小波分析及其应用.doc

小波分析及其应用 学 院 理学院 专业名称 信息与计算科学 班 级 2010级1班 学生姓名 李志淳 学 号 1007110114 摘要小波分析是传统傅里叶分析发展史上里程碑式的发展，近年来成为众多学科共同关注的热点。文章在小波变换的基础上将其应用于信号去噪中，利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对几种去噪方法不同阀值的选取比对分析和基于MATLAB信号去噪的仿真试验，比较各种阀值选取队去噪效果的影响。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。它与Fourier变换、 窗口Fourier变换(Gabor变换) 相比， 是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis)解决了Fourier变换不能解决的许多问题， 从而小波变化被誉为 “数学显微镜” ， 它是调和分析发展史上里程碑式的进展。一、小波变换的概念设(表示平方可积的实数空间，即能量有限的空间信号)其Fourier变换为，当满足容许条件：此时，称为基小波或母小波(Mother Wavelet)。由容许条件可以推论出：基小波至少满足，也即。也就是说，必须具有带通性质。将母小波经伸缩和平移得小波序列，又称子小波： 其中，为伸缩因子或尺度因子，将基本小波做伸缩；b为平移因子，将基本小波做移位。信号f(t)的小波变换定义为：取，,则信号f(t)的离散小波变换为：由上式知，对不同的频率成分，在时域上的取样步长为，是可调的，高频者(对应小的m值)采样步长小，低频者(对应大的m值)采样步长大。也就是说，小波变换能实现了窗口的大小固定，形状可变的时频局部化，正是这个意义上小波变换被誉为数学“显微镜”。二、小波变换在去噪中的应用1、 小波去噪模型的建立如果一个信号被噪声污染后为，那么基本的噪声模型就可以表示为式中：为噪声；为噪声强度。最简单的情况下为高斯白噪声，且=1。小波变换就是要抑制以恢复，从而达到去除噪声的目的。从统计学的观点看，这个模型是一个随时间推移的回归模型，也可以看作是在正交基上对函数无参估计。小波去噪通常通过以下3个步骤予以实现：a)小波分解；b)设定各层细节的阈值，对得到的小波系数进行阈值处理；c)小波逆变换重构信号。小波去噪的结果取决于以下2点：a)去噪后的信号应该和原信号有同等的光滑性；b)信号经处理后与原信号的均方根误差越小，信噪比越大，效果越好。如何选择阈值和如何利用阈值来量化小波系数，将直接影响到小波去噪结果。2、小波系数的阈值处理21由原始信号确定阈值小波变换中，对各层系数降噪所需的阈值一般是根据原信号的信噪比来决定的。在模型里用这个量来表示，可以使用MATLAB中的wnoisest函数计算得到值，得到信号的噪声强度后，根据下式来确定各层的阈值。式中n为信号的长度。22基于样本估计的阈值选取1)无偏似然估计(rigrsure)：是一种基于Stein无偏似然估计原理的自适应阈值选择。对于给定的阈值T，得到它的似然估计，再将似然T最小化，就得到了所选的阈值，这是一种软件阈值估计。2)阈值原则(sqtwlolg)：固定阈值T的计算公式为。3)启发式阈值原则(heursure)：是无偏似然估计和固定阈值估计原则的折中。如果信噪比很小，按无偏似然估计原则处理的信号噪声较大，在这种情况下，就采用固定阈值形式。4)极值阈值原则(minimax)：采用极大极小值原理选择阈值，它产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。统计学上，这种极值原理用来设计估计器。因为被消噪的信号可以看作与未知回归函数的估计器相似，这种极值估计器可在给定的函数中实现最大均方误差最小化。23软阈值和硬阈值在确定阈值后，可以采用硬阈值或软阈值的处理方法对小波系数做阈值处理。硬阈值法只保留大于阈值的小波系数并将其他的小波系数置零，其表达式如下：软阈值法将小于阈值的小波系数置零，并把大于阈值的小波系数向零做收缩，其表达式如下：3 、小波去噪的MATLAB仿真对比试验给定函数作为原始信号，然后加一组随机噪声，然后分别选取不同阀值对信号用小波以为信号的自动消噪进行去噪处理。采用的小波为sym8，分解层数为5，小波函数为wden。结果如图一所示图一 不同阀值系数软阀值去噪效果图由图一可大致看出去噪效果对比heusure和minimaxi阀值的去噪效果较好，sqtwolo阀值降噪效果相对较差。而rigrsure看不出明显差别。 图二 不同阀值系数硬阀值去噪效果图图二可看出，对硬阀值去噪minimaxi阀值的效果最差。为了精确的表示去噪效果，可与计算去噪后的信噪比（）和均方根误差（）。计算公式如下：信号的信噪比越高，原始信号和去噪信号的均方根误差越小，去噪信号就越接近原信号，去噪的效果也就越好。表一给出了各种阀值选取得信噪比和均方根误差的比较。 表一 几种阀值软阀值去噪后的和heusurerigrsuresqtwologminimaxi（均方根误差）0.21720.14990.09420.0739（信噪比）2.57585.79799.831611.9394三、结论本文对基于小波分析的去噪方法进行了研究，指出小波去噪阀值的选取对去噪效果的影响，并利用MATLAB的小波分析工具箱进行了仿真试验，试验表明利用小波分析方法可以达到良好的去噪效果，并且minimaxi阀值的去噪效果最好。附：Matlab程序clearclcx=0:0.01:3;f=exp(-x).*cos(10*x);%原始信号函数subplot(3,2,1);plot(f);title(原始信号图形);%画出原始信号图形noise=0.2*randn(size(f);f1=f+noise; %噪声信号subplot(322)plot(f1); title(加噪后语音图像)lev=5;%对f1用sym8小波分解到第五层，并对高频系数用heusure硬阀值xd=wden(f1,heursure,h,one,lev,sym8);subplot(323)plot(xd); title(用heusure硬阀值去噪后图像)D=f-xd;MSE=sqrt(sum(D(:).*D(:)/prod(size(f) %均方根误差PSNR=10*log10(sum(f(:).*f(:)/sum(D(:).*D(:) %信噪比 %用rigrsure阀值对信号的标准差单车估计，并降噪xd1=wden(f1,rigrsure,h,one,lev,sym8);subplot(324)plot(xd1); title(用rigrsure硬阀值去噪后图像)D1=f-xd1;MSE1=sqrt(sum(D1(:).*D1(:)/prod(size(f) %均方根PSNR1=10*log10(sum(f(:).*f(:)/sum(D1(:).*D1(:)%信噪比 %用sqtwolog阀值对信号的标准差单车估计，并降噪xd2=wden(f1,sqtwolog,h,sln,lev,sym8);subplot(325)plot(xd2); title(用sqtwolog硬阀值去噪后图像)D2=f-xd2;MSE2=sqrt(sum(D2(:).*D2(:)/prod(size(f) %均方根PSNR2=10*log10(sum(f(:).*f(:)/sum(D2(:).*D2(:)%信噪比 %用minimaxi阀值对信号的标准差单车估计，并降噪xd3=wden(f1,minimaxi,h,sln,lev,sym8);subplot(326)plot(xd3); title(用minimaxi硬阀值去噪后图像)D3=f-xd3;MSE3=sqrt(sum(D3(:).*D3(:)/prod(size(f) %均方根PSNR3=10*log10(sum(f(:).*f(:)/