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NumberTheory 专业基础课程 铜仁学院陈尽东 开课介绍 铜仁学院陈尽东 Email trcjd 研究数的规律 特别是整数性质的数学分支 是数论的一个最古老的分支 它以算术方法为主要研究方法 主要内容有整数的整除理论 不定方程 同余式等 初等数论不仅是研究纯数学的基础 也是许多学科的重要工具 它的应用是多方面的 如计算机科学 组合数学 密码学 信息论等 如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用 初等数论就是用初等 朴素的方法去研究数论 另外还有解析数论 用解析的方法研究数论 代数数论 用代数结构的方法研究数论 中外数论科学家 毕达哥拉斯 古希腊 初等数论的先驱 大约生于公元前580年 500年 最大贡献 毕达哥拉斯定理 勾股定理 中外数论科学家 欧几里德 公元前4世纪 几何原本 通过102个命题 初步建立了整数的整除理论 他关于 素数有无穷多个 的证明 被认为是数学证明的典范 中外数论科学家 拉格朗日 法国数学家 物理学家 1736年1月25日生于意大利都灵 1813年4月10日卒于巴黎 他在数学 力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献 其中尤以数学方面的成就最为突出 中外数论科学家 高斯 1777年4月30日 1855年2月23日 德国著名数学家 物理学家 天文学家 大地测量学家 中外数论科学家 欧拉 1707年出生在瑞士 18世纪最优秀的数学家 也是历史上最伟大的数学家之一 被称为 分析的化身 中外数论科学家 费马 1601 1665 法国著名数学家 被誉为 业余数学家之王 费马大定理 费马小定理 中外数论科学家 中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就 周髀算经 孙子算经 张邱建算经 数书九章 等古文献上都有记载 孙子定理比欧洲早500年 西方常称此定理为中国剩余定理 秦九韶的大衍求一术也驰名世界 素数 质数 所谓素数 就是一个正整数 它除了本身和1以外并没有任何其他因子 素数就好象是正整数的原子一样 著名的高斯 唯一分解定理 说 任何一个整数 可以写成一串质数相乘的积 但是至今仍然没有一个一般的特别使用的式子可以表示所有的素数 1 哥德巴赫猜想 GoldbachConjecture 所有的大于2的偶数 都可以表示为两个素数 哥德巴赫猜想有两个内容 第一部分叫做偶数的猜想 第二部分叫做奇数的猜想 偶数的猜想是说 大于等于6的偶数一定是两个奇素数的和 奇数的猜想指出 任何一个大于等于9的奇数都是三个奇素数的和 例如 哥德巴赫猜想的历程 1920年 挪威的布朗证明了 9 9 1924年 德国的拉特马赫证明 7 7 1932年 英国的埃斯特曼证明了 6 6 1937年 意大利的蕾西先后证明了 5 7 4 9 3 15 和 2 366 1938年 苏联的布赫夕太勃证明了 5 5 1940年 苏联的布赫夕太勃证明了 4 4 1948年 匈牙利的瑞尼证明了 1 c 其中c是一很大的自然数 1956年 中国的王元证明了 3 4 1957年 中国的王元先后证明了 3 3 和 2 3 1962年 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了 1 5 中国的王元证明了 1 4 1965年 苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫 及意大利的朋比利证明了 1 3 1966年 中国的陈景润证明了 1 2 2 孪生素数猜想 所谓孪生素数指的就是这种间隔为2的相邻素数 它们之间的距离已经近得不能再近了 就象孪生兄弟一样 最小的孪生素数是 3 5 在100以内的孪生素数还有 5 7 11 13 17 19 29 31 41 43 59 61 和 71 73 总计有8组 孪生素数猜想 存在无穷多个素数p 使得p 2也是素数 截至2002年底 人们发现的最大的孪生素数是 33218925 2169690 1 33218925 2169690 1 在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类 第一类是非估算性的结果 这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润利用筛法所取得的 陈景润证明了 存在无穷多个素数p 使得p 2要么是素数 要么是两个素数的乘积 证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的 两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值 有无穷多个素数 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德在他的不朽著作 几何原本 里给出的 证明 反证法 假设命题不真 则只有有限多个素数 设所有的素数是2 a1ai i 1 2 n 无论是哪种情况 都将和假设矛盾 这个矛盾就完成了我们的证明 所以确实有无穷多个素数 亲和数 如果两个数a和b a的所有真因数之和等于b b的所有真因数之和等于a 则称a b是一对亲和数 220和284 220的因数除去本身之外 有1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 把这些数相加1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 284 它们的和正好等于284嘛 284也一样 因数 不包含本身 有1 2 4 71 142 把这5个数加起来就是220 难道这不奇妙吗 又如1184和1210 它们也是一对相亲数 18世纪著名数学家欧拉 就曾经一次向大家公布了60对相亲数 完全数 如果一个数除去这个数本身不算外 其他所有因数的和还等于这个数 就把这个数叫做完全数 完全数是一些特殊的自然数 比如6 就是一个完全数 因为6的因数是1 2 3 6 除去6不算 1 2 3 6 这证明了6是最小的完全数 28 496 8128 130816 33550336 这些都是完全数 现在数学家们用电子计算机来验算 已经找到有好几万位的数值非常大的完全数 事实上 至今 人类只发现了44个完全数 费马 Fermat 数论大师 费马大定理 n 2是整数 则方程xn yn zn没有满足xyz 0的整数解 这个是不定方程 它已经由美国数学家证明了 1995年 证明的过程是相当艰深的 费马小定理 假如p是质数 且 a p 1 那么a p 1 1 modp 假如p是质数 且a p互质 那么a的 p 1 次方除以p的余数恒等于1 成果 1 全部素数可分为4n 1和4n 3两种形式 2 形如4n 1的素数能够 而且只能够以一种方式表为两个平方数之和 3 没有一个形如4n 3的素数 能表示为两个平方数之和 4 形如4n 1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边 4n 1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边 类似地 4n 1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边 5 边长为有理数