自动控制原理课件.ppt

2 2微分方程的线性化 实际的物理系统往往有间隙 死区 饱和等各类非线性现象 严格地讲 几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的 目前 线性系统的理论已经相当成熟 但非线性系统的理论还远不完善 因此 在工程允许范围内 尽量对所研究的系统进行线性化处理 然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法 1 当非线性因素对系统影响较小时 一般可直接将系统当作线性系统处理 2 如果系统的变量只发生微小的偏移 则可通过切线法进行线性化 以求得其增量方程式 3 一些元件的非线性程度比较严重 无法用线性特性近似 将在第7章中讨论 定义 非线性函数的线性化 是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数 忽略掉高阶无穷小量及余项 得到近似的线性化方程 来替代原来的非线性函数 方法 切线法 小偏差法 增量法 假如元件的输出与输入之间关系x2 f x1 的曲线如图 元件的工作点为 x10 x20 将非线性函数x2 f x1 在工作点 x10 x20 附近展开成泰勒级数 当 x1 x10 为微小增量时 可略去二阶以上各项 写成 其中为工作点 x10 x20 处的斜率 即此时以工作点处的切线代替曲线 得到变量在工作点的增量方程 经上述处理后 输出与输入之间就成为线性关系 图2 8为一铁芯线圈 输入为ui t 输出为i t 线圈的微分方程为 当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点 u0 i0 附近变化时 即有 线圈中的磁通对也有增量变化 假如在i0附近连续可微 将在i0附近展开成泰勒级数 即 因是微小增量 将高阶无穷小量略去 得近似式 这就是铁芯线圈的增量化方程 为简便起见 常略去增量符号而写成 返回 在求取线性化增量方程时应注意 线性化往往是相对某一工作点 平衡点 的 工作点不同 则所得到的线性化方程的系数也往往不同 增量方程中可认为其初始条件为零 即将广义坐标原点平移到额定工作点 平衡点 处 变量的偏差越小 则线性化的程度越高 线性化只适用于没有间断点 折断点的单值函数 对于严重非线性元件 原则上不能用小偏差法进行线性化 第7章 2 3传递函数 2 3 1传递函数 1 定义在零初始条件下 线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比 定义为线性定常系统的传递函数 即 2 一般n阶系统若已知线性定常系统的微分方程为 式中c t 为输出量 r t 为输入量 设c t 和r t 及其各阶导数初始值均为零 对式 2 47 取拉氏变换 得 则系统的传递函数为 或写为 3 传递函数与输入 输出之间的关系 可用图表示 2 3 2传递函数的特点 1 作为一种数学模型 传递函数只适用于线性定常系统 这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的 而拉氏变换是一种线性积分运算 2 传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式 它表达了系统内在的固有特性 只与系统的结构 参数有关 而与输入量或输入函数的形式无关 3 传递函数可以是无量纲的 也可以是有量纲的 视系统的输入 输出量而定 它包含着联系输入量与输出量所必须的单位 它不能表明系统的物理特性和物理结构 许多物理性质不同的系统 有着相同的传递函数 正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样 4 传递函数只表示单输入和单输出 SISO 之间的关系 对多输入多输出 MIMO 系统 可用传递函数阵表示 5 传递函数式 2 49 可表示成 式中p1 p2 pn为分母多项式的根 称为传递函数的极点 z1 z2 zn为分子多项式的根 称为传递函数的零点 6 传递函数分母多项式称为特征多项式 记为而D s 0称为特征方程 传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次 即n m 这是由于实际系统的惯性所造成的 7 同一系统 不同输入 输出 其传递函数不同 2 3 3典型环节的传递函数 控制系统由许多元件组合而成 这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的 但抛开具体结构和物理特点 从传递函数的数学模型来看 可以划分成几种典型环节 常用的典型环节有比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节 振荡环节 延迟环节等 1 比例环节 环节输出量与输入量成正比 不失真也无时间滞后的环节称为比例环节 也称无惯性环节 输入量与输出量之间的表达式为 c t Kr t 比例环节的传递函数为 式中K为常数 称为比例环节的放大系数或增益 2 惯性环节 非周期环节 惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程 其传递函数为 式中T 惯性环节的时间常数K 惯性环节的增益或放大系数 当输入为单位阶跃函数时 其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线 惯性环节实例很多 如图所示的R L网络 输入为电压u 输出为电感电流i 其传递函数 式中 3 积分环节 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节 其动态特性方程 其传递函数 式中Ti为积分时间常数 积分环节的单位阶跃响应为 它随时间直线增长 当输入突然消失 积分停止 输出维持不变 故积分环节具有记忆功能 如图所示 上图为运算放大器构成的积分环节 输入ui t 输出u0 t 其传递函数为 式中Ti RC 4 微分环节 理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分 其动态方程 其传递函数 式中Td称微分时间常数 它的单位阶跃响应曲线 如图所示 理想微分环节实际上难以实现 因此我们常采用带有惯性的微分环节 其传递函数 其单位阶跃响应为 曲线如下图所示 实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降 若K值很大而Td值很小时 实际微分环节就愈接近于理想微分环节 5 二阶振荡环节 二阶惯性环节 二阶振荡环节的动态方程为 其传递函数 式中为无阻尼自然振荡角频率 为阻尼比 在后面时域分析中将详细讨论 图中所示为RLC网络 输入为ui t 输出u0 t 其动态特性方程 其传递函数 式中 6 延迟环节 时滞环节 延迟环节是输入信号加入后 输出信号要延迟一段时间 后才重