第2讲 函数概念与表示(教案).doc

让学习成为一种习惯！函数概念与表示教学目标：掌握函数的基本概念（高考要求B）教学重难点：了解函数的定义方法，掌握函数“三要素”及其求法。教学过程：一、知识要点：1函数的“三要素”： 定义域、对应关系 、值域。2.常用的函数表示法：（1）列表法：（2）图象法：（3）解析法（分段函数）：（4）复合函数：（1）求函数定义域一般方法：给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；复合函数定义域：已知的定义域，其复合函数的定义域。由解出。已知的定义域，求的定义域。是在上的值域（2）求函数解析式的方法：已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法；已知函数图像，求函数解析式；数形结合法；（3）求函数值域的类型与求法：类型：求常见函数值域；复合函数的值域；组合函数的值域。求法：直接法、配方法、 离常数法、换元法、逆求法、叛别式法、数形结合。二、基础练习：1、下各组函数中表示同一函数的有 （4）（1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=； （4）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。2、（2008全国理，1）函数y=的定义域为 x|x103、已知函数定义域为(0，2)，求定义域；解：（1）由0x2，得 4、函数，的值域是5、（07山东文13）设函数则 1/2007 三、例题精讲：题型1：函数关系式例1（1）设函数解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，=变式1：（07北京文14）已知函数，分别由下表给出123211123321则的值为1；当时，1变式2：已知函数f(x)= （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.解 （1）分别作出f(x)在x0,x=0,x0段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1.题型2：求函数解析式例2.（1）f(+1)=x+2;求f(x)(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.（3）已知满足，求。解（1）令t=+1,t1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).（2）设f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.，又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.（3） ，把中的换成，得 ，得，。变式1： ，求.变式2：设二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f(2)=6,求f（x）的解析式题型3：求函数定义域例3.求下列函数的定义域.（1）x|x-3或-3x-1或x4（2） 若函数的定义域为-1,1，函数的定义域-。(3)已知：f（x）定义域为 求：f（x2 -2x-3）的定义域。（4）已知：f（x2 -2x-2）的定义域为 求：f（x）的定义域解: (3)由题意知：0x2 -2x-312 x2 -2x-30 x3或x-1 x2 -2x-150 （x-5）（x-3）0 x（4）：由题意知：令x2 -2x-2， f（x）的定义域为点评：已知：f的定义域为，求f（x）的定义域方法是：求g（x）在上的值域.若f(x)的定义域为，求f的定义域方法是：求g（x）的范围，ag（x）b的x的范围.变式：函数f (2x1)的定义域是(0, 1)，则函数f (13x)的定义域是题型4：求函数值域例4.求下列函数的值域.1. y=2+4 2. 3.y=4. y= 5. 6.7.y； 8.y1.观察法： y|y22.换元法：的值域. 变式:求函数y=3x-的值域.y|y3.配方法：而所以可得4.分离常数法(或逆求法)：y= (y|y) 变式:y=. -1,15.利用判别式：；1,5 变式：y =的最值-6.数形结合法： 求值域：，函数值域为。7.解：y（2）2y0，48.解：函数定义域为xR由原函数可化得：y1 令txR t(0，1y5t2t15（t）2根据二次函数的图象得当t即x=3时ymin.当t1即x=0时，ymax5函数的值域为y，5题型5：综合应用例5. 求定义域在-1，1上的函数的值域。解：函数式变形为 ，显然y-1由原函数表达式可得。又，得解得 ，即此函数的值域为变式：已知函数 的值域是，求此函数的定义域。解：由，解得 。由 ，解得。此函数的定义域为 。例6.已知函数 的值域为1，3，求a、b的值。解：由题意知，把原函数变形为. 当时，因,所以，即。因，所以1和3是方程的两个实根，由韦达定理解得。当y-2=0时，满足题意变式：若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为1，b（b1），求a、b的值.解 f（x）=(x-1)2+a-. 其对称轴为x=1，即1，b为f（x）的单调递增区间.f（x）min=f（1）=a-=1 f（x）max=f（b）=b2-b+a=b 由解得例7. 已知二次函数满足条件，且方程 有两个相等实根。问是否存在实数，m、n (mn)使得的定义域为m，n时，值域为3m，3n。如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由。解：因，所以函数的图象的对称轴为直线=1，可得 由，得 因方程有两个相等实根，即有相等实根，所以 将代入，得c=0。由知，b=1，所以。则，所以，即。在m，n上单调递增，假设存在满足条件的m、n，则解得又，则m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0满足条件。例8（2006重庆理21）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)x2+x)=f(x)x2+x。（）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；（）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0。求函数f(x)的解析表达式。解：（）因为对任意xR，有f(f(x)x2 + x)=f(x)x2 +x，所以f(f(2)22+2)=f(2)22+2。又由f(2)=3，得f(322+2)322+2，即f(1)=1。若f(0)=a，则f(a02+0)=a02+0，即f(a)=a。（）因为对任意xR，有f(f(x) x2 +x)=f(x) x2 +x。又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)= x0。所以对任意xR，有f(x) x2 +x= x0.。在上式中令x= x0，有f(x0)x + x0 =x0。又因为f(x0)= x0，所以x0x=0，故x0=0或x0=1。若x0=0，则f(x) x2 +x=0，即f(x)= x2 x。但方程x2 x=x有两个不同实根，与题设条件矛质，故x20。若x2=1，则有f(x) x2 +x=1，即f(x)= x2 x+1。易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为f(x)= x2 x+1（xR）。四、巩固训练：1、已知一次函数满足，则解析式是2、函数yx2的值域是3、如果函数f（x）的定义域为1，3，那么函数f（x）f（x）的定义域为 1，1 。4、如果函数f（x）=的定义域为，+，那么实数a的值是 -2 。5、函数的定义域为R，那么实数a的取值范围是 。6、已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是解：由a=0或可得12a0，7、已知 (x0), 求= 158求下列函数的值域：（1）； （2） （3）（4） （5） （6）解：（1）（配方法）（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。函数，的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又，故，的值域为。（3）分离变量法：，函数的值域为。（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为。注：总结型值域，变形：或（5）判别式法：恒成立，函数的定义域为。由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为。（6），当且仅当时，即时等号成立。，原函数的值域为。9、函数y的最大值是_4_.10、求函数yx2在下列范围内的值域：（1）x1，2 （2）x1，2 （3）x3，2 （4）xa，2 （5）xT，T2解：（1） 1，4 （2）0，4 （3） 0，9 （4）当 0a2时a2，4 当 -2a0时 0,4 当a-2时0，a2 （5）当T -2时 (T+2)2 ,T2 当-2T-1时 0，T2 当-1T0 时0,(T+2)2 当 T0时 T2，(T2)211、（1）若函数的定义域、值域都是闭区间2，2b，则b的为 2 。（2）设f(x)= g(x)是二次函数，若f(g(x)的值域是0，+），则g(x）的值域是0，+）12、（1）已知，求；（2）已知是一次函数，且满足，求；解：（1），（或）。（2）设，则，。13、设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(;(4)y=f(x+a)+f(x-a).解 （1）03x1,故0x,y=f(3x)的定义域为0, .（2）仿（1）解得定义域为1，+).（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.列出不等式组 故y=f的定义域为.（）由条件得讨论：当即0a时，定义域为a,1-a;当即-a0时，定义域为-a,1+a.综上所述：当0a时，定义域为a，1-a；当-a0时，定义域为-a，1+a.14、已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).（1）求函数的值域为0，+)时的a的值