第5章 均衡纯保费责任准备金.ppt

中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 第5章均衡纯保费准备金 考试内容 5 1责任准备金的计算原理5 2全离散式寿险模型责任准备金过去法未来法期初责任准备金与期中责任准备金法克勒氏方法与递推公式趸缴纯保费的责任准备金其他常用的全离散式责任准备金的变形公式5 3全连续式寿险模型责任准备金终身寿险的责任准备金其他常用的全离散式准备金的变形公式责任准备金的微分方程式5 4半连续式寿险模型责任准备金责任准备金的未来法公式责任准备金的换算函数式在UDD假设下的责任准备金公式5 5每年分m次缴费的责任准备金在全离散式下寿险的责任准备金在半连续式下寿险的责任准备金非整数期的责任准备金5 6比例责任准备金5 7亏损按各保险年度分摊 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 要点详解 5 1责任准备金的计算原理1 责任准备金概念 所谓责任准备金 是指保险人为了平衡未来将发生的债务而提存的款项 是保险人所欠被保险人的债务 未来会发生的债务包括 保险金的支付 保险合同解约的退保金 以及保险人停止营业时将合同转移给其他保险人所需的转保费等 2 责任准备金的计算过去法 已缴保费推算法 时刻t时的准备金 已缴纯保费在时刻t时的精算积累值 以往保险利益在时刻t时的精算积累值 未来法 未缴保费推算法 时刻t时的准备金 未来保险利益在时刻t时的精算现值 未缴纯保费在时刻t时的精算现值 结论 过去法与未来法是等价的 这说明责任准备金实际上是保险人在时刻t时的未来损失的期望值 在进行数值计算时 使用过去法还是未来法 有两条指导原则 1 在持续时间超出缴费期时 倾向于使用未来法 此时 责任准备金简化为未来应付保险金的精算现值 2 在尚未发生保险金给付的缴费期内 倾向于使用过去法 此时 责任准备金简化为过去纯保费的精算积累值 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 5 2全离散式寿险模型责任准备金1 过去法精算符号 x 签单时被保险人的年龄k 自签单生效日起 至计算责任准备金时止 保单所经过的整年数P 保险金额为1个单位 在x岁签单时的年缴均衡纯保费kV 该保单在第k个保单年度末时责任准备金 简称期末责任准备金对于均衡缴费的寿险 期末纯保费责任准备金为 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 1 2008年春季真题 年龄为60岁的人购买一份10年定期寿险 保险金额逐年递减 交费期为5年 已知 1 bk 1 1000 10 k k 0 1 2 9 2 每年的均衡纯保费为218 15 3 q60 k 0 02 0 001k k 0 1 2 9 4 i 0 06 计算第2个保单年度末的责任准备金2V的值为 A 70B 72C 74D 76E 78 答案 E 解析 由已知 得 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 2 未来法从未来法来看 期末责任准备金是保险人在时刻k时的未来损失的期望值 1 普通终身寿险的责任准备金以保险金额为1单位的普通终身寿险为例 考察其在时刻k时的期末责任准备金 假设签发该保单时被保险人的年龄为x岁 记随机变量J表示被保险人的年龄为x k岁时的未来寿命周年数 则其概率密度分布 保险人在时刻k时的未来损失分别为 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 终身寿险全期缴费的责任准备金 过去法 未来法 证明 过去法与未来法的公式等价 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 2 2008年春季真题 年龄为50岁的人购买保险金额为1000的完全离散的终身寿险 已知 1 1000P50 25 2 1000A61 440 3 1000q60 20 4 i 0 06 计算100010V50的值为 A 170B 172C 174D 176E 178 答案 B 解析 已知i 0 06 所以v 1 1 06 d 0 06 1 06 则有 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 3 2008年春季真题 年龄为x岁的人购买一份完全离散的终身寿险 已知 1 第一年的死亡给付是0 以后各年为5000元 2 均衡纯保费终身支付 3 4 10V表示该保险在第10个保单年度末的责任准备金 计算10V 元 A 795B 1000C 1090D 1180E 1225 答案 D 解析 设该保险的均衡纯保费为5000P 则 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 2 常见全离散式险种的期末责任准备金计算公式 设保险金额为1个单位 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 4 对于一份保额为3元 且死亡给付在死亡年末的3年期两全保单 采用由平衡原理决定的均衡纯保费 已知 i 0 2 每年支付0 94元 又责任准备金为 则Var 1L A 0 21B 0 27C 0 38D 0 52E 0 66 答案 B 解析 由于 1V P 1 i 2V 1 qx 1 3qx 1 即 0 66 0 94 1 2 1 56 1 qx 1 3qx 1 解得 qx 1 0 25 所以E 1L 1 56 0 25 0 36 0 75 0 66 E 1L2 1 562 0 25 0 362 0 75 故Var 1L E 1L2 E2 1L 1 562 0 25 0 362 0 75 0 662 0 27 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 5 一种全离散式的终身寿险 已知Px 0 01212 20Px 0 01508 A 0 13693B 0 15694C 0 17695D 0 17696E 0 18697 答案 B 解析 例题5 6 关于 x 的一份20年缴费的全离散型终身寿险 保额为1000元 已知 1 i 0 06 qx 19 0 01254 均衡保费为13 72 2 在第19年末的责任准备金为342 03则保额为1000元的关于 x 20 的全离散式终身寿险的均衡纯保费1000Px 20 元 A 11B 20C 26D 30E 33 答案 E 解析 因为 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 3 一般寿险保单假设全离散式一般寿险保单为 纯保费于每个保单年度初缴付一次 每次缴付纯保费为 j 1 j 1 2 保险金给付于死亡发生保单年度末支付 每个保单年度末的死亡给付额为bj j 1 2 则在第k个保单年度末时 保险人的未来损失kL为 第k个保单年度的期末责任准备金kV为 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 3 期初责任准备金与期中责任准备金期初责任准备金 保单在某保单年度的期初责任准备金 是指在该保单年度开始时 本保单年度的保险费已缴付的责任准备金 以k IV 表示第k个保险年度的期初责任准备金 P为第k个保险年度初时的年缴纯保费 则 一般地 年龄为x岁时签约全离散式寿险保单 在第j 1个保单年度按期初付方式缴付的年缴纯保费为 j 相应地 在第j 1个保单年度末给付的保险金为bj j 0 1 2 则该保单在k s年 k为非负整数 0 s 1 处的准备金为 在UDD假设条件下 及bk 1qx k kV k 1 i k 1V px k 5 8 式变为 其中 1 s k称为未经过纯保费 一般地 一年中某时刻处的未经过纯保费等于该年的年缴纯保费与这一时刻到达下次缴费相距时间之积 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 结论 5 10 式实际上是第k 1个年度的期初责任准备金 kV k 与期末责任准备金k 1V的近似线性插值表达式 或可解释为保单年度末的近似线性插值 1 s kV kV s与未经过纯保费 1 s k之和 常称 5 10 式为非整数期的责任准备金近似计算公式 当s 1 2时 则 5 10 式化为 称为第k 1个保单年度的期中纯保费责任准备金 例题5 7 A 0 465B 0 669C 0 760D 0 979E 0 998 答案 D 解析 由已知得 限期缴费为20年 故当t 23时 不再缴费 则有 即1 p38 0 585 1 04 0 6 p38 解得 p38 0 979 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 4 法克勒氏方法与递推公式 1 法克勒氏累积计算公式此公式可以根据前一年的准备金推算下一年的准备金 利用累积计算公式来计算责任准备金的方法 称为法克勒氏方法 2 递推公式其中 1 kV qx k 1称为第k个保单年度的净风险成本 一般地 第k个保单年度的死亡率与其纯风险金额的乘积 称为第k个保单年度风险净额的成本 5 13 式表明 任何保单年度的期末准备金等于该年度期初准备金的积存值减去该年度风险净额的成本 全离散式寿险中一常用的准备金递推公式 5 14 式表明 第k个保单年度所缴纳的纯保费 k 1 其中的一部分作为年末应支付的风险净额的成本 另一部分作为当年年度末的纯保费责任准备金 v kV k 1V 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 8 2008年春季真题 年龄为x岁的人购买一份保险金额为b的完全离散的终身寿险 已知 i 0 03 qx 9 0 02904 14 65976 第10个保单年度的期初责任准备金为343 第10个保单年度的净风险额为872 则第9个保单年度的期末责任准备金为 A 280B 288C 296D 304E 312 答案 C 解析 第10个保单年度的期初责任准备金为 10 IV 9V 343 第10个保单年度的净风险保额为 b 10V 872 由准备金递推公式 10V 9V 1 i b 10V qx 9 343 1 03 872 0 02904 328 所以b 872 10V 1200 例题5 9 中国精算师考试样题 某个 35 的完全离散保险 其第10年的死亡受益额是2500 准备金以利率i 0 1计算 年均衡纯保费为P 若9V P 10V 500 则q44 A 0 017B 0 020C 0 025D 0 033E 0 040 答案 C 解析 由准备金的递推公式 有 9V P 1 i q44 2500 p44 10V q44 2500 10V 10V即500 1 1 q44 2500 1 p44 500 解得 q44 0 025 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 5 趸缴纯保费的责任准备金假设年龄为x岁者 购买保险金额为1个单位的趸缴纯保费的终身寿险 保险金于被保险人死亡时所处的保单年度末支付 则其各年度的期末责任准备金为 6 其他常用的全离散式责任准备金的变形公式对于全离散式的一般寿险模型 定义保险人在未来时刻k时的损失变量及第k期的责任准备金分别为 下面根据前面所介绍的各险种年缴纯保费责任准备金未来法公式 导出全离散式寿险年缴纯保费责任准备金的另外三个公式 1 年金比例公式 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 2 保费差公式保费差公式 是利用保险费的精算现值来表示纯保费责任准备金 所谓 保费差 是指被保险人自x k岁时起按剩余受益计算的年缴纯保费与原年缴纯保费之差 3 减额缴清公式注 减额缴清公式表明 若保险人到第k个保单年度末不能缴付当期保费 现金价值即此刻提取的准备金 可以用来购买1个趸缴保额为的新保单 设S为减少的保额 则 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 10 2008年春季真题 已知 A 1 7B 2 7C 1 5D 2 5E 3 5 答案 D 解析 例题5 11 中国精算师考试样题 设10V35 0 150 20V35 0 354 则10V45 A 0 20B 0 21C 0 22D 0 23E 0 24 答案 E 解析 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 12 中国精算师考试样题 对某三年期完全离散两全保险 保额为3 用平衡原理决定的净年缴保费为0 94 按照有效利率20 产生的责任准备金为 计算qx A 0 19B 0 20C 0 21D 0 22E 0 23 答案 B 解析 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 5 3全连续式寿险模型责任准备金1 终身寿险的责任准备金设全连续式终身寿险的保险金额为1个单位 年缴纯保费为 在t年时 指保单年 的纯保费责任准备金为 记随机变量U表示年龄为x t岁者的未来寿命 则其概率密度函数为 upx t x t u 0 在时刻t时保险人的未来损失为 时刻t时的纯保费准备金为 特别地 当t 0时 反映了平衡原理 故未来损失的方差为 特别地 当t 0时 有 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 13 2008年春季真题 已知 1 死亡服从DeMoivre律 其中 100 2 i 0 05 A 0 075B 0 077C 0 079D 0 081E 0 083 答案 A 解析 由已知 有 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 14 中国精算师考试样题 计算 A 21B 22C 25D 26E 27 答案 B 解析 由已知 有 例题5 15 假设T x 服从 0 50 上的均匀分布 利率i 6 则 A 0 0610B 0 0712C 0 0814D 0 0820E 0 0929 答案 E 解析 由i 0 06 得 ln 1 0 06 v 1 1 06 由T x 服从 0 50 上的均匀分布知 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 2 其他常用的全连续式准备金的变形公式对于全连续式的一般寿险模型 定义保险人未来损失为 其中 bt u表示在t u时刻发生死亡时支付的保险金额 t s表示t s时刻缴纳的纯保费年缴付率 这种一般寿险的纯保费责任准备金为 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 1 全连续式常见险种年缴纯保费责任准备金的计算公式 保险金额为1 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 2 全连续式寿险年缴纯保费责任准备金的变形公式 3 终身寿险责任准备金的3个特殊公式 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 16 考虑一份特殊的完全连续型30年期两全保险 35岁签单 前30年死亡保额为1000元 若 35 在65岁仍然活着 则给付2000元 已知 1 均衡纯保费为30元 2 对 35 的一份保额为1的10年生存保险的现值为0 5 3 对 35 的10年完全连续型生存年金的年支付额为1 其现值为7 4 对 35 的一份保额为1的连续型10年定期保险的现值为0 1 则该保单第10年末的纯保费责任准备金为 元 A 100B 120C 220D 300E 350 答案 C 解析 由已知可得 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 17 2008年春季真题 65岁的人购买完全连续的终身寿险 已知 1 在时刻t的死亡给付额为bt 1000e0 04t t 0 2 均衡纯保费终身支付 3 65 t 0 02 t 0 4 0 04 则第二年末的责任准备金 A 0B 29C 37D 61E 83 答案 E 解析 由于所以均衡保费为 故由未来法 得 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 3 责任准备金的微分方程式假设年龄为x岁者 签约全连续式寿险保单 并规定 若被保险人在保险期间的时刻t时死亡 给付金额为bt 而在时刻t时年纯保费缴付率为 t t 0 则在 t t dt 时间内缴费率是 tbt 从而在时刻t时的责任准备金可表示为 令u t s 则 5 23 式转化为 对 5 24 式两边求关于t的导数 得 5 25 式表明 准备金的变化率由三部分组成 保费率 t 在利力为 和死力为 下准备金的增长率和给付金额的支付率bt x t等 将 5 25 式移项可得 其中称为基于风险净额的支付率 5 26 式表明 在时刻t时的纯保费缴付率和责任准备金利息率 与风险净额支付率与责任准备金的增长率保持平衡 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 5 4半连续式寿险模型责任准备金1 责任准备金的未来法公式半连续式的寿险模型的纯保费准备金 其计算原理与全离散式寿险模型完全相同 公式也与全离散式相应险别的公式相同 只需以 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 18 某公司为它的一台已经使用了30年的大型机器买了一份10年期定期保险 已知 每年年初公司交纳均衡纯保费5500元 如果机器损坏 公司即刻得到35万元赔付金 赔偿一次 合同结束 假如机器的寿命服从deMoivre分布 lx 100 x 0 x 100 年利率i 0 025 第7年末的责任准备金为 A 201 45B 212 65C 214 85D 274 30E 288 40 答案 C 解析 由已知得 根据未来法 该定期保险第7年末的责任准备金为 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 19 已知 Ax 0 25 Ax 20 0 40 i 1 01 d 0 03 假设死亡在每一年内服从均匀分布 则 A 0 439B 0 441C 0 459D 0 461E 0 499 答案 E 解析 由过去法 有 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 2 责任准备金的换算函数式 了解 3 在UDD假设条件下的责任准备金公式 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 20 2008年春季真题 年龄为x岁的人购买保险金额为1的终身寿险 已知 1 死亡给付在死亡时刻支付 2 均衡保费在每年初支付 3 在每个年龄内死亡均匀分布 4 i 0 10 计算第10个保单年度的期末责任准备金的值为 A 0 18B 0 25C 0 26D 0 27E 0 30 答案 C 解析 由已知条件得 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 5 5每年分m次缴费的责任准备金1 在全离散式下寿险的责任准备金 5 28 式表明 在死亡均匀分布假设下 每年分m次缴费的责任准备金等于全离散式相应的寿险责任准备金 加上全离散式定期寿险 期限为缴费h年的 责任准备金的一部分 比例是 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 2 在半连续式下寿险的责任准备金 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 21 已知满足UDD假设 利率i 0 05 A35 0 17092 10005V35 44 71 则 A 0 000172B 0 010036C 0 38272D 1 00019E 17 031204 答案 A 解析 由已知条件得 d 0 05 1 05 1 21 所以 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 3 非整数期的责任准备金对于每年分m次缴费的寿险模型 其非整数期的责任准备金 仅讨论每年分2次缴费 即半年缴付一次保险费 的情形 假设 x 签约全离散式寿险保单 在第j 1个保单年度末支付死亡保险金为bj j 0 1 2 而是每年分2次按期初缴费的年缴保费 对于非负整数k及非整数s 0 s 1 在非整数期 k s 时责任准备金记作 1 当0 s 0 5时 根据未来法 在 k s 时的责任准备金为 2 当0 5 s 1时 根据未来法 在UDD假设下 在非整数期 k s 时的责任准备金的近似公式为 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 22 关于准备金的近似公式 下列正确的为 A 1 2 B 1 4 C 2 4 D 3 4 E 1 3 答案 B 解析 2 由于连续支付时 没有未实现保费 故 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 5 6比例责任准备金1 n年两全保险比例责任准备金的公式2 n年两全保险比例责任准备金的分解公式h年缴费n年期两全保险 每年缴1次的比例分担保费可分解为 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 例题5 23 A 0 0016B 0 0026C 0 5104D 0 6326E 0 6328 答案 B 解析 中华精算师考试网官方总站 圣才学习网 5 7亏损按各保险年度分摊对于一般离散式保险 亏损L 0L 则其中K是 x 未来寿命整年数 L是死亡发生在保单年度K 1时该保险财务结果在保