因式分解运用公式法第2课时（完全平方公式）.doc

因式分解公式法2（完全平方公式）教学设计 肇庆市第六中学 黄建敏一.内容和内容解析1.内容：因式分解的概念，运用公式法，完全平方公式2.内容解析：因式分解是整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系。因式分解是后续学习分式，二次根式，一元二次方程，二次函数等知识的基础，也是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具。 运用公式法是因式分解的基本方法。通过逆向运用公式，变成两底数的和的平方或两底数差的平方。其中，运用完全平方公式进行因式分解的关键在于找出公式中a和b，其中a和b可以是单项式，也可以是数或多项式。完全平方公式差和平方差公式学生经常混淆，所以在教学中，要注意提醒学生公式易混淆的地方。二.目标和目标解析1.目标（1）熟悉因式分解的概念（2）了解完全平方公式的结构特点，会用运用完全平方公式进行因式分解2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生熟悉因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法是互逆变形的关系，能识别某一式子变形是否是因式分解，是否分解完全。达成目标（2）的标志是：学生能区分完全平方差和平方差公式，了解两公式的结构特点；知道公式中的a和b可以是单项式，数或多项式；熟悉运用完全平方公式进行因式分解；掌握运用公式法的一般步骤，并能进行简单的公式代入。三.教学问题诊断分析因式分解不同于数的计算，是对整式进行变形。在整式乘法的认识还不够深入的前提下，学生会出现因式分解后又转回去相乘的错误。解决此问题的关键在于让学生正确理解因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。学生在运用完全平方公式的过程中经常遇到的困难就是没有把平方项的底数找准，忽略x2前面的数字，或者没有检查中间乘积的两倍项，或者没有留意到底是完全平方和公式还是完全平方差。解决此问题的关键是先要找准平方项的底数，以及掌握判别公式的办法。本节课的教学难点：正确掌握完全平方公式的结构特点，找准公式中的a和b。四.教学过程设计（一）复习提取公因式法和运用平方差公式进行因式分解问题1：上一节我们学习了因式分解和提取公因式法的概念，以及公因式的确定方法，知道可以把公因式提到括号外面，把多项式除以公因式所得的商式作为另一个括号内的因式，以此把一个多项式进行因式分解。练习1. 用提取公因式法分解因式(1) 2x+4y 解:公因式： 原式= (2) 6x28x 解:公因式： 原式= (3) 3(x+y)x(x+y) 解:公因式： 原式= 设计意图：复习因式分解中的提取公因式法，熟悉公因式的确定方法，提醒学生在运用提取公因式法时的注意事项：公因式要提尽，小心漏掉1 公因式是多项式时,要注意符号问题 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式 此方法优先使用追问1：平方差公式是把两数平方的差转变成两底数和与两底数差的形式，如何确定公式中的a和b？练习2. 用平方差公式分解因式(1) x29 解:原式=( )2( )2= (2) 9x216y2 解:原式=( )2( )2= (3) 4(xy)2 解:原式=( )2 2= 设计意图：让学生熟悉平方差公式的结构特点，找准哪个数和式子相当于公式中的“第一个数”a，哪个数和式子相当于公式中的“第二个数”b，并运用公式进行因式分解。(二)新课导入1. 思考:运用完全平方公式进行快速计算(1) 152 +2155 +52= (2) 132 2133 +32= (3) 272 +2273 +32= 设计意图：引导学生从数的方向，找出公式中的a和b，判别完全平方公式的类型，逆用完全平方公式，公式具体化，让学生体会运用公式进行简化运算的必要性。追问2：你能将下列多项式进行因式分解吗?(1) x2+2x+1 (2) y22y+1(3) x2+4x+4 (4) a22ab+b2设计意图：让学生尝试从单项式的方向，找出公式中的a和b，判别完全平方公式的类型，逆用公式进行因式分解，让学生经历从数到字母的公式变形过程，体会数学中类比的数学思想方法。追问3：请大家找一下，说一说公式的特征！完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 , a22ab+b2=(ab)2公式特点： 项式 有两个 号的平方项 第三项是两平方项底数乘积的2倍设计意图：让学生尝试归纳完全平方公式的结构特点，区分三项多项式是否能用完全平方公式进行因式分解，提高学生的文字归纳能力。追问4：下列各式是不是完全平方式?(1) a2ab+b2 (2) a24a+4 (3) x26x9 (4) x29 (5) a22abb2师生活动：学生独立思考，说明答案，对错误的问题相互交流，订正答案。设计意图：通过正误辨析及纠错，改错，让学生熟悉完全平方公式的结构特点，区分平方差公式和完全平方公式，为后面的代入部分铺垫。（三）初步应用完全平方公式例题1.因式分解(1) x2+14x+49 解：原式=( )2+2 +( )2=( + )2(2) 2510x+x2 解：原式=( )22 +( )2=( )2师生活动：师生共同分析，并解答问题。教师引导学生找出x2和72=49，找出底数x和7，检查中间项是否14x，从而确定是完全平方和还是完全平方差公式。设计意图：通过例题教学，引导学生（1）了解运用完全平方公式的基本程序；（2）积累找平方项底数的经验加上括号，把底数写在括号里，注意分数字部分和字母部分考虑；（3）分解后只有两个相同的因式，要么是两数和的平方，要么是两数差的平方。（四）巩固应用完全平方公式进行因式分解练习1:分解因式(A组)(1) x24x+4 解：原式=( )22 +( )2=( )2(2) 16y+9y2 解：原式=( )22 +( )2=( )2(3) 4x2+4x+1 解：原式=( )2+2 +( )2=( + )2(4) x2+8x+16 解：原式=( )2+2 +( )2=( + )2(5) 16y2+8y+1 解：原式= (B组)(1) x2+12xy+36y2 解：原式=( )2+2 +( )2=( + )2(2) 4x220x+25 解：原式=( )22 +( )2=( )2(3) 25p2+10pq+q2 解：原式=( )2+2 +( )2=( + )2 (4) 16x2+24x+9 解：原式=( )2+2 +( )2=( + )2(5) 9x242x+49 解：原式= 师生活动：学生独立完成，学生板书，然后互动交流结果。设计意图：通过具有一定典型性，代表性，层次性的练习题，让学生进一步巩固因式分解的基本方法运用公式法，积累解题经验。例题2:分解因式 x2+4xy4y2 解:原式=( )= 师生活动：一名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程由学生进行评价。设计意图：此例题第一项系数为负数时，引导学生先通过添括号法则，将第一项变为正数，然后再运用完全平方公式进行因式分解。练习2:分解因式(1) x22xyy2 解:原式=( )= (2) x2+4x4 解:原式=( )= 设计意图：让学生进行模仿训练，体会符号的改变给因式分解带来的便捷，体会此方法的数学价值。例题3:分解因式 (2ab)2+8ab解:原式= +8ab= 设计意图：当式子不能直接运用提取公因式或公式进行因式分解时，引导学生把括号去掉，重组多项式，再进行因式分解，让学生体会整合的数学方法在实际中的应用。练习3：因式分解(1) (ab)2+4ab 解:原式= +4ab = (2) (p4)(p+1)+3p 解:原式= +3p = 设计意图：让学生熟悉多项式的乘法运算法则，体会数学知识直接的衔接，以及为计算简化带来方便。例题4:分解因式 (x+y)2+2(x+y)+1解:原式= 2+2 +( )2= 师生活动：学生独立完成，老师板书，师生共同完成。设计意图：当完全平方公式中的a或b是多项式时的处理办法。通过此例题的教学，提高学生对“平方项底数”的认识，a和b可以是单项式，数或多项式，增强用完全平方公式分解因式的本质认识。练习4: (1)(xy)2+10(xy)+25 解:原式= 2+2 +( )2= (2) (a+b)212(a+b)+36 解:原式= 22 +( )2= 设计意图：让学生熟悉底数是多项式时，公式的处理。例题5:分解因式 4(x+y)2+12(x+y)+9解:原式= 2+2 +( )2= 设计意图：当完全平方公式中的a或b是复杂点的多项式时的处理办法。通过此例题的教学，提醒学生先处理平方项的数字部分，在处理平方项的括号部分，从而确定底数。 练习5:分解因式 16(xy)256(xy)+49解:原式= 22 +( )2= 追问5：例题6能直接代入公式吗？如果不能，先要处理什么？例题6:分解因式 3ax2+6axy+3ay2解:公因式： 原式= ( )= 设计意图：进一步巩固因式分解中的基本方法提取公因式法，提醒学生有公因式时，必须先把公因式提取出来，才用运用公式法进行因式分解，并检查是否分解完全。练习6: 分解因式 ax22a2x+a3解:公因式： 原式= ( )= 设计意图：进一步强调提取公因式法的优先使用，感受因式分解的方法的灵活性（五）课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，归纳因式分解的方法及两公式的结构特点。1. 因式分解的方法(1)提取公因式法 (2)运用公式法 平方差公式：a2b2 =(a+b)(ab) 两数平方的差=两底数的和两底数的差 完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2 , a22ab+b2=(ab)22. 因式分解的一般步骤(1) 一提 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;(2) 二套 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式法来分解;(3) 三查 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，使学生进一步理解因式分解，完全平方公式的结构，总结分解因式的一般步