电磁场与电磁波课件之分离变量法.ppt

3 6分离变量法 基本思想 方式 所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合 把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积 其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数 代入偏微分方程进行变量分离 将原偏微分方程分离为几个常微分方程 分别求解这些常微分方程 并利用场域及边界条件确定其中的待定常数 从而得到位函数的解 应用 求解二维拉普拉斯方程的边界问题 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合 则可采用直角坐标系中的分离变量法 1 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中的展开式为 令 代入上式 得 无源区中电位满足的拉普拉斯方程为 两边再除以X x Y y 得 只与x有关 只与y有关 此常数写成 式中k称为分离常数 它的取值不同 常微分方程的解也有不同的形式 由上可见 经过变量分离后 二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程 常微分方程的求解较为简便 而且二个常微分方程又具有同一结构 因此它们解也一定具有相同的形式 要使上式成立 式中每一项都必须为常数 当k 0时 二常微分方程的解为 当k 0时 二常微分方程的解为 双曲函数 含变量x或y的常微分方程的解具有完全相同的形式 这些解的线性组合仍然是方程的解 式中A B C D为待定常数 为满足给定的边界条件 分离变量k通常取一系列特定的值kn n 1 2 位函数的通解为 若令代替 可得另一形式通解 解的形式的选择是非常重要的 它完全决定于给定的边界条件 解中各个待定常数也取决于给定的边界条件 例横截面为矩形的无限长接地金属导体槽 上部有电位为的金属盖板 导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘 试求此导体槽内的电位分布 解 导体槽在方向为无限长 槽内电位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程 导体槽内D域 由于槽内电位和 则其通解形式为 代入上式 得 为使上式对在内成立 则 则 代入上式 得 为使上式对在内成立 则 则 代入上式 得 其中不能为零 否则 故有 得 为使上式对在内成立 且则 则 代入上式 得 为确定常数 将在区间上按展开为傅里叶级数 即 导体槽内电位函数为 导体槽内电位分布情况为 D域内 例一无限长金属槽 其三壁接地 另一壁与三壁绝缘且保持电位为 金属槽截面为正方形 边长为a 试求金属槽内电位的分布 解 选定直角坐标系 例由四块沿轴方向放置的金属板围成的矩形长槽 四条棱线处有无限小间隙以保证相互绝缘 试求槽内空间的电位分布 解 设金属板沿方向为无限长 槽内空间的电位函数满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程 矩形槽内 2 圆柱坐标系中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 令其解为 代入上式求得 上式中第二项仅为变量 的函数 而第一项与 无关 因此二项均应为常数 令 具有圆柱面边界的问题 可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解 即 式中k为分离常数 通常变量 的变化范围为 那么位函数随 的变化一定是以2 为周期的周期函数 因此分离常数k一定是整数 以保证函数的周期为2 即且 则通解为 圆柱外电场线 等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示 3 球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为 令 代入上式 得 与前同理 的解应为 具有球面边界的问题 可采用球坐标系中的分离变量法求解 可见 上式中第一项仅为r的函数 第二项与r无关 因此 与前同理第一项应为常数 为了便于进一步求解 令 式中n为整数 这是尤拉方程 其通解为 将此结果代入上式 得 令 则上式变为 上式为连带勒让德方程 其通解为第一类连带勒让德函数与第二类连带勒让德函数之和 这里m n 当n是整数时 及为有限项多项式 因此 要求n为整数 根据第二类连带勒让德函数的特性知 当时 因此 当场存在的区域包括或 时 此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解 所以 通常令 那么 电位微分方程的通解通常取为下列