高级运筹学-第2章：模糊集合.ppt

1 第二章模糊集合 2 0引论一 模糊集合产生的原因1 现实世界中存在大量的模糊现象和模糊概念 如 青年人 高个子 等 2 研究模糊性具有重要的现实意义 如 做化学实验 炒莱 等 3 信息科学和人工智能的发展促进了模糊数学的产生 如 电视图像的调节 等 人脑思维活动的特点之一 就是能对模糊事物进行识别和判断 如 要找一个人 只知道他是 高个子 大胡子 无须知道他的身高究竟具体是多少米 以及脸上有多少根胡子 平均有多粗 二 模糊性与随机性的区别1 模糊性 事物的概念本身是模糊的 即事物是否符合给出的概念不明确 2 随机性 事物的概念本身是明确的 只是发生的条件不充分 使条件与事物的发生无因果关系 从而事物的发生与否表现出不确定性 但有统计规律 三 起源1965年 美 著名控制论教授扎德 L A Zadeh 发表论文 模糊数学 fuzzy 给定量研究客观世界中的模糊性开辟了新途径 2 2 1模糊集合的定义一 普通集合论知识 确定概念 普通集合 特征函数1 集合的概念 符合某个确定概念的对象的全体 常用字母A B C 等表示 因此 确定概念可用集合来表示 集合是确定概念的外延 2 论域 某议题范围内被讨论的全部对象 常用字母U V X Y 等表示 论域中的每个对象叫元素 常用字母a b c d 等表示 如 中南大学的学生 就可以成为一个论域 有限论域 元素个数为有限个或可列个的论域 无限论域 元素个数为无限个的论域 3 论域中的子集 论域U中某一部分元素组成的全体叫论域U中的一个集合 用A B 等表示 如论域U 中南大学的学生 则A 中南大学的男学生 就是论域U中的一个集合 二 模糊子集的定义 模糊概念 模糊集合 隶属函数给定论域U 称A是论域U上的模糊子集 记为 如果对 x U 都有一个确定的数 A x 0 1 与之对应 此时 映射 A x U 0 1 x A x A x 称为A的隶属函数 数 A x 称为论域U中的元素x对模糊子集A的隶属度 表示x属于A的程度 特例 当 A x 0 1时 模糊子集 蜕化为普通集合A 的隶属函数 A x 蜕化为A特征函数CA x 即 3 例2 1组成一个100人的评比小组 对五种商品X1 X2 X3 X4 X5进行评比 结果是 认为商品X1 质量好 的有81人 占81 0 81 认为商品X2 质量好 的有53人 占53 0 53 认为商品X3 质量好 的有100人 占100 1 认为商品X4 质量好 的有0人 占0 0 认为商品X5 质量好 的有24人 占24 0 24 对论域U X1 X2 X3 X4 X5 有限论域 中的每一个元素均规定了一个隶属度 X1 0 81 X2 0 53 X3 0 1 X4 0 X5 0 24它们确定了U中的一个模糊子集A 表示商品 质量好 这一模糊概念 例2 2考查某商店商品销售利润的经济效益论域U 0 k 无限论域 表示该商品销售利润额的范围 则表示商品销售利润的 经济效益好 这一模糊概念的模糊子集 用以下隶属函数表示 其中 n为同期商品销售额 m为销售利润效益最好时刻的利润率 4 例2 3取年龄为论域U 0 100 给出两个模糊概念 年轻 和 年老 表示它们的两模糊子集记为Y与O 其隶属函数定义为 若你的年龄x 30岁 则 5 2 2模糊子集的运算 仍记为A 除非特别申明 1 关系运算 对论域U 模糊空集 对 x U 均有 x 0 模糊全集E 对 x U 均有 E x 1 模糊幂集 U U中的全体模糊子集 含普通子集 构成的普通集合 其元素是模糊子集 A B 对 x U 均有 A x B x A B 对 x U 均有 A x B x 2 并 交 余运算 对论域U 并 A B 设A B U 对 x U 则A B是由下列隶属函数确定的模糊子集 A B x Max A x B x A x B x 交 A B 设A B U 对 x U 则A B是由下列隶属函数确定的模糊子集 A B x Min A x B x A x B x 余 Ac 设A U 对 x U 则Ac是由下列隶属函数确定的模糊子集 Ac x 1 A x 例2 4商品论域U X1 X2 X3 X4 X5 表示 商品质量好 这个模糊概念的模糊子集为 A 0 81 0 53 1 0 0 24 商品质量差 这个模糊概念的模糊子集为 B 0 05 0 21 0 0 36 0 57 则 表示 商品质量或好或差 这个模糊概念的模糊子集为 A B 0 81 0 05 0 53 0 21 1 0 0 0 36 0 24 0 57 0 81 0 53 1 0 36 0 57 表示 商品质量又好又差 这个模糊概念的模糊子集为 A B 0 81 0 05 0 53 0 21 1 0 0 0 36 0 24 0 57 0 05 0 21 0 0 0 24 表示 商品质量不好 这个模糊概念的模糊子集为 Ac 1 0 81 1 0 53 1 1 1 0 1 0 24 0 19 0 47 0 1 0 76 6 例2 5年龄论域U 0 100 给出两个模糊概念 年轻 和 年老 对应的模糊子集Y与O 隶属函数为 则 表示 或老或年轻 这个模糊概念的模糊子集为O Y 隶属函数为 7 3 运算性质 对偶律 A B c Ac Bc A B c Ac Bc 幂等律 A A A A A A 交换律 A B B A A B B A 结合律 A B C A B C A B C A B C 分配律 A B C A C B C A B C A C B C 吸收律 A B A A A B A A 两极律 A A A A E E A E A 还原律 Ac c A 不满足互补律 A Ac E A Ac 伪补律 A Ac x A x Ac x A Ac x A x Ac x 例2 6设有模糊子集为 A 0 81 0 53 1 0 0 24 则 A Ac 0 81 0 53 1 1 0 76 E 并且其隶属度均大于1 2A Ac 0 19 0 47 0 0 0 24 并且其隶属度均小于1 2 8 4 几种常用的模糊算子 须同时满足对偶律 交换律 结合律 两极律 普通实数乘法 与最大 算子M A B x A x B x A B x A x B x 普通实数乘法 与有界和 算子M A B x A x B x A B x A x B x 其中有界和 对 a b 0 1 有a b min a b 1 普通实数乘法 与概率和 算子M A B x A x B x A B x A x B x 其中概率和 对 a b 0 1 有a b a b a b 有界积 与有界和 算子M A B x A x B x A B x A x B x 其中有界积 对 a b 0 1 有a b max 0 a b 1 例2 7设有模糊子集为 A 0 81 0 53 1 0 0 24 B 0 05 0 21 0 0 36 0 57 采用算子M 得 则 A B 0 81 0 05 0 53 0 21 1 0 0 0 36 0 24 0 57 0 0 0 0 0 A B 0 81 0 05 0 53 0 21 1 0 0 0 36 0 24 0 57 0 86 0 74 1 0 36 0 81 9 2 4模糊集合与普通集合的关系 模糊集合是普通集合的推广1 模糊子集A的 水平截集A 给定模糊子集A U 对 0 1 称普通集合A x x U 且 A x 为模糊子集A的 水平截集 即 A 由U中哪些隶属度大于或等于 的元素组成 其特征函数为 例2 8五种商品 X1 X2 X3 X4 X5 质量好 的模糊子集A 0 81 0 53 1 0 0 24 进一步研究 有50 以上的人认为 质量好 称为 合格 则 合格 商品的集合为A0 5 X1 X2 X3 0 5有80 以上的人认为 质量好 称为 优良 则 优良 商品的集合为A0 8 X1 X3 0 8A0 5与A0 8均是A按一定水平 确定的普通子集 截集 10 2 水平截集A 的性质 A B A B A B A B 设 1 2 0 1 且 1 2 则A 1 A 2 3 模糊子集A的核A1 支撑架SuppA 边界SuppA A1 A的核A1 x A x 1 A的支撑架SuppA x A x 0 A的边界SuppA A1 x 0 A x 1 A0 x A x 0 U 例2 9五种商品论域U X1 X2 X3 X4 X5 模糊子集A 0 81 0 53 1 0 0 24 则A的核A1 X3 A的支撑架SuppA X1 X2 X3 X5 A的边界SuppA A1