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“南水北调”水的分配摘要 本文主要研究的是“南水北调”水的分配问题。 对生活用水的分配，我们首先考虑保障人民的生活用水，即先按2000年人均用水标准将各城市新增加的人口进行初始分配。结果发现初始分配后有剩余，为了体现公平原则，我们采取公平席位分配中的Q值法进行再分配。值得注意的是，我们将这里的Q值法进行了简化处理。 在工业和综合服务业用水的分配中，我们建立了单目标线性规划的方法。我们将所调的工业用水和综合服务业用水产值总和作为目标函数，使其达到最大即可。约束条件中，除了对工业用水和综合服务业用水的限制，在这里我们还从人均产值的角度出发，将各城市的人均产值限定在一定的范围，即将20个城市中最大的人均产值与最小的人均产值之差限定在一个阈值内，调整不同的阈值我们可以得到不同的调水方案。 在模型的检验部分，我们对各城市最终调水量的合理性进行了综合评价。我们以各城市分配的生活、工业及综合服务用水量为3个指标构建了评价指标体系，并利用极差标准化对各指标进行标准化处理。然后运用偏大型正态分布函数对各指标进行动态加权，从而构造出最终调水量合理性的综合评价指标。结果显示，在20个城市中，1、2、5、7和9号城市调水量合理性最高，其它城市调水量合理性较均衡。关键字：Q值法；线性规划；阈值；综合评价指标1、 问题重述我国南涝北旱，南水北调工程通过跨流域的水资源合理配置，大大缓解我国北方水资源严重短缺问题，促进南北方经济、社会与人口、资源、环境的协调发展。南水北调中线工程建成后，预计2012年的调水量为118亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平。生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40、38和22。题中给出了2000年各城市基本状况的统计数据（具体见附件），要求我们从保障人民生活用水和经济发展的角度，给出2012年的调水量的分配方案。题中还要求我们考虑每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在12年内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡，在此基础上再给出合理的调水方案。2、 问题的分析 此属于分配问题，难点在于要适当照顾各城市经济发展的均衡，在此基础上再对各城市进行工业和综合服务业用水的分配。具体分析如下： 对于生活用水的分配，我们首先要考虑保障人民的生活用水，即先按2000年人均用水量标准进行初始分配。对初始分配有剩余的情况，为了体现公平原则，我们可以采取公平席位分配中的Q值法进行再分配。但这里的Q值法要进行简化处理。 对工业用水和综合服务业用水的分配，要考虑经济利益的最大化，而且又要适当照顾各城市经济发展的均衡，因此我们考虑用单目标线性规划的方法。我们可以将所调的工业用水和综合服务业用水产值总和作为目标函数，使其达到最大即可。约束条件中，工业用水和综合服务业用水均有限制，更重要的是要考虑各城市的均衡发展，在这里我们可以从人均产值的角度出发，即将各城市的人均产值限定在一定的范围。 最后，我们还可以从综合评价的角度，对最终的分配方案合理性进行综合评价。3、 模型假设1、 原有供水量不变2、 各城市经济发展相互独立，互不影响3、 不考虑水的重复循环利用4、 城市人口、工业产值和综合服务业年均产值年增长率均保持不变4、 符号及变量说明 第i个城市2000年人口总数 第i个城市的工业调水量 第i个城市2000年万元工业增加值用水量 第i个城市2012年万元工业增加值用水量 第i个城市2000年工业产值增加值 第i个城市综合服务业调水量 第i个城市2000年万元综合服务业用水量 第i个城市2012年万元综合服务业用水量 第i个城市综合服务业产值人均产值 第i个城市人口年自然增长率 第i个城市工业产值年增长率 第i个城市综合服务业产值年增长率 第i个城市人均产值Q 工业用水和综合服务业用水产值总和5、 模型的建立与求解5.1模型的建立：5.1.1生活用水公平分配模型 针对本问题，供水时需考虑保障人民生活用水，所以先以2000年各城市人均生活用水量为标准分别进行分配，初步分配后发现有剩余。我们将剩余的水进行公平分配。因此可以考虑采用席位分配模型，我们使用最常用的Q值公平分配模型。 Q值法介绍设A,B两方人数分别为；分别占有 和个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为 和 .则相对公平的席位分配方案为:如果两方分别占有和席,当总席位增加1席时,应该分配给A还是B.不妨设,即对A不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：I .当时,这说明即使给A增加1席,仍然对A不公平,所以这一席显然应给A方.II.当时,这说明给A增加1席,变为对B不公平,此时对B的相对不公平值为: （2）III.当时,这说明给B增加1席,将对A不公平,此时对A的相对不公平值为: （3）因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果 （4）则这1席给A方,反之这1席给B方.由(2)(3)可知,(4)等价于 （5）不难证明上述的第I种情况也与(5)式等价,于是我们的结论是当(5)式成立时,增加的1席应给A方,反之给B方.若记:则增加的1席给Q值大的一方.Q值法简化应用说明： 表示第i个城市的2012年总人口数，表示第i个城市2000年人均生活用水量，所以第i个城市的Q值如下： 5.1.2工业用水和综合服务业用水的分配模型 对于工业用水和综合服务业用水的分配，我们建立了单目标线性规划模型（1） 目标函数的建立规定一：万元工业增加值用水量工业用水量/工业增加值所以2012年各城市万元工业增加值用水量如下： 也即： （i=1，2，20）规定二：万元综合服务业用水量=综合服务业用水量/综合服务业产值所以2012年各城市万元综合服务业用水量如下： 也即： （i=1，2，20） 为从经济角度考虑工业用水和综合服务业用水的分配，我们用所调的工业用水和综合服务业用水产值总和最大为目标函数： （2） 约束条件的确立1、 各城市工业及综合服务业调水量总和分别等于总调水量总和的38和22，即 （i=1，2，20） （i=1，2，20）2、 每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在12年内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡。我们先规定：人均产值=（综合服务业总产值+工业增加值总产值）/人口总数所以第i个城市的人均产值如下： （i=1，2，20） 为考虑各城市的经济发展均衡，则各城市的人均产值不宜差别太大，所以 为最大人均差值与最小人均差值的阈值（3）单目标规划模型 在给出了目标函数和约束条件后，即可得到一个使得运输费用最小的单目标规划模型如下： 5.2模型的求解：5.2.1生活用水公平分配模型的求解先以2000年各城市人均生活用水量为标准分别进行分配，计算结果具体如下表：表一：初始分配城市序号12345678910初始分配（亿立方米）0.509000.353010.116420.229090.105430.188420.342660.090680.117130.21168城市序号11121314151617181920初始分配（亿立方米）0.134850.109260.150300.342340.305890.203730.229530.087120.091950.28321由上表可知初始分配的水的总量为4.2017亿立方米。又118亿立方米的水中必有40%用于生活用水，即47.2亿立方米，所以经初始分配后剩余的水有42.9983亿立方米。根据模型的公式计算各城市的Q值如下：表二：各城市Q值城市序号12345678910Q值67.732925.51690.12060.0673 0.02450.06960.97970.03040.07000.0840城市序号11121314151617181920Q值0.02090.01570.07630.20121.01030.06950.09870.01030.04790.1647再根据模型计算剩余水的分配如下表所示表三：剩余水的分配城市序号12345678910剩余分配（亿立方米）30.208011.38020.05380.0300 0.01090.03100.43690.01360.03120.0375城市序号11121314151617181920剩余分配（亿立方米）0.00930.00700.03400.08970.45060.03100.04400.00460.02140.0735所以最终的生活用水分配如下所示：表四：生活用水的分配城市序号12345678910生活用水（亿立方米）30.717011.73320.17020.2591 0.11630.21940.77960.10430.14830.2492城市序号11121314151617181920生活用水（亿立方米）0.14420.11630.18430.43200.75650.23470.27350.09170.11340.35675.2.2工业用水和综合服务业用水的分配模型的求解：根据以上单目标线性规划模型，用lingo编程对其求解（这里取为2万元），具体如下：表五：各城市工业用水量分配城市序号12345678910工业用水（亿立方米）6.14045.04381.86612.4389 5.00510.97073.78272.34708.61170.6465城市序号11121314151617181920工业用水（亿立方米）0.23890.52110.67370.38110.25860.47780.68080.70340.52451.2001表六：各城市综合服务业用水量分配城市序号12345678910综合服务（亿立方米）15.00076.96310.11700.18490.05320.07890.72810,10980.11650.1208城市序号11121314151617181920综合服务（亿立方米）0.14180.08520.07200.16371.63080.06790.07140.05400.10980.0903综上所述各城市的总调水量如下所示：表七：各城市调水量总分配城市序号12345678910生活用水（亿立方米）30.71711.73320.17020.25910.11630.21940.77960.10430.14830.2492工业用水（亿立方米）6.14045.04381.86612.43895.00510.97073.78272.3478.61170.6465综合服务（亿立方米）15.00076.96310.1170.18490.05320.07890.72810.10980.11650.1208总调水量（亿立方米）51.858123.74012.15332.88295.17461.2695.29042.56118.87651.0165城市序号11121314151617181920生活用水（亿立方米）0.14420.11630.18430.4320.75650.23470.27350.09170.11340.3567工业用水（亿立方米）0.23890.52110.67370.38110.25860.47780.68080.70340.52451.2001综合服务（亿立方米）0.14180.08520.0720.16371.63080.06790.07140.0540.10980.0903总调水量（亿立方米）0.52490.72260.930.97682.64590.78041.02570.84910.74771.64716、 模型的检验下面我们对各城市的调水总量合理性进行综合评价 结合上述结果，我们构建评价指标体系，包括以下3个评价指标：指标1：生活用水量指标2：工业用水量 指标3：综合服务业用水量 对各城市而言，各指标越大越好。为了得到一个实用性更强的综合评价，我们首先将各指标统一成标准化指标。 具体地，对于“值越大越好”的指标，已知进行评价的3类用水量的指标，其极差标准化的公式为 然后采用动态加权法来确定相应的综合评价指标，这里取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即 由实际数据计算可得分别为0.0740660.225340.083278分别为0.233520.282760.23935。代入上式可以得到3项指标的权值函数。因此，某个城市调水量合理性的综合评价指标定义为 运用matlab软件编程进行求解，将得到的综合评价指标的大小对这些城市进行排序，其综合指标越大的城市，其调水总量合理性越高。结果如下表所示：表八：各城市综合评价指数城市序号12345678910综合评价指数2.66511.184800.0045600.4395700.163930.0021910.999450城市序号11121314151617181920综合评价指数00000.0009100000 由上表结果可知，在20个城市中，1、2、5、7和9号城市合理性最高，其他合理性较均衡。7、 模型的评价与改进 在生活用水公平分配模型中我们采用了简化的Q值法，对初始分配后剩余的水按Q值比例进行分配,达到了公平的效果。但模型中缺乏对简化Q值法合理性的讨论，这使得简化方法应用的根据不足。 在工业用水和综合服务业用水的分配模型中，我们采用了单目标线性规划的方法。为了使工业用水和综合服务业用水的分配不过于集中，我们对各城市的人均产值进行了限制，并设置了相应的阈值，改变的值可以得到在不同经济水平下各城市的调水方案。 在模型的检验部分，我们采用了综合评价的方法对各城市调水总量的合理性进行评价，评价结果合理可行。参考文献1姜启源，谢金星，叶俊.数学建模.北京：高等教育出版社，2010.2刁在筠，刘桂真，宿洁，马建华.运筹学.高等教育出版社.2010.附件：2000年各城市基本状况的统计数据城市序号城市人口工业产值综合服务业产值人均生活用水量(m3)万元工业增加值用水量(m3)万元综合服务业用水量(m3)总数(万人)年自然增长率()增加值(亿元)年增长率(%)人均产值(万元)年增长率(%)112852.0473711.11.1613.216014335426823.0373911.70.8312.2140722093569.1519310.00.3010.01801022454875.9026812.50.2312.1360963255465.874809.80.228.63151101856786.122567.60.207.631812017872185.4146410.20.4411.8235862678524.5018910.90.1512.03151311659813.6972110.00.2211.432012623010836.611106.90.1611.731018632011428.00369.60.1812.332021022012416.10978.70.1413.535217017413726.0110410.30.228.9280205160141286.92678.00.189.4310180250152205.1231012.90.5310.22208816416786.567211.10.179.232021018017906.611148.80.188.431018915518326.4410610.00.1211.334021016519584.60839.00.1510.3280200148201215.9021110.40.138.8320180202全国平均10.79.90.237.8219610288工业用水和综合服务业用水的分配模型程序：MODEL:sets:city/1.20/:y,I,A,z,S,P,B,r2,r3,c,d,x1;endsetsdata:x1=1285 682 56 87 4678 218 52 81 83 4241 72 128 220 7890 32 58 121;I=0.111,0.117,0.10,0.125,0.098,0.076,0.102,0.109,0.100,0.069,0.096,0.087,0.103,0.0080,0.129,0.111,0.088,0.100,0.090,0.104;c=737 739 193 268 480 256 464 189 721 110 36 97 104 67 310 72 114 106 83 211;d=1.16 0.83 0.30 0.23 0.22 0.20 0.44 0.15 0.22 0.16 0.18 0.14 0.22 0.18 0.53 0.17 0.18 0.12 0.15 0.13;A=143,72,102,96,110,120,86,131,126,186,210,170,205,180,88,210,189,210,200,180;S=0.132,0.122,0.100,0.121,0.086,0.076,0.118,0.120,0.114,0.117,0.123,0.135,0.089,0.094,0.102,0.092,0.084,0.113,0.103,0.088;p=0.0204,0.0303,0.0915,0.059,0.0587,0.0612,0.0541,0.045,0.0369,0.0661,0.080,0.061,0.0601,0.0692,0.0512,0.0656,0.0661,0.0644,0.046,0.059;