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第8章 几何非线性有限元分析8.1 大变形条件下的应变和应力度量一应变度量结构的初始构型：P：， Q：t时刻的构型：P：， Q：两种构型下的坐标可相互转化：* 拉各朗日（Lagrange）描述 基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。* 欧拉（Eular）描述基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。根据以上变换：， 定义： ， PQ线段的长度： PQ变形后的长度：, Green-Lagrange 应变（Green应变）, Almansi 应变定义位移向量： ， 在小应变情况下： 工程应变一应力度量欧拉应力张量（Green应力张量）：表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量变形后表面上的应力：， 变形前的应力：需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法：（1） Lagrange规定： （2） Kirchhoff规定：与坐标变换规律相同：， ：第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称， ：第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称各种应力张量之间的关系： （1）由质量守恒： （2）， （3）， （4） 注意：是非对称张量，是对称张量。8.2 几何非线性问题的表达格式几何非线性问题的有限元分析，通常采用增量分析的方法。考虑直角坐标系内的物体，增量分析的目的是：确定物体在一系列时间点，处于平衡状态的位移，速度，应变和应力。一虚位移原理（虚功原理）：描述初始时刻的物体内各点坐标。：描述时刻t的物体内各点坐标。：描述时刻的物体内各点坐标。， 从t到的位移增量：在时刻应用虚功原理：增量法的求解的基本思想是：t意见时刻的相应是已知的，时刻的相应未知（待求）。由两种方法： （1）完全Lagrange格式（T.L. 格式：Total Lagrange Formulation） 以初始时刻的构型为参考构型。 （2）更新Lagrange格式（U.L. 格式：Updated Lagrange Formulation） 以t时刻的构型为参考构型。二完全Lagrange格式单位初始表面上的等效荷载（面力）：单位初始质量上的等效荷载（体力）： 如果荷载不随变形变化（保守力）：由质量守恒，可知：应力： 因此，虚功原理可表示成：为了便于求解：将应力和应变分解成： 从t到时刻引起的应力增量 从t到时刻引起的应变增量将应变增量进一步分解： 虚功原理可进一步写成： T时刻的应力相当于初应力。可转化成等效荷载体现在方程中。三 更新的Lagrange格式更新的Lagrange格式的表达式，与完全Lagrange格式类似。所不同的是，参考构型是t时刻的构型。表达式中的0指标改成t，即可获得更形的Lagrange格式的表达式。（略）四 平衡方程的线性化（1） 物理方程的线性化：对于弹性材料，该关系式准确的
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