GRE数学SUB的准备.doc

GRE数学sub的准备2007-01-03 22:38:21 来自: Credo|无法加新小组因此弃 五. 如何准备 1.备考资料 Cracking the GRE Math Test, 2nd Edition 这本书是我复习时使用的主要参考书。书中涵盖了考试中出现的近90%的内容，每章结束之后，都有Content Review的题目进行复习。最后还附了一套仿真题。我认为这是一本不可多得的sub备考资料。这本书不贵，在Amazon上卖12美元，地址如下： /exec/obido . 103-3798320-3132649 ETS出版的Practicing to Take the Mathematics Test GRE， 3rdEdtion就不用买了，太贵了（140多美元，只有两套真题。而且书中的一套题目可以在ETS的网站上下载。另一套是谁也没见过的真题） 官方真题 目前能得到的官方真题只有97年和93年的。97年的真题是在free practice book中免费提供的，我已经上传到精华区了，文件名是Math.pdf。不过这套题目难度偏低，属于高考难度。另外一套93年的真题其实是Practicing to Take the Mathematics Test Gre, 2nd Edition，目前没有电子版，有盗版小贩卖。我当时没有做这套题目。如果想做的话，可以找cyclewalker复印，他买了。 （提示：以后ETS可能会在官方网站放出包含新的真题的Free Practice Book） REA6套仿真题 这就是臭名昭著的那6套题目。正如GFinger所说，题目又偏又难，偏的题目就直接跳过吧（其实做一做也可以，我就都做了）。题目难的好处是让大家对于真实的考试有所准备，最近几年的题目难度有上升的趋势。大家还是认真地把这6套题目做一下吧。（提示：题目我也已经上传了，是寄托天下网友的扫描版，不过打印出来效果还可以） 03年和04年的回忆题 03年的回忆题我是从寄托天下上下载的，已经上传。04年的回忆题是GFinger师兄提供的，师兄辛苦了，呵呵。回忆题由于其不完整性，只能用于临考前摸清ETS的最新出题动向，不能用来模考。不过ETS的题目重复使用率很高，大家还是认真看看这些题目。 （提示：北大数院97级编了一本如何准备GRE数学专项考试，由世图出版，里面的内容全部来自于REA的6套仿真题和93年的真题，所以不推荐大家购买） 2.考试内容 下面列一下sub考试的大致范围。 按照ETS的说法，sub考试中50%是微积分方面的题目，25%是线性代数的题目，剩下的25%是其他基本数学内容。 Sub考试总的原则是记住基本定义、定理和结论，不要管证明，更不要去记太复杂的内容。 （提示：下面我给出了一些我认为比较经典的参考书，一般来说书中的内容都是大大超过了考试内容。如果在平时做题时碰到书中索引查不到的概念，可以到这里查询：） （以下内容参考了寄托天下妙手空空的文章） 高中知识 各种三角诱导公式，和，差，倍，半公式与和差化积，积化和差公式，平面解析几何。 说明：Cracking the GRE Math Test里面第一章就是复习高中知识，我看内容基本差不多了，大家也就不用另外找书复习了。 数学分析 极限，连续的概念，单变量微积分（求导法则，积分法则，微商），多边量微积分及其应用，曲线及曲面积分，场论初步。 参考书：张筑生先生的3册数学分析新讲，Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis 说明：Cracking the GRE Math Test用了两章来复习数学分析，基本够了。我只是另外看了一些场论的公式以及Fourier分析的一点内容。不过sub中有一些数学分析方面的题目很灵活，要你判断一个命题是否正确，对于错误选项如果想不出反例来就有些麻烦了，大家要注意。 微分方程 基本概念，各种方程的基本解法。 参考书：Wolfgang Walter, Ordinary Differential Equations 说明：以Cracking the GRE Math Test中的相关章节为主，一般不难。 线性代数 普通代数，艾森斯坦因法则，行列式，向量空间，多变量方程组解法，特征多项式及特征向量，线形变换及正交变换，度量空间。 参考书：镇系之宝，张贤科老师的高等代数学，Seymour Lipschutz的Theory and Problems of Linear Algebra 说明：Cracking the GRE Math Test这本书里面的东西也差不多够了，不过鉴于sub越来越难，大家还是回去翻翻张老师的书吧。 初等数论 欧几里得算法，同余式的相关公式，欧拉-费马定理。 参考书：冯老师的整数与多项式 说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。 抽象代数 群论及环域的基本概念及运算法则。 参考书：冯老师的近世代数引论 说明：抽象代数的内容最近几年越来越多，今年考试中考到了极大理想。还好我在做REA的题目的时候碰到了高斯整环的题目，所以回去好好翻了翻书。大家要认真准备这一部分的内容。 离散数学 命题逻辑，图论初步（基本概念，表示法，邻接and关联距阵，基本运算定理如V+F-E=2），集合论（注意了解一下偏序的概念）。 参考书：J. A. Bondy and U.S.R. Murty，Graph theory with applications 说明：逻辑的题目比较简单，也就是命题逻辑的基本运算，最多再加上真值表，随便找一本离散数学的书看看基本概念就行了。集合论的题目也比较简单。不过由于系里面没有开图论的课，所以大家还是好好看书，Bondy这本书看看第一章就行了。 数值分析 高斯迭代法，插值法等基本运算法则。 参考书：李庆扬等的数值计算原理 说明：内容很少，我考试的时候没见过。 实变函数 可数性概念，可测，可积的概念，度量空间，内积等概念。 说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。 拓扑学 邻域系，可数性公理，紧集的概念，基本拓扑性质。 参考书：J. R. Munkres, Topology 说明：重点，近几年的分量越来越大。以Cracking the GRE Math Test相关章节为主，不过据说考过foundamental group，大家还是好好看看书。 复变函数 基本概念，解析性（共厄调和的概念），柯西积分定理，Taylor&Laurent展式（重点），保角变换（非重点），留数定理（重点） 参考书：方企勤先生的复变函数教程，Lars V. Ahlfors的Complex Analysis 说明：学过复变就行了，一定要记住基本公式。 概率论与统计 古典概型，单变量概率分布模型，二项式分布的正态近似 参考书：李贤平的概率论基础 说明：以Cracking the GRE Math Test中相关章节为主，一般来说很简单。不过由于2字班没有学过古典概型（托文sir的福），所以我还是把李贤平的这本书好好看了看。统计方面不用担心，不会有难题，所以不用专门找书看。 3.复习计划 我从9月中旬开始准备，同时一边上课（只选了19学分，呵呵）一边准备general test，所以战线拉得比较长，断断续续近2个月。如果是像UnitarySpace、Johnwoo、mathbooks这样的牛人来准备，应该半个月就差不多了。下面就说说我的复习安排吧，献丑了。 第1-4周：认真钻研Cracking the GRE Math Test。读完之后做书后的仿真题以及97年的真题。（因为还在准备10月23日的general test，所以用了1个月的时间） 第5-6周：做REA的6套仿真题，同时复习各科内容，检查自己的知识缺陷。 第7周（考前的一个礼拜）：看往年回忆题，同时再把Cracking the GRE Math Test中不熟悉的部分复习一遍，把所做过的题目中做错的题目再看一边。 基本就是这样_ 4.应试建议 凭我的感觉，数学sub其实就是高考数学选择题的extended version。所以很多高考时做选择题的技巧基本可以照搬（比如排除法，代入法之类的。做了几套模拟题大家的感觉就更深刻了）。其实大家都是高考过来人，不过我还是要废话几句。 做题时不用慌，sub的试题难度并不高，都是考基本概念和结论（加上一些变化），时间基本上是刚好够用。虽然最近几年难度有所增加，不过对于清华的学生，只要不粗心，2分半钟内把正确选项选出来基本没有问题。（如果粗心怎么办？回去做几套高考数学题再来）不过题目难度是逐渐上升的，所以前面做题目的时候还是做快一点，最好每题用时不要超过2分钟。难题出现在45题之后。 如果遇到3分钟都做不出来的题目，要坚决放弃，留到最后再做。因为如果为了一道题目而放弃后面的简单题目是非常不值的。 如果一道题目一个错误选项都找不出来，最好不要轻易猜答案。Sub每道题的得分期望是0，如果乱猜的话，未必能得更多的分。（当然，如果人品足够好的话） 在平时准备的时候最好熟悉一下答题纸和试题册上相关信息的填涂，不过基本上和General Test差不多。样卷和答题纸在ETS提供的样题中有。 每次做模考卷，一定要在170分钟内一次性做完，不能今天做10道，明天做20道。因为sub考试的强度太大（比General Test要不少），如果平时没有训练过的话，到了考场上做到最后20题会受不了的，体力脑力都会透支的。 高中知识 各种三角诱导公式，和，差，倍，半公式与和差化积，积化和差公式，平面解析几何。 说明：Cracking the GRE Math Test里面第一章就是复习高中知识，我看内容基本差不多了，大家也就不用另外找书复习了。 数学分析 极限，连续的概念，单变量微积分（求导法则，积分法则，微商），多边量微积分及其应用，曲线及曲面积分，场论初步。 参考书：张筑生先生的3册数学分析新讲，Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis 说明：Cracking the GRE Math Test用了两章来复习数学分析，基本够了。我只是另外看了一些场论的公式以及Fourier分析的一点内容。不过sub中有一些数学分析方面的题目很灵活，要你判断一个命题是否正确，对于错误选项如果想不出反例来就有些麻烦了，大家要注意。 微分方程 基本概念，各种方程的基本解法。 参考书：Wolfgang Walter, Ordinary Differential Equations 说明：以Cracking the GRE Math Test中的相关章节为主，一般不难。 线性代数 普通代数，艾森斯坦因法则，行列式，向量空间，多变量方程组解法，特征多项式及特征向量，线形变换及正交变换，度量空间。 参考书：镇系之宝，张贤科老师的高等代数学，Seymour Lipschutz的Theory and Problems of Linear Algebra 说明：Cracking the GRE Math Test这本书里面的东西也差不多够了，不过鉴于sub越来越难，大家还是回去翻翻张老师的书吧。 初等数论 欧几里得算法，同余式的相关公式，欧拉-费马定理。 参考书：冯老师的整数与多项式 说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。 抽象代数 群论及环域的基本概念及运算法则。 参考书：冯老师的近世代数引论 说明：抽象代数的内容最近几年越来越多，今年考试中考到了极大理想。还好我在做REA的题目的时候碰到了高斯整环的题目，所以回去好好翻了翻书。大家要认真准备这一部分的内容。 离散数学 命题逻辑，图论初步（基本概念，表示法，邻接and关联距阵，基本运算定理如V+F-E=2），集合论（注意了解一下偏序的概念）。 参考书：J. A. Bondy and U.S.R. Murty，Graph theory with applications 说明：逻辑的题目比较简单，也就是命题逻辑的基本运算，最多再加上真值表，随便找一本离散数学的书看看基本概念就行了。集合论的题目也比较简单。不过由于系里面没有开图论的课，所以大家还是好好看书，Bondy这本书看看第一章就行了。 数值分析 高斯迭代法，插值法等基本运算法则。 参考书：李庆扬等的数值计算原理 说明：内容很少，我考试的时候没见过。 实变函数 可数性概念，可测，可积的概念，度量空间，内积等概念。 说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。 拓扑学 邻域系，可数性公理，紧集的概念，基本拓扑性质。 参考书：J. R. Munkres, Topology 说明：重点，近几年的分量越来越大。以Cracking the GRE Math Test相关章节为主，不过据说考过foundamental group，大家还是好好看看书。 复变函数 基本概念，解析性（共厄调和的概念），柯西积分定理，Taylor&Laurent展式（重点），保角变换（非重点），留数定理（重点） 参考书：方企勤先生的复变函数教程，Lars V. Ahlfors的Complex Analysis 说明：学过复变就行了，一定要记住基本公式。 概率论与统计 古典概型，单变量概率分布模型，二项式分布的正态近似 参考书：李贤平的概率论基础 说明：以Cracking the GRE Math Test中相关章节为主，一般来说很简单。不过由于2字班没有学过古典概型（托文sir的福），所以我还是把李贤平的这本书好好看了看。统计方面不用担心，不会有难题，所以不用专门找书看。 Sub Maths_写给非数学专业的朋友们 aries 2005-12-13 13:49 恢复于歪酷浩劫后. 本文系寄托天下原创，转载请注明出处，谢谢。 时隔一月，记忆消退得厉害，被so猫姐催着写这篇东西，又把那堆笔记和题目翻出来，想起不少值得与大家分享的东西。 这里首先要感谢我的一个朋友，是最好的朋友之一，hitomine，目前就读于北大数学系。没有他的帮助，我根本无法入门（也许现在仍没入门），更别谈应付这个考试。从暑假耐心（且不嫌我蠢）地给我补上抽代、复变和拓朴的基本知识，把整套北数的教材借给我，到最后帮我分析考纲，写拓朴摘要和一道道回答在他看来肯定非常弱智的问题，我想，这次考试能顺利通过，完全归结于他的细心和对数学的深刻理解。 另我高兴的是，10G他考得很完美，我很高兴，他一定能达成自己的梦想的。（我会把他给我写的复习材料，和我们的邮件对答附于文后，希望对非数学专业的朋友有用。） 以下分成五部分 1非数学专业应考策略 2背景及复习历程 3网络资源 4考场实录 5附录 附1.hitomine的sub math考纲 附2.hitomine的柘朴基础摘要 附3.hitomine全程解答GOGO的傻问题 第一部分 非数学专业应考策略 将hitomine不辞辛苦写的tips分享给大家。 “ 1. 关于新的分类: 以上分类不同于ETS给出的官方标准,这是因为充分考虑到了中国考生及中国数学教学的特点而重新归类的,基本符合大多数考生的知识结构特点(包括数学专业的及非数学专业的). 2. 关于我们的目标: 对于参加这个考试的非申请数学专业的考生目标最好放在56道题,也就是说可以错十道,按照一般中国大学理工科(包括经济)的数学教学内容,模式,要求及水平,上述5个PART必然有一定的偏重. 3. 各部分的一些事项: 3.1 第一部分是初等的数学(已经按照中国高中大纲RECATEGORIZE过了),基本上包涵了高中的大部分内容，目标是错0道. 3.2 第二部分是微积分,也就是国内所说的高数,由于国内高数教学只注意操作,因而某些定性的东西对大家很陌生,一定要注意微积分的背景和意义,另外关于实数空间的拓扑学可能要参考一些数学分析的书籍,但要求很浅,不用多看,多看也看不懂的,这部分我们的目标是错3道以内. 3.3 第三部分是线性代数,大约半年多前我惊讶地发现中国很多著名大学的非数学专业的线代教学里,基本不要求线性空间(向量空间)这个概念,因此很多学生也根本不知道,在我看来这是不可想象的,无论从理论还是计算的角度,如果可能的话,希望能够掌握从空间和映射角度看问题的方法,这部分我们的目标是错1道以内. 3.4 第四部分是抽象代数,主要就是关于群,环,域这些最简单的代数对象的最基本知识,关键在于对概念的把握和例子,试题中不排除有些需要借助抽象推理的题,但大多数题目只需要从定义的一些简单工作即可,这部分我们的目标是错2道以内. 3.5 第五部分是其他,包括很多较为分散的内容,除了一般拓扑学以外,其他基本都很简单.这一部分我们的目标是错4道以内,基本是错在拓扑上,另外不排除一道考到很偏知识的题(甚至超出了我列举的范围,例如很naive的布尔代数).关于拓扑,这应该是第一放弃的题,备考的时候也要先保证其他的. 4. 一本有用的参考书: 关于第一,二,三部分的参考书,我想大家知道的肯定比我多,做过的书也一定比我多得多,而对于抽象代数,很多考生可能之前没有接触过,也不知道要看什么书学好,掌握到多少好.个人觉得聂灵沼,丁石孙的代数学引论(第二版,高等教育出版社)中的第一章内容就足够了.另外该书中第零章的2,3,4节可以帮助某些已经把初等数论的初等知识忘得一干二净的考生重拾这些简单的内容. 5. 关于模考题: 说实话,关于这件事我也一直感到很无奈,目前我们手头的材料有那6套卷子,但价值不太高,感觉题目级别和官方的卷子有着不小的差别,但是其中很多题目单独拿出来作为练习题却是很好的(这部分见以后的文章)!由于ETS的题目风格怪异,导致国内很多练习书的练习方式几乎全部失效,做ETS的题时还是没有什么感觉,两条路:本身的数学水平提高了,什么题都一样的;多分析你做过的为数不多的ETS式的题.另外官方有一套模考题,这是主要的参考标准.关于这套题,以后还会说的. ” 我很赞同。补充一句，从这次考试看 1 陈题极端重要 2 数学分析非常重要，由于是概念和基本计算 3 概率论、抽代、实分析和拓朴非常少 4 注意一些基础语汇，如consistent要知道意思 第二部分 背景及复习历程 事实上，我很清楚自己的数学水平。高中时hitomine坐在我旁边，他是差一点点就进国家队的人，差距不言而喻。最要命的是经济类数学全都是浅尝即止，高等数学重计算轻概念（这个问题最为严重），线性代数甚至都不涉及线性变换这一最最核心的观念，概率论的考试难度更是更小，只和一般的书后习题匹配。所以刚开始的时候hitomine花了老大老大的功夫给我讲数学学科的基本架构，映射、连续这种最最核心且基本的概念；他讲的很生动，而且因为超过一般数学系硕士生（并不夸张）水平，深入浅出，既充分考虑到我的无知，又能用最前沿最核心的观念给我讲基础知识，比如拓朴与分析的对较和对应，代数系统、态射等概念的建立，讲抽代基础的时候，更是把整个代数体系融成一体，使我对线性代数的本质和矩阵所表述的映射观念有了基本的感性认识。对于非数学专业的学生来说，这是自学很难达成的一件事，往往要等看过许多书之后方能有一个初步的感觉。所以我很幸运。 这个过程大概有二十天，把高等代数、抽象代数的基本概念，考试涉及的复数函数内容（最简单的部分）和拓朴的一点点皮基础简明扼要地讲给我听。之后我花了二周多装备8T，他则北上读书去了。 后面的一个月，我把hitomine留给我的一堆书浏览了一遍，精读了北大“蓝”的抽代讲义（写的真好）和香港大学的一本拓朴讲义（因为是英文写的，而且写得比较易懂），做了数十页A4的笔记；向yuanyuan和froggy借来数分和姚慕生的高代。其间又去旁听数学系的拓朴课，老师很好，但因为我实在没时间做功课，后来渐渐跟不上，听不懂了（这个拓朴好象只考了一道罢）。 最后一个月，开始做REA的六套题。对这些题的批评非常多，对他们的评论我赞同。从根本上来说，这些题目与考试完全殊途，很多偏的概念根本没必要知道（比如laplace积分变换）。但我必须说，这六套题对我帮助很大，至少，它们让我基本恢复到了高中时的数学计算水平（这个感觉可能大学里早丢了，这才慢慢捡起来）。我花了很大的功夫，大部分题目都弄懂了，做了五六十页的A4笔记。当然，这个过程仍然少不了hitomine的帮助，在后面的附录里，你们会看到hitomine的回答有多么认真。最后的三套题（两套真题一套cracking题）加上03回忆题至关重要，事实上今年很多很多题就是前两年的题。考前那晚我让hitomine做一份0304答案给我参考，他真的非常够兄弟。可惜因为题目表述问题，很多题没有追究下去，不然也许能考得更好。 第三部分 教材和网络资源 教材前辈们讲的很多，请参看： /bbs/viewthread.php?tid=239502&extra=page%3D1%26filter%3Ddigest 一本值得推荐的书是Cracking the GRE Math Test，Amazon卖12美元。此书争议颇多，主要是觉得题太少太简单。但我觉得，对非申请数学专业的非数学系学生来讲，它把知识点总览了一遍，在这个过程中熟悉了数学的英语表达，有好处。虽然出路方向与真题有差距，真题没有那么多计算，但很多概念和知识点是有针对性的。 以下列举电子资源，在gter上都能找到 REA题六套 褒贬不一，其偏且怪的出题思路明显不符真题，但有利于提高计算能力 97-99practice book，sample92-93，math97（真题），加上ETS邮来的practice book 非常重要，或是ETS的官方样题，或是真题，体现了考试思路 第四部分 应考实录 考试的过程很顺利。环境不错，上海方面一个教室都没坐满。我前后左右都是数学系的，有不少还是旁听是认识的朋友。心态很好，反正考得差了大不了不寄，或者明年再考。hitomine的策略（第一小时30题，第二小时25题）很有价值，但我贯彻得不够，前面做得慢了，以至后面比较难的题目没时间考虑，留下六题没做，估计另外还错了十道左右罢（所以实在不算是出色的表现）。但考后发现数学系的兄弟也大都没有做完，放了宽心，很轻松地径自回家去了。有一点还需要说一说，170分钟亦短亦长，但实际上真的很长，进了大学长期不持续计算可以会支持不住，所以REA的六套题和三套模考还有另一个好处是培养耐性，非常重要。 好了，不说了。像hitomine说的，sub其实是个投机取巧的东西，考的好根本不说明任何问题，但考的差也许能说明一些问题所以，祝后来的朋友们都让这个无聊考试失去意义罢。再向hitomine致以我的感谢。 顺便说一句，我最后的分数，820 92%，在数学系看来实在不算好，但对申请经济学应该可以了。 第五部分 附录 附1.hitomine的sub math考纲 Part I PRELIMINARIES 1.1 Basic knowledge of functions 1.2 Manipulations of trigonometric functions 1.3 Representations, calculations, and simple limits of sequences of numbers 1.4 Basic real geometry of dimension 2 and 3, and analytic geometry 1.5 Basic theory of arithmetic, number theory 1.6 Solving inequalities and using of fundamental inequalities AM-GM inequality and Cauchy Inequality 1.7 Basic conceptions and manipulations of complex numbers Part II CALCULUS 2.1 Topology on space R limits, continuity, open and closed sets, compactness, bounded sets, and Weierstrass Theorem 2.2 Advance manipulations, properties and meanings of functions of one variable 2.2.1 Limits LHospital Rule 2.2.2 Differentiations, derivatives, some simple Taylors expansions 2.2.3 Riemannian integral 2.3 Calculation and Estimation of local and global (absolute) extreme points and values 2.4 Basic differential geometry of curves and surfaces conception of tangency 2.5 Similar manipulations of functions of two or three variables rudimentary but Stokes Formula in classical sense are required 2.6 Simple applications of calculus, set mathematical models 2.7 Convergence of simple series of numbers Cauchy Principle Part III LINEAR ALGEBRA 3.1 Conception of vector spaces of finite dimension on fixed basic field (R or C) linear dependence and independence, base 3.2 Linear maps and transformations, their representations of matrix, rank, kernel (null space), image (range), eigenvalues and eigenvectors 3.3 Basic manipulations of matrix and determinations, solving group of linear equations 3.4 Vector spaces equipped with an inner product, standard orthogonal base Part IV ABSTRACT ALGEBRA 4.1 Groups 4.1.1 Basic conceptions and judgments subgroups, formal subgroups, quotient groups, cosets, index of subgroup, order of element, homomorphism, isomorphism, kernels 4.1.2 Crucial examples cyclic groups, permutation groups, linear groups 4.1.3 Some simple calculations order, index, cardinality of coset 4.2 Rings 4.2.1 Basic conceptions and judgments subrings, ideals, quotient rings, homomorphism, isomorphism, kernels 4.2.2 Some qualified rings integral rings (domains), commutative rings, rings equipped with a unit, and prime ideals, maximal ideals 4.2.3 Crucial examples rings of integrals, rings of algebraic numbers, rings of matrix 4.3 Fields 4.3.1 Basic conceptions and judgments 4.3.2 Crucial examples fields of numbers, finite fields Fp and their characteristics Part V SUPPLEMENTORY 5.1 General topology 5.1.1 Basic conceptions T and C axioms are not required and judgments 5.1.2 Perception of topological properties 5.1.3 Topological spaces with distance 5.2 Functions of one complex variable 5.2.1 Conception of analytic (holomorphic) and its criteria Cauchy-Riemann Equation 5.2.2 Integral on cycles the residue formula 5.3 Reading programs (procedures) and relevant naive calculations 5.4 Probability theory 5.4.1 Basic elements in modern theory of Kolmogolov and relevant manipulations 5.4.2 Calculations in classical models of probability 5.5 Logic and propositions 5.6 Linear program 5.7 Combinations and arrangements 5.8 Basic statistics 附2.hitomine的柘朴基础摘要 Rudimentary General Topology 1. Topological Spaces 1.1 Definition: topology on a set; topological space 1.2 Examples: discrete topology; trivial topology 2. Basis for a Topology 2.1 Definition: basis for a topology 2.2 Definition: the product topology; the subspace topology 2.3 Definition: equivalence of different topologies 3. Closed Sets and Limit Points 3.1 Definition: closed sets; closure; interior of a set 3.2 Proposition: Let Y be a subspace of X; let A be a subset of Y; let Ac denote the closure of A in X. Then the closure of A in Y equals AcY. 3.3 Proposition: Let A be a subset of the topological space X. (a) Then xAc if and only if every open set U containing x intersects A. (b) Supposing the topology of X is given by a basis, then xAc if and only if every basis element B containing x intersects A. 3.4 Definition: limit point (or cluster point, accumulating point, point of accumulation) *3.5 Proposition: Let A be a subset of the topological space X; let A be the set of all limit points of A. Then Ac=AA. 4. Continuous Functions (or Maps, Mappings) 4.1 Definition: continuous function (compare, as an example, with the analytic version of continuity of f:R-R via the - definition) *4.2 Proposition: Let X and Y be topological spaces; let f:X-Y. Then the following are equivalent: (a) f is continuous; (b) For every subset A of X, one has f(Ac)?f(A)c; (c) For every closed subset B of Y; the set f -1(B) is closed in X; (d) For each xX and each neighbourhood V of f(x), there is a neighbourhood U of x such that f(U)?V. 4.3 Definition: homeomorphism 5. The Metric Topology 5.1 Definition: metric; metric topology; metrizable space; bounded set 5.2 Examples: the euclidean metric d on Rn; the square metric and their equivalence *5.3 Proposition: Let f:X-Y; let X and Y be metrizable with metrics dX and dY, respectively. Then continuity of f is equivalent to the requirement that given xX and given 0, there exists 0 such that dX(x,y) implies dY(f(x),f(y)Y. If the function f is continuous then for every convergent sequence xn-x in X, the sequence f(xn) converges to f(x). The converse holds if X is metrizable. *5.6 Definition: uniformly convergent sequence of functions *5.7 Uniform limit theorem: Let fn:X-Y be a sequence of continuous functions from the topological space X to the metric space Y. If fn converges uniformly to f, then f is continuous. 6. Connected Spaces 6.1 Definition: connected space *6.2 Proposition: A space X is connected if and only if the only subsets of X that are both open and closed in X are the empty set and X itself. *6.3 Proposition: Let A be a connected subspace of X. If A?B?Ac, then B is also connected. *6.4 Proposition: The image of a connected space under a continuous map is connected. 6.5 Definition: path connected space *6.6 Proposition: The image of a path connected space under a continuous map is path connected. *6.7 Proposition: A connected space must be path connected, but the converse does not hold universally. 7. Compact Spaces 7.1 Definition: covering; open covering; compactness *7.2 Proposition: Let Y be a subspace of X.Then Y is compact if and only if any covering of Y by sets open in X contains a finite subcollection covering Y. *7.3 Proposition: Every closed subspace of a compact space is compact. *7.4 Proposition: Every compact subspace of a Hausdorff (we assume the term now whose definition will be required in the later part) space is closed. *7.5 Proposition: The image of a compact space under a continuous map is compact. *7.6 Theorem: Let f:X-Y be a bijective (injective and surjective) continuous function. If X is compact and Y is Hausdorff, then f is a homeomorphism. *7.7 Theorem: A subspace A of Rn is compact if and only if it is closed and bounded (in the euclidean metric d). *7.8 Definition: uniformly continuous function *7.9 Uniform continuity theorem: Let f:X-Y be a continuous map of the compact metric space X to the metric space Y, then f is uniformly continuous. 8. Seqentially Compact Spaces 8.1 Definition: subsequence; sequentially compact *8.2 Proposition: Compactness implies sequentially compactness, but the converse does not hold universally. *8.3 Proposition: If X is a metrizable space. Then compactness and sequentially compactness are equivalent. *8.4 Bolzano-Weierstra theorem: Bounded sequence i