8 线性离散控制系统.ppt

1 自动控制理论 2 主讲教师 黄建明 2 教材与参考书 教材 自动控制原理 下 李斌主编 机械工业出版社 2014年3月 主要参考书 1 现代控制理论 第3版 刘豹 唐万生主编 机械工业出版社 2006年9月 2 自动控制原理 第五版 胡寿松主编 科学出版社 2007年 第七章 第八章 3 8线性离散控制系统 随着数字计算机 特别是微处理器的迅速发展和广泛应用 数字控制器在许多场合已经逐步取代了模拟控制器 离散控制系统与连续控制系统相比 虽然在本质上有所不同 但是其分析和设计方法存在很大程度的相似性 本章在Z变换理论基础上 主要讨论线性离散控制系统的分析和校正方法 4 8线性离散控制系统 8 1概述 8 3Z变换 8 2信号采样与恢复 8 4离散控制系统的数学模型 8 5离散控制系统的性能分析 8 6离散控制系统的数字校正 5 8 1概述 1 离散控制系统简介 2 离散控制系统的特点和研究方法 6 1 离散控制系统简介 A D 经采样 量化 编码转换把模拟信号变成数字信号 D A 经解码 保持 信号恢复 将数字信号转化成模拟信号 7 1 离散控制系统简介 A D转换过程是A D转换器每隔一个采样周期对输入的连续信号采样一次 使其变为离散时间信号 再通过量化变成以 二进制表示的 数字信号 通常 采用采样周期为常数即等速 单速 采样的采样方式 8 1 离散控制系统简介 D A转换经解码过程把离散的数字信号转换为离散的模拟信号 再经复现过程将离散的模拟信号复现为连续的模拟信号去控制连续的被控对象 9 1 离散控制系统简介 离散控制系统的定义 如果控制系统中有一处或多处的信号呈现脉冲序列的形式或呈现数码的形式 则称这类控制系统为离散时间控制系统 简称离散控制系统 当离散信号是脉冲序列形式时 称为采样控制系统或脉冲控制系统 而将离散信号为数码或数字序列形式的离散控制系统 称为数字控制系统或计算机控制系统 10 2 离散控制系统的特点和研究方法 离散控制系统的特点 从信号上看存在离散时间信号 离散信号 采样信号 脉冲序列或数字序列 从元件上看有采样开关与信号恢复器 研究方法 在时域中 需要采用差分方程对离散控制系统进行数学描述 在频域中 利用z变换这一数学工具得到离散控制系统的脉冲传递函数 离散控制系统在z域中的分析方法与连续控制系统在s域中的分析方法有很多相似之处 11 8 2信号采样与恢复 1 信号采样 2 采样定理 3 信号恢复 在离散控制系统中 一方面 为了把连续信号变换为脉冲序列或数字序列 需要使用采样器 另一方面 又需要使用保持器将脉冲序列或数字序列变换为连续信号 因此 为了定量地研究离散控制系统 有必要对信号的采样过程和恢复过程用数学的方法加以描述 12 1 信号采样 采样过程 通过采样开关将连续信号变为离散信号 采样信号 的过程 13 1 信号采样 离散信号x t 为一理想脉冲序列 脉冲仅在采样时刻t nT n 0 1 2 出现 而脉冲强度由nT时刻的连续函数x nT 值来确定 在数字式仪表或计算机中 离散信号x t 为一数字序列 而数字序列可以看作是以数字表示其幅值的脉冲序列 它与上述脉冲序列并没有本质区别 数学描述 14 2 采样定理 连续信号x t 经采样后得到离散信号x t 它仍应包含连续信号x t 的全部信息 也就是说可以将离散信号x t 无失真地完全恢复为原来的连续信号x t 采样定理是从离散信号完全复现原连续信号的必要条件 该定理给出了信号采样的最小采样频率 15 2 采样定理 16 2 采样定理 采样周期的选择 工程实践表明 根据表8 1给出的参考数据选择采样周期T 可以取得满意的控制效果 表8 1采样周期的T参考数据 17 2 采样定理 采样周期的选择 根据工程实践经验 随动系统的采样频率可近似取为 即采样周期可按下式选取为 通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间ts 按下列经验公式选取 或者 18 3 信号恢复 零阶保持器 将离散信号转换成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号 19 3 信号恢复 T取得越小 xh t 与x t 的差别越小 相位滞后 xh t 比x t 平均滞后半个采样周期 时域特性 单位脉冲响应 为gh t 1 t 1 t T 零阶保持器的传递函数为 20 8 3Z变换与Z反变换 1 Z变换的定义 2 Z变换的基本定理 3 Z变换的方法 4 Z反变换 在线性离散控制系统中 应用z变换将描述系统的线性差分方程转化为代数方程 建立系统的脉冲传递函数 从而对系统进行分析和设计 21 1 Z变换的定义 离散信号x t 表示为 作拉氏变换可得 令z eTs 则得离散信号x t 的Z变换 并记为 Z变换的定义 上式中的X z 称为x t 的Z变换 Z变换是对离散信号 采样脉冲序列 进行的变换 z eTs z是一个复变量 X z Z x t Z x t 同一信号的Z变换 22 2 Z变换的基本定理 设x1 z Z x1 t x2 z Z x2 t x z Z x t 在Z变换中有一些与拉氏变换类似的基本定理 应用这些定理可使Z变换的运算变得简单方便 23 2 Z变换的基本定理 6 终值定理 如果 z 1 X z 在z平面的单位圆上和单位圆外均无极点 那么x t 的终值为 3 超前定理 正偏移定理 左偏移定理 24 3 Z变换的方法 1 级数求和法 例8 1求单位阶跃函数x t 1 t 的Z变换 若 z 1 上式的无穷级数是收敛的 那么可得 利用Z变换的定义式及Z变换的基本定理 得到常用函数的Z变换表 如附录1所示 25 3 Z变换的方法 2 部分分式法 当给定连续函数x t 的拉氏变换X s 时 欲求其Z变换 则先将拉氏变换式X s 进行部分分式分解 然后查Z变换表 求得其对应的Z变换X z 例8 3已知函数X s a s s a 求对应的Z变换X z 解将X s 表示为部分分式之和 对应的Z变换为 26 3 Z变换的方法 3 留数法 已知连续函数x t 的拉氏变换X s 及其极点si i 1 2 n 时 则x t 的Z变换X z 可通过留数计算式求得 式中 ri为重极点si的阶数 n为彼此不等的极点个数 27 3 Z变换的方法 解 28 4 Z反变换 1 幂级数 展开 法 长除法 已知象函数X z 求原函数x t 或x kT 的运算 称为Z反变换 记为x t Z 1 X z 设X z 为有理函数 将X z 的分子和分母都写成z 1的升幂形式 则可以直接用分母去除分子 得到无穷幂级数的展开式 对应的离散信号为 29 4 Z反变换 解将X z 的分子和分母都写成z 1的升幂形式 应用长除法得 对应的离散信号x t 为 30 4 Z反变换 2 部分分式法 31 4 Z反变换 查Z变换表得 解 32 4 Z反变换 3 留数法 留数法是求Z反变换的一种普遍方法 x kT 等于函数X z zk 1在其全部极点上的留数和 33 4 反变换 那么 解 34 8 4离散控制系统的数学模型 3 离散控制系统的结构图 1 差分方程 2 脉冲传递函数 35 1 差分方程 也可以用下列n阶前向差分方程描述 36 1 差分方程 求解差分方程常用的方法有迭代法和Z变换法 1 迭代法 已知线性定常离散系统的差分方程式 并且给定输出序列的初值 则可以递推计算出输出序列 37 1 差分方程 解由给定的差分方程可得递推关系 根据初始条件及递推关系 求得 38 1 差分方程 2 Z变换法 解设c t 的Z变换为C z 由超前定理知 对差分方程求Z变换 可得 对C z 求Z反变换 得到 39 2 脉冲传递函数 1 脉冲传递函数的定义 脉冲传递函数 z传递函数 在线性定常离散系统中 当初始条件为零时 系统 或环节 输出离散信号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比 即 40 2 脉冲传递函数 2 脉冲传递函数的物理意义 在大多数情况下 系统的输出是连续信号c t 而不是离散信号 这时可在输出端虚设一个与输入采样开关同步的采样开关得到离散信号c t 从而推导出系统的脉冲传递函数 41 2 脉冲传递函数 假设当n 1 2 3 时 g nT 0 即当n k时 g kT nT 0 则有 输入脉冲序列 根据叠加原理 输出量c t 为一系列脉冲响应之和 即 42 2 脉冲传递函数 根据Z变换的定义 输出量c t 的Z变换C z 为 43 2 脉冲传递函数 上式可以写为 那么脉冲传递函数 脉冲传递函数的物理意义 脉冲传递函数G z 是系统脉冲过渡函数g t 经采样后g t 的Z变换 44 2 脉冲传递函数 例8 15已知开环离散系统连续部分的传递函数为G s k s a s b 试求对应的脉冲传递函数G z 解将G s 展开为部分分式 对应的Z变换为 脉冲响应g t 级数求和法 脉冲传递函数G z 传递函数G s 部分分式法或留数法 差分方程 Z变换 脉冲传递函数G z 脉冲传递函数G z 45 3 离散控制系统的动态结构图 1 开环系统的脉冲传递函数 串联环节的脉冲传递函数 环节间有采样开关隔开的情况 有采样开关隔开 串联环节的脉冲传递函数等于两个环节各自的脉冲传递函数的乘积 46 3 离散控制系统的动态结构图 环节间无采样开关隔开的情况 无采样开关隔开 串联环节的脉冲传递函数等于两个环节传递函数乘积所对应的Z变换 47 3 离散控制系统的动态结构图 有零阶保持器时的开环脉冲传递函数 若W s 所对应的Z变换为W z 则 1 e Ts W s 所对应的Z变换是 1 z 1 W z 48 3 离散控制系统的动态结构图 连续信号进入连续环节的情况 连续的输入信号就直接进入连续环节时 只能求得系统的输出表达式C z 49 3 离散控制系统的动态结构图 2 闭环系统的脉冲传递函数 在离散系统中 由于采样开关在系统中所设置的位置不同 结构形式就不一样 因此系统的闭环脉冲传递函数就没有一般的计算公式 只能根据系统的实际结构具体地求取 闭环脉冲传递函数 闭环离散控制系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比 即 当连续的输入信号直接进入连续环节时 而只能求得系统的输出表达式C z 50 3 离散控制系统的动态结构图 求闭环脉冲传递函数的方法 方法一 选择系统输出变量和采样开关输出端的变量 中间变量 用z域象函数列写方程组 消去中间变量 得到闭环脉冲传递函数或输出表达式 方法二 选择系统输出变量和采样开关输入端的变量 中间变量 用s域象函数列写方程组 然后对方程组中的各变量进行采样后取Z变换 消去中间变量 得到闭环脉冲传递函数或输出表达式 51 3 离散控制系统的动态结构图 解方法一 列写方程组 X z RG1 z G1G2H z X z C z G2 z X z 52 3 离散控制系统的动态结构图 消去中间变量 得 方法二 列写方程组 X s R s X s G2 s H s G1 s C s X s G2 s c t 53 3 离散控制系统的动态结构图 消去中间变量 得 54 3 离散控制系统的动态结构图 解方法一 列写方程组 X z G1G2 z E z X z C z G1 z E z X z E z R z G3 z C z 55 3 离散控制系统的动态结构图 消去中间变量 得 E s R s C s G3 s X s E s X s G1 s G2 s E s G1 s G2 s X s G1 s G2 s C s E s X s G1 s E s G1 s X s G1 s 方法二 列写方程组 56 3 离散控制系统的动态结构图 消去中间变量 得 57 8 5离散控制系统的性能分析 1 稳定性 3 稳态误差 2 动态性能 58 1 稳定性 1 稳定的充要条件 单位阶跃输入时的系统输出 59 1 稳定性 1 稳定的充要条件 线性定常离散系统稳定的充要条件 全部特征根均分布在z平面上的单位圆内 或者所有特征根的模均小于1 即 pj 1 相应的线性定常离散系统是稳定的 稳定条件 60 1 稳定性 2 双线性变换与稳定判据 通过一种双线性变换 使z平面的单位圆内映射到一个新平面的左半平面 61 1 稳定性 2 双线性变换与稳定判据 利用劳斯判据判定离散系统的稳定性 通过双线性变换将特征方程D z 0变为新的特征方程D w 0 对于新的特征方程D w 0 利用劳斯判据判定系统的稳定性 62 1 稳定性 Routh阵列表 Routh表中第一列元素均为正 故离散系统稳定 63 2 动态性能 离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的分布对系统的动态响应具有重要影响 确定它们之间的关系 对分析和设计离散系统具有指导意义 1 闭环极点与动态响应的关系 线性离散系统的闭环脉冲传递函数 64 2 动态性能 单位阶跃响应 稳态分量 暂态分量 65 2 动态性能 0 pj 1 单调衰减过程 1 pj 0 正负交替振荡的衰减过程 Pj 1 单调发散过程 pj 1 正负交替振荡的发散过程 Pj 1 等幅过程 pj 1 正负交替振荡的等幅过程 66 2 动态性能 pj 1 衰减振荡过程 pj 1 等幅振荡过程 pj 1 发散振荡过程 pk越靠近正实轴 振荡周期越大 pk越靠近负实轴 振荡周期越小 pj 1 衰减振荡过程 67 2 动态性能 由阶跃响应求性能指标的步骤如下 2 动态性能分析 1 由闭环脉冲传递函数 z 求输出量的z变换 2 利用长除法将上式展开成幂级数 通过z反变换求得c t 3 由c t 在各采样时刻的值 得到 p tr tp ts等性能指标 其中 p 为最高采样值的超调量 tr为第一次等于或接近稳态值所对应的采样时刻 tp为最高采样值所对应的采样时刻 ts为进入允许误差范围时采样点所对应的采样时刻 68 2 动态性能 例已知系统如图所示 T 1 s K 1 r t 1 t 试求系统的动态性能指标 解开环脉冲传递函数为 闭环脉冲传递函数为 69 2 动态性能 单位阶跃响应的z变换为 用长除法将C z 展成幂级数 则 70 2 动态性能 由图可以求得给定离散系统的近似性能指标为 p 40 tr 2 s tp 4 s ts 12 s 71 3 稳态误差 离散系统的稳态响应特性与连续系统类似 它是用稳态误差来表征的 且稳态误差的大小取决于系统的特性 结构和参数 和输入信号的形式 仍然与系统的无差度 或系统的型别 有关 下面介绍计算线性离散系统稳态误差的终值定理和静态误差系数法 72 3 稳态误差 1 离散控制系统的稳态误差 误差脉冲传递函数 误差 当系统稳定 即 e z 的全部极点都位于z平面的单位圆内时 应用终值定理可得稳态误差 73 3 稳态误差 2 静态误差系数法 系统的型别 若系统的开环脉冲传递函数G z 含有 个z 1的开环极点 则称之为 型系统或系统的无差度为 阶跃输入信号 74 3 稳态误差 速度输入信号 75 3 稳态误差 加速度输入信号 76 3 稳态误差 表8 6单位反馈离散控制系统的静态误差系数和稳态误差 77 3 稳态误差 解开环脉冲传递函数为 78 3 稳态误差 系统特征方程为 即 解得特征根 特征根均位于z平面的单位圆内 故系统稳定 静态误差系数分别为 则系统的稳态误差为 79 8 6数字控制器的设计 线性离散系统的设计方法 1 模拟化设计 间接设计法 先按连续系统进行设计 然后将所设计的模拟控制器离散化得到数字控制器 2 数字化设计 根轨迹法和频率法