广东省深圳实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学模拟试题

2023-2024学年广东省深圳实验中学高二上学期期中模拟数学试题考试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线的方程2023.11试卷满分：150分考试用时：120分钟是符合题目要求的.判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程.其中，真命题有()2．从点A(2,3)射出的光线沿与向量=(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在直线的方程为()3．已知点A(-2,-1)，B(3,0)，若点M(x,y)在线段AB上，则的取值范围()4．若圆M：x2+y2+4x+2y+1=0上的任意一点P(m,n)关于直线l：2ax+3by+9=0对称则(m-a)2+(n-b)2的最小值为()5．已知A(2,0)，点P为直线x-y+5=0上的一点，点Q为圆x2+y2=1上的一点，则PQ+AQ的最小值为() ABCD6．已知直线l的方向向量为=(1,0,1)，点A(1,2,-1)在l上，则点P(3,1,1)到l的距离为()7．已知圆的方程为x2+y2-2x-4y-4=0，设该圆过点M(2,3)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为()8．已知点F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左右焦点，点M为椭圆E上一点，点F1关于经F1MF2平分线的对称点N也在椭圆E上，若cos经F1MF2=7，则椭圆E的离心率为()8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.C．当m=2时，l1//l2D．当l1//l2时，两直线l1,l2之间的距离为110．设圆C:(x3)2+(y4)2=9，过点P(1,2)的直线l与C交于A,B两点，则下列结论正确的为()A．P可能为AB中点B．|AB|的最小值为3C．若|AB|=2，则l的方程为y=2D．‘ABC的面积最大值为11．如图，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则()C．直线B1E与平面B1C1C所成的角的正弦值为B．点E到直线B1C的距离为32323D．点C1到平面B1CE2323△BF1F2内切圆的半径，则()A．点M在直线PQ上B．点M在直线PQ的左侧F2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14．过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为2，则AB等于.15．已知F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，16．已知双曲线x2y24-b2=1(b>0)，过原点的直线l与双曲线交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB，AC的斜率之积为，则b若经BFC=120。，则△BFC的面积为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17本小题满分10分）(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.18本小题满分12分）:x=-my+1相交于点P，其中m<1.(1)求证：l1、l2分别过定点A、B，并求点A、B的坐标；(2)当m为何值时，ΔABP的面积S取得最大值，并求出最大值.19本小题满分12分）如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD」平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.（2）若ΔOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45。，求三棱锥A-BCD的体积.20本小题满分12分）已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，抛物线C过点M(6,-6).(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA」OB，证明：直线l过定点.21本小题满分12分）(2)点P在棱BB1上，当二面角P一A2C2一D2为150O时，求B2P.22．已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，椭圆E的短轴长等于4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设A(0,1)，B(0,2)，过A且斜率为k1的动直线l与椭圆E交于M，N两点，直线BM，BN分别交。C：x22=1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，直线BM，BN的斜率分别为k3,k4.①求证：k3.k4为定值；②求证：直线PQ过定点.参考答案：21是圆的方程，故方程可以是圆的方程；2-y-2=0，即y=x2-2是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；22可以是椭圆的标准方程；可以是双曲线的标准方程；所以真命题有3个.【详解】A(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3)，所以反射光线的斜率是-=-，所以反射光线所在直线方程为y-3=-x+2),x+2y-4=0.故选：A.【详解】因为圆M上的任意一点P(m,n)关于直线l：2ax+3by+9=0对称的点仍在圆M上，所以圆M关于直线l对称，即直线l过圆M的圆心；又P(m,n)是圆M：x2+y2+4x+2y+)2表示圆M上的点P到直线4x+3y9=0距离的平方；所以圆M上的点P到直线4x+3y一9=0距离的最小值为d一r=2，)2的最小值为4.【详解】设M(x,0),Q(x1,y1)，令AQ=MQ，xx12222xx1122牵x+1 44x23PQ+MQ有最小值，为PM，即直线如图，当P,Q,M三点共线时，且PM垂直于直线x一y+5=0时，1 2x 2故选：D【详解】由题可知，点P到l的距离为.sin,sin,=，故点P到l的距离为sin,=，故点P到l的距离为a.PA1=1.3222过点M的弦过圆心时，弦长取最大值，即AC=2r=6，当过M的弦与ME垂直时，弦长取最小值，即BD=2r2一ME2=2，此时AC」BD，此时，四边形ABCD的面积为S=AC.BD=x6x2=6.【详解】由题意可作图如下：MF1MF+MF2MF=NF1NF+NF2NF由N是M关于直线MP的对称点，则N,F2,M共线，F1P=NF1，MP」F1N，MF1=MN，代入可得：4c2所以其离心率e222xaxax22恒过定点(3,1)，A不正确；B不正确；//l2，C正确；对于A(13)2+(24)2=8<9，即点P在圆的内部，当CP」直线l时，P为AB中点，故A正确；则圆心(3,4)到直线l的距离d=故C错误；3k4k+2kk2+12，即d时等号成立，所以ΔABC2,2的面积最大值为，故D正确.11．AC【详解】如图以点A为原点，建立空间直角坐标系，-------------.+BE.+BEBCxBEBC则cosB1E,B1C------------111 2 2---BE---BE1DC.BEDDC.BEDCBE-------42--------------1则直线B1E与平面B1C1C所成的角的正弦值为cosD1C1,B1E==-------42--------------1设平面B1CE的法向量为=(x,y,z)，----CC1.n4n3则点C1到平面B1CE的距离为----CC1.n4n3故选：AC.【详解】先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为土a.过F2的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为△AF1F2的内心，设圆P与AF1,AF2,F1F2的切点分别为S,T,W，则AS=AT,F1S=F1W,F2T=F2W，(|AFAF=FW(|AFAF=FWFW=2a(|FW=a+c则切点W的坐标为(a,0).切点W与双曲线C的右顶点M重合，则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M，同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.则直线PQ的方程为x=a，双曲线C的右顶点M的坐标为(a,0)，则点M在直线PQ上.则选项A判断正确；选项B判断错误；选项D：由直线PQ的方程为x=a，可得PQ」F1F2.判断正确.2，-----------------------------------------+AD.AA1.cos60------------因此2【详解】抛物线y2=4x的焦点坐标F(1,0),准线方程l:x=一1,设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：x=my+1(m为常数),设A,B的纵坐标分别为y1,y2,线段AB中点M(x0,y0),tt2【分析】设点P在直线x=2上，设点P(2,t)，当t=0时，求出sin经F1PF2的值，当点P不为长轴端点时，设P(2,t)(t>0)，设直线PF1、PF2的倾斜角分别为C、β,可求出tan经F1PF2关于t的表达式，利用基本不等式可求得tan经F1PF2的最大值，可得出经F1PF2的最大值，即可求得sin经F【详解】不妨设点P在直线x=2上，当点P不为长轴端点时，由对称性，不妨设点P在第一象限，设点P(2,t)(t>0)，F2b2F设直线PF1、PF2的倾斜角分别为C、β,则tanC=t当且仅当t=时，即当t=时，等号成立，所以，经F1PF2的最大值为，1=.2法二：几何法，作外接圆，相切时取到最大补充：补充： 22 22令双曲线的右焦点为F,，如图所示，由B、C关于原点对称，则CF=BF,,。，SΔBFF,2【详解】（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0,1)为圆心，半径r=|AB|=，由圆心在直线2x一y一4=0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2).解法二：待定系数法2，22 2【详解】（1）在直线l1的方程中，令x=0可得y=1，则直线l1过定点A(0,1)，在直线l2的方程中，令y=0可得x=1，则直线l2过定点B(1,0)；2所以2所以2AP=((1-m)2(m+1)222m-1m2+1((1-m)2(m+1)222m2+1, 法二：几何法19．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）因为AB=AD，O是BD中点，所以OA」BD，因为OA一平面ABD，平面ABD」平面BCD，且平面ABD八平面BCD=BD，所以OA」平面BCD.因为CD一平面BCD，所以OA」CD.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，OA为z轴，OD为y轴，垂直OD且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系O-xyz， A(0,0,m),E(0,,m),C(3,1,A(0,0,m),E(0,,m),所以所以EB=(0,-,-m),BC=(,设=(x,y,z)为平面EBC的法向量，则由〈.可求得平面又平面BCD的一个法向量为O=(0,0,m)，-24+2m332VA-BCD=VC-ABD=3所以三棱锥A一BCD的体积为.[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG」BD，垂足为点G.作GF」BC，垂足为点F，连结EF，则OA∥EG.因为OA」平面BCD，所以EG」平面BCD，3‘3‘32263‘3‘3226[方法三]：三面角公式对β使用三面角的余弦公式，可得cosβ=cosC.cos30。，化简可得cosβ=cosC.①使用三面角的正弦公式，可得sinβ=,化简可得sinβ=sinC.②将①②两式平方后相加，可得cos2C+2sin2C=1，由此得sin2C=cos2C，从而可得tanC=土. 12如图可知CE(0,)，即有tan 124根据三角形相似知，点G为OD的三等分点，即可得BG=结合C的正切值，可得EG=,OA=1从而可得三棱锥A-BCD的体积为.【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.(2)证明见解析【详解】（1）因为抛物线C过点M(6,-6)，∴(-6)2=2p∴抛物线C的标准方程为y2=6x.（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线l的方程为my=x-t,(t产0)，2=6x，化为y2-6my21x2∴直线l的方程为my=x-6，∴直线过定点(6,0).21．(1)证明见解析；(2)1【详解】（1）以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，-cosn,m:-----------2C2----------2C2∥A2D2，