复变函数论第一章.ppt

1 2020 2 24 第一章复数与复变函数 1复数 2复平面上的点集 3复变函数 4复球面与无穷远点 2 2020 2 24 第一节复数 1 虚数单位 对虚数单位的规定 一 复数的概念 虚数单位的特性 2 复数 3 2020 2 24 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等 复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0 注 实数可以比较大小 但复数不能比较大小 二 复数的代数运算 1 两复数的代数和 2 两复数的积 3 两复数的商 4 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数 4 2020 2 24 6 共轭复数的性质 例1 解 5 复数域 全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域 记作C 实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例 5 2020 2 24 例2 证 例3 解设 6 2020 2 24 三 复平面 1 复数的模 显然下列各式成立 7 2020 2 24 2 复数的辐角 辐角不确定 辐角主值的定义 8 2020 2 24 9 2020 2 24 3 利用平行四边形法求复数的和差 4 复数和差的模的性质 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 z1 z2 10 2020 2 24 5 复数的三角表示和指数表示 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 11 2020 2 24 z x iy r cos isin rei 辐角 任意 的实数 满足rcos x rsin y 辐角主值 任意 的实数 满足rcos x rsin y 12 2020 2 24 例1 解 6 复数在几何上的应用举例 下面例子表明 很多平面图形能用复数形式的方程 或不等式 来表示 也可以由给定的复数形式的方程 或不等式 来确定它所表示的平面图形 13 2020 2 24 例1 求下列方程所表示的曲线 解 化简后得 14 2020 2 24 1 乘积与商 定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 四 复数的乘幂与方根 两复数相乘就是把模数相乘 辐角相加 从几何上看 两复数对应的向量分别为 注 由于辐角的多值性 两端都是无穷多个数构成的两个数集 对于左端的任一值 右端必有值与它相对应 15 2020 2 24 z1 z2 r1ei 1 r2ei 2 r1r2ei 1 2 z1 z2 r1ei 1 r2ei 2 r1 r2ei 1 2 16 2020 2 24 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 2 幂与根 n次幂 17 2020 2 24 棣莫佛公式 推导过程如下 棣莫佛公式 根据棣莫佛公式 18 2020 2 24 当k以其他整数值代入时 这些根又重复出现 从几何上看 Argwk 1 Argwk 2 n k 0 1 2 n 1 19 2020 2 24 例1 解 即 20 2020 2 24 1 2 1复平面点集的几个基本概念 定义1 1邻域 记作 或 N z0 z z z0 记作 或N 0 z0 z 0 z z0 第二节复平面上的点集 21 2020 2 24 定义1 2聚点 外点 孤立点 如果z0属于E 但不是E的聚点 则称z0为E的孤立点 如果z0不属于E 又不是E的聚点 则称z0为E的外点 z0为E的孤立点 0 N z0 E z0 z0为E的外点 0 N z0 E 22 2020 2 24 定义1 3内点 开集 边界点 边界 闭集 如果E内每一点都是它的内点 那末E称为开集 如果在z0的任意一个邻域内 都有属于E的点 也有不属于E的点 则称z0为E的边界点 z0为E的内点 0 N z0 E 点集E的全体边界点组成的集合称为E的边界 记为 E 若点集E的每个聚点都属于E 则称E为闭集 任何集合E的闭包一定是闭集 23 2020 2 24 定义1 4有界集和无界集 z x y 有界 o 例1圆盘 N z0 z z z0 是有界开集 闭圆盘 是有界闭集 例2集合 圆心 它是的孤立点 是集合的聚点 24 2020 2 24 定义1 5区域 如果平面点集D满足以下两个条件 则称它为一个区域 1 D是一个开集 2 D是连通的 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来 D加上D的边界称为闭域 1 2 2区域与Jordan曲线 记为 D D D z1 z2 D 说明 2 区域边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成 1 区域都是开的 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 25 2020 2 24 定义1 6连续曲线 平面曲线C的复数表示 C的实参数方程 C的复参数方程 起点z C终点z z x y C C的正向 起点 终点 o 26 2020 2 24 没有重点的连续曲线C称为简单曲线 或若当 Jordan 曲线 重点 重点 重点 换句话说 简单曲线自身不相交 简单曲线是z平面上的一个有界闭集 27 2020 2 24 简单闭曲线的性质 若当 Jordan 定理 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C I C E C 三个互不相交的点集 满足 I C E C 边界 1 I C 是一个有界区域 称为C的内部 2 E C 是一个无界区域 称为C的外部 3 若简单折线P的一个端点属于I C 另一个端点属于E C 则P必与C相交 4 C是I C E C 的公共边界 28 2020 2 24 定义1 7可求长曲线 设连续弧C的参数方程为 任取实数列 考虑C上对应点列 将它们用一折线连接起来 有上界 则称C为可求长的 上确界称为C的长度 的长度为 若对所有数列 光滑曲线C 特点 1 光滑曲线上的各点都有切线 2 光滑曲线可以求长 29 2020 2 24 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线 分段光滑曲线必是可以求长的 但简单曲线或简单闭曲线却不一定可求长 单连通域与多连通域的定义 复平面上的一个区域B 如果在其中任作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于B 就称为单连通域 一个区域如果不是单连通域 就称为多连通域 单连通域 多连通域 简单闭曲线的方向 沿着一条简单闭曲线C前行时 C的内部总在左侧 此方向称为曲线C的正向 否则 称为负向 o x y 30 2020 2 24 解 无界的单连通域 如图 是角形域 无界的单连通域 如图 31 2020 2 24 无界的多连通域 表示到1 1的距离之和为定值4的点的轨迹 是椭圆 有界的单连通域 32 2020 2 24 两部分都是有界的单连通域 33 2020 2 24 1 定义 第三节复变函数 2 单 多 值函数的定义 3 函数的定义域和值域 1 3 1复变函数的定义 4 复变函数与自变量之间的关系 34 2020 2 24 1 3 2映射的概念 1 引入 2 映射的定义 35 2020 2 24 1 3 2映射的概念 x u G G Z平面 z w W f z v y W平面 36 2020 2 24 3 几个特殊的映射 且是全同图形 37 2020 2 24 根据乘法公式 映射 38 2020 2 24 由于w z2 x iy 2 x2 y2 i2xy 于是u x2 y2 v 2xy 39 2020 2 24 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形 u v 40 2020 2 24 41 2020 2 24 x y 单位圆 z z 1 z1 z1 1 z z 1 z1 z1 1 42 2020 2 24 4 反函数的定义 根据反函数的定义 当反函数为单值函数时 今后不再区别函数与映射 例设w f z z2则称为w z2的反函数或逆映射 为多值函数 2支 因为不同的原象z0 z1对应共同的象 44 2020 2 24 复变函数 双值函数 x u G G Z平面 z1 w1 w1 f1 z1 v y W平面 w2 w2 f2 z1 z2 w3 z3 w2 f1 z3 W3 f1 z2 W1 f2 z2 w f z z f 1 w 反函数 z3 f1 1 w2 z1 f2 1 w2 45 2020 2 24 1 3 3复变函数的极限 1 函数极限的定义 注意 46 2020 2 24 47 2020 2 24 证 必要性 证毕 48 2020 2 24 49 2020 2 24 2 极限的计算性质 定理一 证 1 必要性 有 50 2020 2 24 2 充分性 则对于任意 证毕 51 2020 2 24 定理二 与实变函数的极限运算法则类似 以上定理用极限定义证 52 2020 2 24 证 二 例1 证 一 根据定理一可知 53 2020 2 24 例2 证 根据定理一可知 54 2020 2 24 1 连续的定义 连续的三要素 1 f z 在z0处有定义 2 f z 在z0处有极限 3 f z 在z0处的极限值等于函数值 1 3 4复变函数的连续性 55 2020 2 24 定理1 3 例如 2 连续函数的性质 56 2020 2 24 特别地 1 有理整函数 多项式 2 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的 例1 证设 由于 例2证明f z argz在原点及负实轴上不连续 证 58 2020 2 24 3 有界闭集上连续函数的性质 0 0 z1 z2 E 当 z1 z2 时 有 f z1 f z2 定理1 7设E是有界闭集 f z C E 则有 1 f z 在E上有界 2 f z 在E上有最大 小 值 即 3 f z 在E上一致连续 即 例3 证 59 2020 2 24 4 复变函数的极限性质 定理1 Bolzano Weierstrass聚点定理 每一个有界无穷点集至少有一个聚点 定理2 闭集套定理 定理3 Heine Borel有限覆盖定理 60 2020 2 24 一 复球面 1 南极 北极的定义 第四节复球面与无穷远点 2 复球面的定义 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 x y O N S z P z z 61 2020 2 24 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示 以上对应可以用公式表示为 62 2020 2 24 3 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 简称复平面 复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来 对