8-1 二重积分及其计算.ppt

第8章重积分 主要内容本章介绍重积分 包括二重积分和三重积分 的概念 计算法以及应用 关键词重积分 doubleintegral 计算法 calculativemethod 应用 application 8 1二重积分及其计算 8 2三重积分及其计算 8 3重积分的换元法 8 4重积分的应用 8 1 1二重积分的概念 8 1二重积分及其计算 8 1 3二重积分在直角坐标系下的计算 8 1 2二重积分的基本性质 8 1 1二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是 面上的闭区域D 它的侧面是以 D的边界曲线为准线而母线平行于 z轴的柱面 它的顶是曲面 且在D上连续 此立体称作曲顶柱体 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 其步骤为 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 先分割曲顶柱体的底 并取典型小区域 曲顶柱体的体积 平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块 取典型小块 将其近似看作均匀薄片 所有小块质量之和近似等于薄片总质量 定义8 1 设 是有界闭区域 D 上的有界 函数 将闭区域D任意分成 n 个小闭区域 其中 表示第 i 个小闭区域 也表示它的面积 在每个 上任取一点 作乘积 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值 l 趋近于零 时 这和式的极限存在 则称此极限为函数 在闭区域D上的二重积分 记为 即 二重积分定义的几点说明 2 用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 则 故二重积分可写为 面积元素为 二重积分的几何意义 如果被积函数是大于零的 二重积分是柱体的体积 如果被积函数是小于零的 二重积分是柱体的体积的负值 如果被积函数是时正时负的 二重积分是所有柱体体积的代数和 曲顶柱体的体积 平面薄片的质量 性质 性质 二重积分与定积分有类似的性质 当为常数时 对积分区域具有可加性 8 1 2二重积分的基本性质 性质 性质 若为D的面积 若在D上 特殊地 因为 则有 于是 性质 设M m 分别是 在闭区域 D 上的 最大值和最小值 A D 的面积 则 为 证明 由性质4及性质1和性质3 有 设函数 在闭区域 D 上连续 A 为 D 的面积 则在 D 上至少存在一点 使得 性质6 证明 由性质5 有 再根据闭区域上连续函数的介值定理 练习1判断 练习2 估计积分 的值 其中 的符号 是 8 1 3二重积分在直角坐标系下的计算 其中函数 在区间上连续 假定 积分区域为 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法计算 表示以闭区域D为底 z f x y 为顶 的曲顶柱体的体积 过x作平 行于yoz面的平面截曲顶 柱体 得一个以区间 曲线z f x y 为曲边的曲边梯形 为底 故 其面积 从而得曲顶柱体的体积为 简记 如果积分区域为 上式为先 上式为先 的二次积分 积分区间 后 的二次积分 积分区间 后 X 型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 记为 Y 型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 记为 若区域如图 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割 D3 D2 D1 如果积分区域 既是X 型的 又是Y 型的 则 特别 则有公式 计算 的一般步骤 的草图 观察是 1先画出积分区域 或 或是混合型区域 并确定其边界函数表达式 2 根据区域的类型和被积函数的特点 选择积 分次序 不妨假设积分区域是 先对 积分 而后对 积分 故 的积分区间是 为确定 的积分限 自 内任取一点 作垂直于 轴的直线交区域 的边界于两点 自下向上 这两个交点的纵坐标 与 有关 分别作为积分 变量 的积分下限和积分上限 如果是区域 可以类似处理 计算二重积分 的简算法 1 若有界闭区域 上的连续函数 是关于 或者 的奇函数 而区域 关于 轴 或者 轴 对称 则 的上 半区域 2 若有界闭区域 上的连续函数 是关于 或者 的偶函数 而区域 关于 轴 或者 轴 对称 则 是区域 或 的 右 3 若有界闭区域 关于直线 对称 上的连续函数 则 是 证明只对 1 来证明 设 的奇函数 即 是关于 由题意不妨设 对第一项积分 令变换 则 代入原式 知 例1计算二重积分 其中 是由直 线 与 轴所围成的区域 解积分区域 如图所示 看成X 型区域 即 区域 于是 看成Y 型区域 即 也可将区域 于是 2 按先 的次序积分 后 原式 也可按先 后 的次序 原式 计算起来比较麻烦 例2计算 解这个二次积分的次序是先 后 但是 的原函数不能用 的初等函数表达 于是 要先交换积分次序 此时积分区域为 所以 原式 所围成 例3计算 其中 是由 解积分区域如图所示 按先 后 的次序 则 原式 但若按先 后 的次序 原式 例4计算 其中 是由 及 轴所围成 解积分区域如图所示 则 1 2 选用 2 式计算 于是 考虑到 的原函数不能用初等函数表达 应 D 顾被积函数的原函数是否易求 有时甚至需要交 说明 对区域 选择积分次序时 要同时兼 换原来的积分次序 例5若区域 是由直线 及 轴所围成的区域 计算 解显然区域 关于 轴是对称的 被积函数 是关于 的奇函数 故 例6求以 为曲顶 矩形区域 为底面的曲顶柱体 的体积 解由二重积分几何意义知曲顶柱体的体积 练习5求椭圆抛物面 与平面 所围立体体积 练习3计算 其中 是由直 和 所围成的闭区域 练习4计算 所围成的闭区域 其中 是由抛物线 线 及直线 解当 练习1判断 故 又当 时 于是 的符号 时 练习2 估计积分 的值 其中D是 解在 的最小值为 最大值为 而 的面积为 于是 内 解积分区域D既是X 型 又是Y 型的 化为先y后x的积分 练习3计算 其中 是由直 和 所围成的闭区域 线 化为先 可见关于 的积分计算比较麻烦 的积