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动能动能定理 一 动能 1 物体由于运动而具有的能叫动能 2 动能的大小 3 动能是标量 4 动能是状态量 也是相对量 因为 为瞬时速度 且与参考系的选择有关 公式中的速度一般指相对于地面的速度 5 动能的单位与功的单位相同 焦耳 二 动能定理 1 合外力所做的功等于物体动能的变化 这个结论叫做动能定理 2 动能定理的理解及应用要点 1 等式的左边为各个力做功的代数和 正值代表正功 负值代表负功 等式右边动能的变化 指末动能EK2 1 2mv22与初能EK1 1 2mv12之差 2 增量 是末动能减初动能 EK 0表示动能增加 EK 0表示动能减小 3 在动能定理中 总功指各外力对物体做功的代数和 这里我们所说的外力包括重力 弹力 摩擦力 电场力或其他的力等 4 动能定理适用单个物体 对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理 由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能 比如内能 的转化 5 各力位移相同时 可求合外力做的功 各力位移不同时 分别求力做功 然后求代数和 6 动能定理中涉及的物理量有 等 在处理含有上述物理量的力学问题时 可以考虑使用动能定理 总之 无论做何种运动 只要不涉及加速度和时间 就可考虑应用动能定理解决动力学问题 三 应用动能定理解题的基本步骤 1 选取研究对象 明确它的运动过程 2 分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况 受哪些力 每个力是否做功 做正功还是做负功 做多少功 然后求各个力做功的代数和 3 明确物体在过程的始未状态的动能EK1和EK2 4 列出动能的方程W外 EK2 EK1 及其他必要辅助方程 进行求解 例1 钢球从高处向下落 最后陷入泥中 如果空气阻力可忽略不计 陷入泥中的阻力为重力的n倍 求 钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h的比值H h 解 画出示意图并分析受力如图示 由动能定理 选全过程 mg H h nmgh 0 H h nh H h n 1 练习1 放在光滑水平面上的某物体 在水平恒力F的作用下 由静止开始运动 在其速度由0增加到v和由v增加到2v的两个阶段中 F对物体所做的功之比为 A 1 1B 1 2C 1 3D 1 4 C 例2 如右图所示 水平传送带保持1m s的速度运动 一质量为1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为0 2 现将该物体无初速地放到传送带上的A点 然后运动到了距A点1m的B点 则皮带对该物体做的功为 A 0 5JB 2JC 2 5JD 5J 解 设工件向右运动距离S时 速度达到传送带的速度v 由动能定理可知 mgS 1 2mv2 解得S 0 25m 说明工件未到达B点时 速度已达到v 所以工件动能的增量为 EK 1 2mv2 0 5 1 1 0 5J A 练习2 两辆汽车在同一平直路面上行驶 它们的质量之比m1 m2 1 2 速度之比v1 v2 2 1 两车急刹车后甲车滑行的最大距离为s1 乙车滑行的最大距离为s2 设两车与路面间的动摩擦因数相等 不计空气阻力 则 A s1 s2 1 2B s1 s2 1 1C s1 s2 2 1D s1 s2 4 1 D 如下图所示 一个质量为m的小球从A点由静止开始滑到B点 并从B点抛出 若在从A到B的过程中 机械能损失为E 小球自B点抛出的水平分速度为v 则小球抛出后到达最高点时与A点的竖直距离是 例3 解 小球自B点抛出后做斜上抛运动 水平方向做匀速直线运动 到最高点C的速度仍为v 设AC的高度差为h 由动能定理 A B C mgh E 1 2 mv2 h v2 2g E mg v2 2g E mg 练习5 某人在高h处抛出一个质量为m的物体 不计空气阻力 物体落地时的速度为v 这人对物体所做的功为 A mghB mv2 2C mgh mv2 2D mv2 2 mgh D 例6 斜面倾角为 长为L AB段光滑 BC段粗糙 AB L 3 质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑 到达C端时速度刚好为零 求物体和BC段间的动摩擦因数 分析 以木块为对象 下滑全过程用动能定理 重力做的功为 摩擦力做功为 支持力不做功 初 末动能均为零 由动能定理mgLsin 2 3 mgLcos 0 可解得 点评 用动能定理比用牛顿定律和运动学方程解题方便得多 练习6 竖直上抛一球 球又落回原处 已知空气阻力的大小正比于球的速度 A 上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功 B 上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功 C 上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率 D 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率 B C 例8 地面上有一钢板水平放置 它上方3m处有一钢球质量m 1kg 以向下的初速度v0 2m s竖直向下运动 假定小球运动时受到一个大小不变的空气阻力f 2N 小球与钢板相撞时无机械能损失 小球最终停止运动时 它所经历的路程S等于多少 g 10m s2 解 对象 小球 过程 从开始到结束 受力分析 如图示 由动能定理 例9 在光滑水平面上有一静止的物体 现以水平恒力甲推这一物体 作用一段时间后 换成相反方向的恒力乙推这一物体 当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时 物体恰好回到原处 此时物体的动能为32J 则在整个过程中 恒力甲做的功等于焦耳 恒力乙做的功等于焦耳 解 画出运动示意图如图示 由牛顿定律和运动学公式 A B S 1 2a1t2 F1t2 2m v at F1t m B C A S vt 1 2a2t2 F1t2 m F2t2 2m F2 3F1 A B C A由动能定理F1S F2S 32 W1 F1S 8JW2 F2S 24J 8J 24J 例10 总质量为M的列车 沿水平直线轨道匀速前进 其末节车厢质量为m 中途脱节 司机发觉时 机车已行驶L的距离 于是立即关闭发动机滑行 设运动的阻力与质量成正比 机车的牵引力恒定 当列车的两部分都停止时 它们的距离是多少 对末节车厢应用动能定理 有 说明本题所求距离为两个物体的位移之差 需分别对各个物体应用动能定理 求解时也可假设中途脱节时 司机若立即关闭发动机 则列车两部分将停在同一地点 现实际上是行驶了距离L后才关闭发动机 此过程中牵引力做的功 可看作用来补续前部分列车多行驶一段距离而 才停止 则两者距离 s s1 s2 对前面部分的列车应用动能定理 有 例11 如图示 光滑水平桌面上开一个小孔 穿一根细绳 绳一端系一个小球 另一端用力F向下拉 维持小球在水平面上做半径为r的匀速圆周运动 现缓缓地增大拉力 使圆周半径逐渐减小 当拉力变为8F时 小球运动半径变为r 2 则在此过程中拉力对小球所做的功是 A 0B 7Fr 2C 4FrD 3Fr 2 解 D 练习9 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻气作用 绕地球运转的轨道会慢慢改变 每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动 某次测量卫星的轨道半径为r1 后来变为r2 以Ek1 Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能 T1 T2表示卫星在这两上轨道上绕地运动的周期 则 A Ek2 Ek1T2 T1 B Ek2 Ek1T2 T1 C Ek2 Ek1T2 T1 D Ek2 Ek1T2 T1 C 质量为m的物体放在小车一端受水平恒力F作用被拉到另一端 如图所示 假如第一次将小车固定 第二次小车可以在光滑水平面上运动 比较这两次过程中拉力F所作的功W1和W2 产生的热量Q1和Q2 物体的末动能Ek1和Ek2 应有W1 W2 Q1 Q2 Ek1 Ek2 用 或 或 填 例12 解 画出受力分析图和运动示意图如图示 S1 S2 W1 W2 Q f S Q1 Q2 对物体 由动能定理EK F f S EK1 EK2 练习10 如图所示 一木块放在光滑水平面上 一子弹水平射入木块中 射入深度为d 平均阻力为f 设木块离原点S远时开始匀速前进 下列判断正确的是 BD S d 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理 设木块离开台面时的速度为v2 有 例13 质量为M的木块放在水平台面上 台面比水平地面高出h 0 20m 木块离台的右端L 1 7m 质量为m 0 10M的子弹以v0 180m s的速度水平射向木块 并以v 90m s的速度水平射出 木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s 1 6m 求木块与台面间的动摩擦因数为 解 本题的物理过程可以分为三个阶段 在其中两个阶段中有机械能损失 子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段 所以本题必须分三个阶段列方程 子弹射穿木块阶段 对系统用动量守恒 设木块末速度为v1 mv0 mv Mv1 木块离开台面后的平抛阶段 由 可得 0 50 从本题应引起注意的是 凡是有机械能损失的过程 都应该分段处理 从本题还应引起注意的是 不要对系统用动能定理 在子弹穿过木块阶段 子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功 如果对系统在全过程用动能定理 就会把这个负功漏掉 练习11 如图所示长木板A放在光滑的水平地面上 物体B以水平速度冲上A后 由于摩擦力作用 最后停止在木板A上 则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中 下述说法中正确是 A 物体B动能的减少量等于B克服摩擦力做的功 B 物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量 C 物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和 D 摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量 ACD 例14 两个人要将质量M 1000kg的小车沿一小型铁轨推上长L 5m 高h 1m的斜坡顶端 已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0 12倍 两人能发挥的最大推力各为800N 水平轨道足够长 在不允许使用别的工具的情况下 两人能否将车刚好推到坡顶 如果能应如何办 要求写出分析和计算过程 g取10m s2 解析 小车在轨道上运动时所受摩擦力f f Mg 0 12 1000 10N 1200N 两人的最大推力F 2 800N 1600N F f 人可在水平轨道上推动小车加速运动 但小车在斜坡上时f Mgsin 1200N 10000 1 5N 3200N F 1600N 可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶 若两人先让小车在水平轨道上加速运动 再冲上斜坡减速运动 小车在水平轨道上运动最小距离为s F一f s十FL一fL一Mgh 0 练习12 某地强风的风速约为v 20m s 设空气密度 1 3kg m3 如果把通过横截面积 20m2风的动能全部转化为电能 则利用上述已知量计算电功率的公式应为P 大小约为 W 取一位有效数字 Ek P 例15 如图所示质量为1kg的小物块以5m s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板 木板质量为4kg 木板与水平面间动摩擦因数是0 02 经过2S以后 木块从木板另一端以1m s相对于地的速度滑出 g取10m s 求这一过程中木板的位移 解析 设木块与木板间摩擦力大小为f1 木板与地面间摩擦力大小为f2 对木块 一f1t mvt一mv0 得f1 2N 对木板 fl f2 t Mv f2 m M g 得v 0 5m s对木板 fl f2 s Mv2 得S 0 5m 例16 质量为m的小球被系在轻绳一端 在竖直平面内做半径为R的圆周运动 运动过程中小球受到空气阻力的作用 设某一时刻小球通过轨道的最低点 此时绳子的张力为7mg 此后小球继续做圆周运动 经过半个圆周恰能通过最高点 则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为 A mgR 4B mgR 3C mgR 2D mgR 解析 小球在圆周运动最低点时 设速度为v1 则7mg mg mv12 R 设小球恰能过最高点的速度为v2 则mg mv22 R 设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W 由动能定理得 mg2R W mv22 mv12 C 由以上三式解得W mgR 2 说明 1 该题中空气阻力一般是变化的 又不知其大小关系 故只能根据动能定理求功 而应用动能定理时初 末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用 这往往是该类题目的特点 2 用动能定理求变力做功 在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化 所以不能直接由W Fscos 求出变力做功的值 此时可由其做功的结果 动能的变化来求变为F所做的功 例17 在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A和B 它们相距s 在B右侧距B2s处有一深坑 如图所示 现对A施以瞬间冲量 使物体A沿A B连线以速度v0开始向B运动 为使A与B能发生碰撞 且碰撞之后又不会落入右侧深坑中 物体A B与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件 设A B碰撞时间很短 A B碰撞后不再分离 解析 A与B相碰 则 A和B碰前速度v1 A与B碰后共同速度v2 mv1 2mv2 AB不落入坑中 解得 综上 应满足条件 练习14 如图所示 在光滑的水平面内有两个滑块A和B 其质量mA 6kg mB 3kg 它们之间用一根轻细绳相连 开始时绳子完全松弛 两滑块靠在一起 现用了3N的水平恒力拉A 使A先起动 当绳被瞬间绷直后 再拖动B一起运动 在A块前进了0 75m时 两滑块共同前进的速度v 2 3m s 求连接两滑块的绳长 解析 本题的关键在于 绳子瞬间绷直 时其张力可看成远大于外力F 所以可认为A B组成的系统动量守恒 此过程相当于完全非弹性碰撞 系统的机械能有损失 根据题意 设绳长为L 以绳子绷直前的滑块A为对象 由动能定理得FL mAv12 绳绷直的瞬间 可以认为T F 因此系统的动量守恒 mAv1 mA十mB v2 对于绳绷直后 A B组成的系统 看成一个整体 的共同运动过程 由动能定理 F 0 75 L mA十mB v12 mA十mB v22 由式 一 解得L 0 25m 例18 如图所示 两个完全相同的质量为m的木板A B置于水平地面上它们的间距s 2 88m 质量为2m 大小可忽略的物块C置于A板的左端 C与A之间的动摩擦因数为 1 0 22 A B与水平地面的动摩擦因数为 2 0 10 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力 开始时 三个物体处于静止状态 现给C施加一个水平向右 大小为2mg 5的恒力F 假定木板A B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起 要使C最终不脱离木板 每块木板的长度至少应为多少 分析 这题重点是分析运动过程 我们必须看到A B碰撞前A C是相对静止的 A B碰撞后A B速度相同 且作加速运动 而C的速度比A B大 作减速运动 最终A B C达到相同的速度 此过程中当C恰好从A的左端运动到B的右端的时候 两块木板的总长度最短 解答 设l为A或B板的长度 A C之间的滑动摩擦力大小为f1 A与水平面的滑动摩擦力大小为f2 1 0 22 2 0 10 且 一开始A和C保持相对静止 在F的作用下向右加速运动 有 A B两木板的碰撞瞬间 内力的冲量远大于外力的冲量 由动量守恒定律得mv1 m m v2 碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中 设木板向前移动的位移为s1 选三个物体构成的整体为研究对象 外力之和为零 则 设A B系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为f3 对A B系统 由动能定理 对C物体 由动能定理 由以上各式 再代人数据可得l 0 3 m 例19 质量为500t的列车 以恒定功率沿平直轨道行驶 在3min内行驶速度由45km h增加到最大速度54km h 求机车的功率 g 10m s2 解析 由整个过程中列车所受的牵引力不是恒力 因此加速度不是恒量 运动学中匀变速直线运动公式不能用 由动能定理得 W牵 W阻 1 2mv2m 1 2mv2 Pt fs 1 2mv2m 1 2mv2 又因达到最大速度时F f故vm P f 联立解得 P 600kW 练习15 一列火车在机车牵引下沿水平轨道行驶 经过时间t 其速度由0增大到v 已知列车总质量为M 机车功率P保持不变 列车所