多面体、棱柱.ppt

第67讲棱柱 复习目标及教学建议 基础训练 知识要点 双基固化 能力提升 规律总结 复习目标理解棱柱的有关概念 掌握棱柱的性质 侧面积与体积计算公式 会用展开图解决有关问题 教学建议本讲重点是棱柱的概念和性质 高考中通常以棱柱为载体 结合空间线面位置关系 空间角与距离的计算进行考查 斜棱柱有关性质是本讲难点 要注意突破 复习目标及教学建议 基础训练 1 下列命题中 正确的是 A 有两个面互相平行 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B 棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C 棱柱的侧面是平行四边形 而底面不是平行四边形 D 棱柱的侧棱都相等 侧面是平行四边形 D 解析 A是错误的 如棱台 B是错误的 如直六棱柱有三对互相平行的侧面 C是错误的 如平行六面体的底面是平行四边形 故选D 2 下列说法正确的是 A 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 D 侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱 解析 由直棱柱与正棱柱的概念易知B正确 B 3 集合D 正方体 E 长方体 F 四棱柱 G 平行六面体 H 正四棱柱 集合D E F G H的关系是4 已知长方体对角线长为2cm 则长方体的全面积的最大值为8cm2 解析 设长方体长 宽 高分别为a b c 则a2 b2 c2 4 S全 2ab 2bc 2ac 2 a2 b2 c2 8cm2 知识要点 1 棱柱的有关定义有两个面互相平行 其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 这些面所围成的几何体叫棱柱 斜棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱 直棱柱 侧棱垂直于于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 2 棱柱的性质 1 侧棱都相等 侧面是平行四边形 2 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 3 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 此截面也称为对角面 3 有关计算公式 1 设直棱柱的底面周长为c 高是h 侧面积为S直侧 则S直侧 ch 2 设斜棱柱的直截面的周长为c 侧棱长为l 侧面积为S斜 则S斜 cl 3 设棱柱底面积为S 高为h 则体积V Sh 例1判断题 正确的请在题后括号内打 否则打 号 1 直平行六面体就是长方体 2 平行六面体的三条对角线相交于一点 且被这点所 平分 3 有两个相邻侧面是全等矩形的平行六面体是正四 棱柱 双基固化 1 棱柱有关的概念与性质问题 4 有一个对角面垂直于底面的平行六面体是直平行六 面体 5 底面是正方形 有一个对角面是矩形的平行六面体是长方体 解析 直平行六面体的底面可能是菱形 说明 1 不正确 平行六面体的对角线确定相交于一点并被这点所平分 用同一法可以证明 故 2 正确 当相邻侧面是全等的矩形时 可以保证侧棱垂直于底面 故推出平行六面体是直四棱柱 当然也能推出底面四边形的边长相等 但由于相邻侧面的夹角未必等于90 所以不能保证底面四边形的角是直角 所以 3 不正确 有一个对角面与底面垂直 并不意味这个对角面是矩形 故不能保证侧棱垂直于底面 所以 4 也不正确 如图9 67 1的平行六面体中 AA 与A B A D 的夹角相等 且上 下底面都是正方形 易证明这个平行六面体的对角面DD B B是矩形 但显然平行六面体AC 不是长方体 所以 5 也不正确 图9 67 2 例2若一个斜棱柱A1B1C1 ABC的底面是等腰 ABC 它的三边边长分别是AB AC 10cm BC 12cm 棱柱的顶点A1与A B C三点等距 且侧棱AA1 13cm 求此棱柱的全面积 分析 逐一求出各个面面积 然后相加 或作直截面 解析 自B引BD AA1 D为垂足 连CD AA1 A1B A1C 又底面 ABC为等腰三角形 故顶点A1在底面ABC上的射影O在底边BC的高AE上 2 棱柱的侧面积与体积计算 图9 67 3 由三垂线定理可知 BC AA1 即侧面B1BCC1为矩形 由AA1 BC AA1 BD 得AA1 面BDC AA1 CD 在 A1AB中 引A1F AB于F 在Rt A1FA中 由AA1 13 AF 5 A1F 12得sin A1AB 则BD AB sin A1AB S柱侧 BD DC BC AA1 396 又在 ABC中 AE BC AB 10 BE 6 得AE 8 S ABC 48 S柱全 396 2 48 492 cm2 小结 求斜棱柱全面积的基本方法是求出各个侧面的面积与底面积 本题求侧面积时也可以用直截面BCD的周长去乘AA 1而得到 例3如图9 67 4 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB 2 AA1 2 由顶点B沿棱柱侧面经过棱柱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M 求 1 求三棱柱的侧面展开图的对角线长 2 该最短路线的长及的值 3 平面C1MB与平面ABC所成二面角 锐角 的大小 3 侧面展开图问题 图9 67 4 分析 做第 1 问时应画出侧面展开图 是一个矩形 很容易求得对角线长为 在第 1 问的基础上 可以看到点C1 M D在展开图中位于同一条直线上时 路线最短为 容易得到此时AM A1M 故 1 第 3 问求平面C1MB与平面ABC所成二面角的大小 是属于无棱二面角问题 解决问题的关键是找到二面角的棱 由于AC与C1M是相交直线 且它们的交点在二面角的棱上 故延长CA与C1M相交于点D 连接BD 则BD就是二面角的棱 剩下的问题就是找二面角的平面角以及计算问题 也可以利用面积射影比来求所成角的余弦值 这都是常规 典型问题 容易解决 解析 1 正三棱柱ABC A1B1C1的侧面展开图是长为6 宽为2的矩形 其对角线长为 2 如图9 67 5 将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120 使其与侧面AA1C1C在同一平面上 点B运动到点D的位置 连接DC1交AA1于M 则DC1就是由 图9 67 5 顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线 其长为 DMA C1MA1 AM A1M 故 1 3 连接DB C1B 则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线 在 DCB中 DBC CBA ABD 60 30 90 CB DB 又C1C CBD 由三垂线定理得C1B DB C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角 锐角 侧面C1B1BC是正方形 C1BC 45 故平面C1MB与平面ABC所成的二面角 锐角 为45 1 棱柱是高考中考查线面位置关系的重要载体 因此务必掌握棱柱的有关概念 性质 面积 体积公式 充分利用棱柱的几何性质 研究线线 线面 面面之间的位置关系 2 立体几何中的计算问题常转化为平面问题来求解 但必须先证明 后计算 即做运算的每步都有根有据 3 掌握立体几何中的 截 展 折 拼 是常用的解题技巧 截 指的是截面 平行于柱 锥底面的截面以及旋转 规律总结 体的轴截面 它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系 是能帮助解题的重要工具 展 指的是侧面或某些面的展开图 在有关沿表面的最短路径问题中 就是求侧面展开图上两点间的距离 拆 指的是将一个非规则几何体拆成几个简单几何体便于计算 拼 指的是将小几何体嵌入一个大几何体中去 如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱 有时将一个三棱柱复原成一个四棱柱 有时把一个正方体再拼补一个相同的正方体 这些都是拼补的方法 4 等积变换 等积变换技巧的依据