当m时，取得最小值1，此时G(2，0).解决最值(范围)问题的常用方法解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解(1)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解对点训练 (2018高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解：(1)证明：设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在拋物线上，所以y1，y2为方程4，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x0b0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点【解】(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上因此解得故C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)(1)动直线过定点问题的解法动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tkm，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点(2)求解定值问题的两大途径首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关先将式子用动点坐标或动直线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值注对于此类问题可先根据特殊情况确定定点、定值，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法 对点训练已知抛物线C：y22px经过点P(1，2)过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解：(1)因为抛物线y22px过点P(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k2k0，即解得1kb0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|a，APPQ，则椭圆C的离心率为_解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|，因为APPQ，所以在RtPOA中，cosPOA，故POA60，易得P，代入椭圆方程得1，故a25b25(a2c2)，所以椭圆C的离心率e.答案：9已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是_解析：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c|PF2|2a10，2m102c，所以ac5，m5c，所以e1e2，又由三角形的性质知2c2c10，由已知2c10，c5，所以c5，14，01.答案：10(2019杭州市高考数学二模)抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A，B在抛物线上，且AFB120，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最大值为_解析：设|AF|a，|BF|b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形ABPQ中，2|MM1|AQ|BP|ab.由余弦定理得，|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab，配方得，|AB|2(ab)2ab，又因为ab，所以(ab)2ab(ab)2(ab)2(ab)2，得到|AB|(ab)所以，即的最大值为.答案：11(2019衢州市教学质量检测)已知椭圆G：1(ab0)的长轴长为2，左焦点F(1，0)，若过点B(2b，0)的直线与椭圆交于M，N两点(1)求椭圆G的标准方程；(2)求证：MFBNFB； (3)求FMN面积S的最大值解：(1)因为椭圆1(ab0)的长轴长为2，焦距为2，即2a2，2c2，所以2b2，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明：MFBNFB，即证：kMFkNF0，设直线方程MN为yk(x2)，代入椭圆方程得：(12k2)x28k2x8k220，其中0，所以k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，kMFkNFk20.故MFBNFB.(3)SFB|y1y2|k|x1x2| .令t12k2，则S，当k2(满足k2)时，S的最大值为.12(2019浙江金华十校第二期调研)已知抛物线C：yx2，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.(1)若直线AB的倾斜角为，求直线AB的方程；(2)求|AB|的最小值解：(1)设直线AB的方程：yxm，则1，所以m0或m4，所以直线AB的方程为yx或yx4.(2)设直线AB的方程为ykxm，则1，所以k21(m2)2.由，得x2kxm0，所以x1x2k，x1x2m，所以|AB|24x1x2，记f(m)(m23)，所以f(m)2(m2)(2m22m3)，又k211，所以m1或m3，当m时，f(m)0，f(m)单调递减，当m时，f(m)0，f(m)单调递增，f(m)minf(1)4，所以|AB|min2.13.(2019宁波市高考模拟)已知椭圆方程为y21，圆C：(x1)2y2r2.(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；(2)如图，直线l与椭圆相交于A、B两点，且与圆C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围解：(1)设P(x，y)，|PC|，由2x2，当x时，|PC|min.(2)当直线AB斜率不存在且与圆C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0), 由，整理得：，则kAB，kMC，kMCkAB1，则kMCkAB1，解得：x0，由M在椭圆内部，则y1，解得：y，由：r2(x01)2yy，所以r2，解得：r.所以半径r的取值范围为(，) .14(2019严州中学月考改编)椭圆C：1(ab0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点且斜率为的直线l交C于A，B两点当m0时，.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：|PA|2|PB|2为定值解：(1)因为离心率为，所以.当m0时，l的方程为yx，代入1并整理得x2.设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，xyx.又因为，所以a225，b216，椭圆C的方程为1.(2)证明：将l的方程为xym，代入1，并整理得25y220my8(m225)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|PA|2(x1m)2yy，同理|PB|2y.则|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y241.所以|PA|2|PB|2为定值15.(2019温州十五校联合体联考)如图，已知抛物线C1：y22px(p0)，直线l与抛物线C1相交于A、B两点，且当倾斜角为60的直线l经过抛物线C1的焦点F时，有|AB|.(1)求抛物线C1的方程；(2)已知圆C2：(x1)2y2，是否存在倾斜角不为90的直线l，使得线段AB被圆C2截成三等分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)当倾斜角为60的直线l经过抛物线C1的焦点F时，直线l的方程为y(x)，联立方程组，即3x25pxp20，所以|AB|p，即p，所以抛物线C1的方程是y2x.(2)假设存在直线l，使得线段AB被圆C2截成三等分，令直线l交圆C2于C，D，设直线l的方程为xmyb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，