实验1 MATLAB续：MATLAB在线性代数中的应用.ppt

MATLAB在线性代数中的应用 1 线性方程组的求解 2 特征值 特征向量 MATLAB初步 1 1齐次线性方程组AX 0 若A有n列 如果R A n 则X只有零解 若A有n列 如果R A n 则X有无穷多解 求出其通解即可 1 使用函数null 函数null用来求解零空间 即满足Ax 0的解空间 实际上是求出解空间的一组基 基础解系 格式 z的列向量是方程Ax 0的有理基 MATLAB初步 例1求解方程组的通解 A 1221 21 2 2 1 1 4 3 formatrat 指定有理式格式输出 适用于 数据较少 要求精确的场合 B null A r 求解空间的有理基 MATLAB初步 得到 B 25 3 2 4 31001 symsk1k2 X k1 B 1 k2 B 2 写出方程组的通解 pretty X 让通解表达式更加精美 于是 我们得到原线性方程组的解 定义两个符号 MATLAB初步 求解的完整代码如下 A 1221 21 2 2 1 1 4 3 formatrat B null A r symsk1k2 X k1 B 1 k2 B 2 pretty X MATLAB初步 2 使用函数rref rref是用来将一个矩阵化成行阶梯最简形 从而求解 对上例 还可以使用如下方法求解 B 10 2 5 30124 30000 B rref A 请同学们编程将它的通解写出来 MATLAB初步 1 3 2非齐次线性方程组AX b 非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解 若有解 再去求通解 第一步 判断AX b是否有解 若有解则进行第二步 因此 步骤为 第四步 AX b的通解 AX 0的通解 AX b的一个特解 第二步 求AX b的一个特解 第三步 求AX 0的通解 MATLAB初步 利用矩阵除法求线性方程组的特解 或唯一解 方程 Ax b解法 x A b 在系数矩阵不满秩时 求特解可能存在误差 A 5600015600015600015600015 B 10001 R A rank A 求秩X A B 求解 MATLAB初步 例2求解方程组 有否解 MATLAB初步 A 1 23 1 3 15 3 212 2 输入系数矩阵A的值 first inputthecoefficientmatrixAb 123 输入b的值B A b 得到增广矩阵n 4 未知变量为4个R A rank A 求得系数矩阵A的秩R B rank B 求得增广矩阵的秩formatrat 以有理数的形式显示数据ifR A R B R A n 判断有唯一解disp Ithasonlyonesolution X A b 直接用除法求该唯一解 elseifR A R B R A n 判断有无穷解disp Ithasinfinitelymanysolutions X A b 求特解C null A r 求AX 0的基础解系elseX equitionnosolve 判断无解 注意该处输出字符串X end 例3求解方程组的通解 只需修改例2的系数矩阵和常数项向量即可 原方程组的通解为X k2 k1 试用rref求解 2特征值与二次型 1 特征值求解 函数 eig d eig A 求矩阵A的特征值d 以向量 形式存放d V D eig A 计算A的特征值对角阵D 和特征向量V 使AV VD成立 V已经被归一化为单位向量了 最常见的两种形式 MATLAB初步 例4 求矩阵 的特征值和特征向量 A 211 020 413 V D eig A V 0 7071 0 24250 3015000 9045 0 7071 0 97010 3015 MATLAB初步 D 100020002 特征值2对应特征向量 0 24250 0 9701 T和 0 30150 9045 0 3015 T 即 特征值为 1 2 2 1对应特征向量 0 70710 0 7071 T MATLAB初步 2 正交规范化 格式B orth A 将矩阵A正交规范化 B的列与A的列具有相同的空间 B的列向量是正交向量 且满足 B B eye rank A 例5将矩阵 正交规范化 A 400 031 013 B orth A Q