高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题六解析几何1_6_1直线与圆课件理新人教版

第一讲直线与圆 知识回顾 1 直线的斜率直线过点A x1 y1 B x2 y2 其倾斜角为 则斜率k tan 2 直线的两种位置关系 1 直线l1 y k1x b1 l2 y k2x b2的平行与垂直的判断 l1 l2 l1 l2 k1 k2且b1 b2 k1 k2 1 2 直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0的平行与垂直的判断 l1与l2平行 A1B2 A2B1 0 且B1C2 B2C1 0 l1 l2 A1A2 B1B2 0 3 三种距离公式 1 两点间的距离 若A x1 y1 B x2 y2 则 AB 2 点到直线的距离 点P x0 y0 到直线Ax By C 0的距离d 3 两平行线的距离 若直线l1 l2的方程分别为l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 则两平行线的距离d 4 圆的方程 1 标准方程 2 一般方程 方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是 其中圆心是 半径r x a 2 y b 2 r2 D2 E2 4F 0 5 两圆的位置关系设圆O1的半径为r1 圆O2的半径为r2 内含 内切 相交 外切 外离 易错提醒 1 忽略条件致误 应用两平行线间的距离公式时忽略两平行线方程中x y的系数应对应相等 2 不能准确掌握直线方程的适用范围致误 点斜式 斜截式方程不包含垂直于x轴的直线 两点式方程不包含与坐标轴垂直的方程 截距式方程不包含与坐标轴垂直的直线及过原点的直线 3 概念理解不准确致误 误认为两圆相切为两圆外切 忽视两圆内切的情况 误认为两圆无公共点即外离 忽视内含的情况 4 求圆的切线考虑不全面致误 过圆外一定点求圆的切线 应该有两个结果 若只求出一个结果 应该考虑切线斜率不存在的情况 考题回访 1 2016 全国卷 圆x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1 则a 解析 选A 圆x2 y2 2x 8y 13 0化为标准方程为 x 1 2 y 4 2 4 故圆心为 1 4 d 解得a 2 2016 山东高考 已知圆M x2 y2 2ay 0 a 0 截直线x y 0所得线段的长度是2 则圆M与圆N x 1 2 y 1 2 1的位置关系是 A 内切B 相交C 外切D 相离 解析 选B 圆M x2 y2 2ay 0 a 0 可化为x2 y a 2 a2 由题意 d 所以有a2 2 解得a 2 所以圆M x2 y 2 2 22 圆心距 半径和 3 半径差 1 所以二者相交 3 2015 全国卷 过三点A 1 3 B 4 2 C 1 7 的圆交y轴于M N两点 则 MN A 2B 8C 4D 10 解析 选C 由已知得所以kAB kCB 1 所以AB CB 即 ABC为直角三角形 其外接圆圆心为 1 2 半径r 5 所以外接圆方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0得y 2 2 所以 MN 4 4 2016 浙江高考 已知a R 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标是 半径是 解析 由题意知a2 a 2 解得a 1或2 当a 1时方程为x2 y2 4x 8y 5 0 即 x 2 2 y 4 2 25 圆心为 2 4 半径为5 当a 2时 方程为4x2 4y2 4x 8y 10 0 即不表示圆 答案 2 4 5 热点考向一直线的方程命题解读 主要考查直线方程 两直线的位置关系以及三个距离公式 以选择题 填空题为主 典例1 1 2016 邯郸二模 设a R 则 a 2 是直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 2 在 ABC中 A 1 1 B m 1 m 4 C 4 2 则当 ABC的面积最大时 m 解题导引 1 先判断当a 2时 l1与l2是否平行 再由l1 l2时求a 判断a是否一定为 2 2 先求AC的长度 再利用点到直线的距离公式求出点B到直线AC的距离 最后表示出面积求最大值 规范解答 1 选A 当a 2时 l1 2x 2y 1 0 l2 x y 4 0 显然l1 l2 当l1 l2时 由a a 1 2得a 1或a 2 所以a 2是l1 l2的充分不必要条件 2 选B 由两点间距离公式可得 AC 直线AC的方程为x 3y 2 0 所以点B到直线AC的距离d 从而 ABC的面积又1 m 4 所以1 2 所以当即m 时 S取得最大值 规律方法 应用直线方程的两个关注点 1 求解两条直线平行的问题时 在利用A1B2 A2B1 0建立方程求出参数的值后 要注意代入检验 排除两条直线重合的可能性 2 求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式求解 同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意 题组过关 1 2016 福州一模 已知直线l过圆x2 y 3 2 4的圆心 且与直线x y 1 0垂直 则l的方程是 A x y 2 0B x y 2 0C x y 3 0D x y 3 0 解析 选D 圆x2 y 3 2 4的圆心为 0 3 直线x y 1 0的斜率为 1 且直线l与该直线垂直 故直线l的斜率为1 即直线l是过点 0 3 斜率为1的直线 用点斜式表示为y 3 x 即x y 3 0 2 已知点A 2 0 B 2 4 C 5 8 若线段AB和CD有相同的垂直平分线 则点D的坐标是 A 6 7 B 7 6 C 5 4 D 4 5 解析 选A 由题意知 点D与点C关于AB的垂直平分线对称 由点斜式求得线段AB的垂直平分线方程为x y 2 0 再根据线段CD的中点在垂直平分线上 直线CD的斜率为 1 检验可得选项为A 加固训练 1 若点A 1 0 和点B 4 0 到直线l的距离依次为1和2 则这样的直线条数为 A 1B 2C 3D 4 解析 选C 方法一 易知过 2 0 与x轴垂直的直线符合题意 设l y k x m 即 kx y km 0 由点到直线的距离公式得 解得m 2 k 故总共3条直线符合题意 方法二 分别以A为圆心 1为半径 B为圆心 2为半径画圆 则直线l与两圆都相切 可知共有3条符合题意 2 若直线l y kx 与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 则直线l的倾斜角的范围是 解析 选B 方法一 由解得 因为交点在第一象限 所以解得 所以 直线l的倾斜角的范围是 方法二 因为直线l y kx 恒过定点 0 直线2x 3y 6 0与x轴 y轴交点的坐标分别为 3 0 0 2 又因为点 0 与点 3 0 连线的斜率为点 0 与点 0 2 连线的斜率不存在 所以要使直线l与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 则k 所以直线l的倾斜角的范围是 3 直线2x y 1 0的倾斜角为 则的值为 解析 由已知得tan 2 所以答案 热点考向二圆的方程命题解读 主要考查圆的方程 圆的弦长公式和直线与圆相切的条件 以选择题 填空题为主 典例2 1 2015 全国卷 一个圆经过椭圆的三个顶点 且圆心在x轴的正半轴上 则该圆的标准方程为 2 2016 黄山一模 已知圆C关于y轴对称 经过点A 1 0 且被x轴分成的两段弧长之比为1 2 则圆C的方程为 解题导引 1 求出椭圆的四个顶点坐标 根据圆心位置判断圆经过的三点 再用待定系数法求解 2 圆心C在y轴上 根据弧长之比可得截x轴所得弦所对的圆心角为120 从而可得圆心纵坐标与半径的关系 规范解答 1 由题意知 椭圆上 下顶点的坐标为 0 2 0 2 左 右顶点的坐标为 4 0 4 0 由圆心在x轴的正半轴上知圆过点 0 2 0 2 4 0 设圆的标准方程为 x m 2 y2 r2 则有解得 所以圆的标准方程为答案 2 因为圆C关于y轴对称 所以圆C的圆心C在y轴上 可设C 0 b 设圆C的半径为r 则圆C的方程为x2 y b 2 r2 依题意 得解之得所以圆C的方程为答案 规律方法 求圆的方程的两种方法 1 几何法 通过研究圆的性质 直线和圆 圆与圆的位置关系 进而求得圆的基本量和方程 2 代数法 用待定系数法先设出圆的方程 再由条件求得各系数 题组过关 1 2016 长春一模 抛物线y2 4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A B两点 其准线与x轴的交点为M 则过M A B三点的圆的标准方程为 解析 由题意知 A 1 2 B 1 2 M 1 0 AMB是以点M为直角顶点的直角三角形 则线段AB是所求圆的直径 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y2 4 答案 x 1 2 y2 4 2 已知 M的圆心在第一象限 过原点O 被x轴截得的弦长为6 且与直线3x y 0相切 则圆M的标准方程为 解析 设 M的方程为 x a 2 y b 2 r2 a 0 b 0 r 0 由题意知故 M的方程为 x 3 2 y 1 2 10 答案 x 3 2 y 1 2 10 一题多解 因为圆M过原点 故可设方程为x2 y2 Dx Ey 0 又被x轴截得的弦长为6且圆心在第一象限 则 3 故D 6 与3x y 0相切 则即E D 2 因此所求方程为x2 y2 6x 2y 0 故 M的标准方程为 x 3 2 y 1 2 10 答案 x 3 2 y 1 2 10 加固训练 1 在平面直角坐标系内 若曲线C x2 y2 2ax 4ay 5a2 4 0上所有的点均在第四象限 则实数a的取值范围为 A 2 B 1 C 1 D 2 解析 选A 曲线C的方程为 x a 2 y 2a 2 4 故曲线C是以点 a 2a 为圆心 2为半径的圆 由题意知解得a 2 2 已知圆 x a 2 y b 2 r2的圆心为抛物线y2 4x的焦点 且与直线3x 4y 2 0相切 则该圆的方程为 解析 因为抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 所以a 1 b 0 又根据所以圆的方程为 x 1 2 y2 1 答案 x 1 2 y2 1 热点考向三直线 圆 与圆的位置关系命题解读 主要考查直线与圆的位置关系的判断或解决参数 轨迹等问题 三种题型都有可能出现 命题角度一直线 圆 与圆的位置关系的判定与应用 典例3 2016 开封一模 如图 已知圆G x 2 2 y2 r2是椭圆 y2 1的内接 ABC的内切圆 其中A为椭圆的左顶点 1 求圆G的半径r 2 过点M 0 1 作圆G的两条切线交椭圆于E F两点 证明 直线EF与圆G相切 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成两个小题 用点斜式设出切线方程 求出切线与椭圆交点的横坐标 用k表示 求出直线FE的方程 用圆心到直线的距离等于半径证明 规范解答 1 设B 2 r y0 过圆心G作GD AB于D BC交长轴于H 即 而B 2 r y0 在椭圆上 由 式得15r2 8r 12 0 解得 舍去 2 设过M 0 1 与圆 x 2 2 y2 相切的直线方程为 y kx 1 则即32k2 36k 5 0 将 代入 y2 1得 16k2 1 x2 32kx 0 则异于零的解为设F x1 k1x1 1 E x2 k2x2 1 则 由 得则直线FE的斜率为 于是直线FE的方程为 则圆心 2 0 到直线FE的距离故结论成立 易错警示 解答本题易出现以下两种错误 1 求半径r时 不能根据三角形的相似关系找到等量关系 2 求EF的方程时不注意设而不求的技巧而导致运算烦琐出错 命题角度二已知直线 圆 与圆的位置关系求参数 典例4 1 2016 长春一模 已知过点A 0 1 且斜率为k的直线l与圆C x 2 2 y 3 2 1交于M N两点 若则直线l的方程为 2 2016 全国卷 已知直线l mx y 3m 0与圆x2 y2 12交于A B两点 过A B分别作l的垂线与x轴交于C D两点 若 AB 2 则 CD 解题导引 1 先求圆心到直线l的距离 然后根据勾股定理列方程求解 2 先根据 AB 2 求m的值 再结合直线l的斜率求 CD 规范解答 1 直线l的方程为y kx 1 圆心C 2 3 到直线l的距离解得k 2或 所求直线l的方程为y 2x 1或y x 1 答案 y 2x 1或y x 1 2 取AB的中点E 连接OE 过点C作BD的垂线 垂足为F 圆心到直线的距离d 所以在Rt OBE中 BE2 OB2 d2 3 所以d 得m 所以AB CD 的斜率为 所以 FCD 30 所以CD 4 答案 4 母题变式 1 在本例 1 中若把条件 改为其中O为坐标原点 则 MN 解析 设M x1 y1 N x2 y2 由题意得直线l的方程为y kx 1 代入方程 x 2 2 y 3 2 1 整理得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 所以 由题设可知 8 12 解得k 1 所以直线l的方程为y x 1 故圆心C在直线l 所以 MN 2 答案 2 2 在本例 1 中若圆C的方程不变 且直线l上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆C有公共点 求k的取值范围 解析 由题意知直线l的方程为y kx 1 要使直线l上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆C有公共点 只需直线l与圆C x 2 2 y 3 2 4有公共点 所以 2 解得k 0 规律方法 1 直线 圆 与圆位置关系问题的求解思路 1 研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现 两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较 2 直线与圆相切时利用 切线与过切点的半径垂直 圆心到切线的距离等于半径 建立切线斜率的等式 所以求切线方程时主要选择点斜式 过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离结合半径 利用勾股定理计算 2 弦长的求解方法 1 根据平面几何知识构建直角三角形 把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示 l 其中l为弦长 r为圆的半径 d为圆心到直线的距离 2 根据公式 l x1 x2 求解 其中l为弦长 x1 x2为直线与圆相交所得交点的横坐标 k为直线的斜率 3 求出交点坐标 用两点间距离公式求解 题组过关 1 2016 衡水二模 已知圆C x 3 2 y 4 2 1和两点A m 0 B m 0 m 0 若圆上存在点P 使得 APB 90 则m的取值范围是 解析 由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点 AB中点为原点 AB 2m 则 m 1 m 1 解得4 m 6 答案 4 6 2 2016 郑州一模 已知点M 1 0 N 1 0 曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍 1 求曲线E的方程 2 已知m 0 设直线l1 x my 1 0交曲线E于A C两点 直线l2 mx y m 0交曲线E于B D两点 C D两点均在x轴下方 当CD的斜率为 1时 求线段AB的长 解析 1 设曲线E上任意一点坐标为 x y 由题意 整理得x2 y2 4x 1 0 即 x 2 2 y2 3为所求 2 由题知l1 l2 且两条直线均恒过点N 1 0 设曲线E的圆心为E 则E 2 0 线段CD的中点为P 则直线EP y x 2 设直线CD y x t 由解得点在Rt CND中 而 解之得t 0或t 3 又C D两点均在x轴下方 直线CD y x 由 设由消y得 u2 1 x2 2 u2 2 x u2 1 0 方程 的两根之积为1 所以点A的横坐标xA 2 又因为点在直线l1 x my 1 0上 解得m 1 直线l1 y 1 x 1 所以A 2 1 同理可得 B 2 1 所以线段AB的长为2 加固训练 1 已知圆x2 y2 2x 2y a 0截直线x y