数学家教测试(高一下期1).doc

一对一课外辅导专用教案高中数学家教测试题（高一下期）（人教实验版）仅供重庆金桥家教教员辅导使用！目 录 1正弦定理余弦定理32解斜三角形的应用83数列的概念等差数列154等差数列的前 n 项和与等比数列 185等比数列前 n 项、数列的应用 226不等关系与不等式一元二次不等式及其解法277二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题308基本不等式： 361测试窗体顶端一、选择题1、已知ABC为钝角三角形，且a，b，c三边长恰为三个连续正整数，abB是sinAsinB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D非充分非必要条件4、在ABC中，b2=4a2sin2B，则角A度数为（）A30或60B30或150 C60或120D45或1355、在ABC中，sinAsinBsinC324，则cosC的值为（）AB CD6、在不等边ABC中，a为最大边，如果a2b2c2，则角A的取值范围是（）A90A180B45A90 C60A90 D0A907、在ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式则角C为（）A30B45 C60D908、若则ABC是（）A等边三角形B等腰直角三角形C有一内角是30的直角三角形D有一内角是30的等腰三角形9、在ABC中，已知则角C的值是（）A B CD10、在三角形ABC中，三边分别是a，b，c，且满足(abc)(abc)=3ab，则C边所对的角等于（）A45B60 C30D150 二、综合题11、若ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 _12、在ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形的形状为_13、在ABC中，A=30，b=12，SABC=18，则的值为_14、已知在ABC中，B=60，a和c分别是方程x28x2的两个根，则b=_15、已知在ABC中，c=1，a=2，求角C的取值范围16、在ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，且C=10，求ABC的内切圆的半径17、如图所示，在四边形ABCD中，AC平分DAB，ABC60，AC7，AD6，求AB的长18、在ABC中，若解此三角形1测试答案一、A B C B D C B B A B 二、11、123提示：可求得A30，B60，C9012、等腰三角形或直角三角形提示：由正弦定理, 代入已知并化简可得(ab)(ab)(a2b2c2)=0, a=b或a2b2c2.13、提示：由14、14、提示： 依题意，ac=2, ac=8, b2=a2c22accosB=(ac)23ac=8232=58, 15、解：设第三边为b，则有1b016、解：即sin2A=sin2B又ab，2A=2B，ABC为Rt，又c=10，由得a=6，b=8所以内切圆半径为.17、解：18、2测试窗体顶端一、选择题1、某人朝正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）AB C和D32、在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样布置，游击手能否接着球？（）A能B不能 C无法判断D题意不清3、一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，航行半小时后，看见一灯塔在它的南偏西60方向上，另一灯塔在它的南偏西75方向上，则这只船的速度是每小时（）A5 n mileB C10 n mile D4、从高出海面h m的小岛A处看到正东方向有一只船B，俯角为30，看正南方向的一只船C的俯角为45，则此时两船间的距离为（）A2h mBCD5、海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C两个小岛间的距离是（）AB CD6、一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20km，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）ABCD7、如图所示，已知两座灯塔A和B海洋观察站C的距离等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为（）Aa kmB C D2a km8、如图所示，D、C、B在地平面同一直线上，DC=10m，从D、C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于（）A10m B CD9、已知D，C，B三点在地面上的同一条直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别是，（），则A点离地面的高AB等于（）A B CD10、一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，若船是垂直到达对岸的，则船在河中实际航行速度的大小为（）A B C D二、填空题11、某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，那么此人感到的风向为_，风速为_12、某海轮以30n km/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为东偏北60的航行再航行80分钟到达C点则P、C间的距离为_13、一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_14、如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并量得AB=85mm，BC=78mm，AC=32mm，则=_，=_三、解答题15、海中有一小岛A，它周围8km内有暗礁，渔船跟踪鱼群自西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60，航行12km后到达D处，又测得小岛在北偏东35如果渔船不改变航向继续前进，有无触礁的危险？16、如图，某城市有一条公路从正西方OA通过市中心O后转向东北方OB，铁路L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上距中心O多远处才能使|AB|最短，并求其最短距离(不要求作近似计算)17、一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d=100m，船速v1=4m/s，水流速度v2=8m/s，试问当船头与岸的夹角为多大时，小船行驶到对岸位移最小？18、如图所示，有两条相交成60角的直路xx、yy，交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上，起初甲位于O点3km的A处，乙位于离O点1 km的B处，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx的方向，乙沿yy的方向步行（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？19、在一个很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15，速度为2.5km/h同时岸上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4 km/h，在水中游的速度为2 km/h问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？2测试答案一、C B C A D B B D A D 二、答案：11、东南，12、64.7n km 13、米14、23.45，67.9提示：11、a表示人以时速a km向东的向量，在无风时，此人感到的风速为a，如今实际风速为v（其中|v|=|a|），如图，那么此人所感到的风速向量为va，即此人感到的风向为东南，风的时速为12、在ABP中据题意AB=20，BAP=120，BPA=30，ABP=30由正弦定理得在BPC中据题意PBC=120，BC=4，由余弦定理得13、解锐角分别为60和30的直角三角形即得14、在ABC中，由余弦定理得cosCAB=0.3980，CAB=66.55，=23.45同样可求cosCBA=0.9265，CBA=22.10，=67.9三、15、解：在ABD中，ABD=30，ADB=125，则BAD=25，又BD=12，由正弦定理得在RtADC中，AC=ADsin55=11.62 11.628，渔船继续向东航行，无触礁危险16、在AOB中，设OA=a，OB=b，AO为正西方向，OB为东北方向AOB=135，(当且仅当a=b时，等号成立)，又O到AB的距离为10，设AOB=，则OBA=45，(=2230，且a=b时，等号成立)，因此当时，|AB|最短，其最短距离为，即当A、B分别在OA、OB上离O点处时，能使|AB|最短，其最短距离为17、解：如图所示设水流速度为：以A为圆心，以船速v1的大小|v1|为半径作圆，则向量v1的终点在圆上，由向量加法的三角形法则可知，合速度v的起点在O点，终点在圆上一点B设小船行驶到对岸的位移为s，则在ABC中，设BOA=易得d=|s|sin，即故要使|s|最小，须角最大，由平面几何知识可知，当OB与圆相切时，角最大，且答：船应该逆水向上，且船头与河岸的夹角为60时，小船行驶到对岸时位移最小18、（1）设甲、乙两人最初的位置是A、B，则（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则(34t)2(14t)22(34t)(14t)cos60；当注意到，上面两式实际上是统一的，所以（3）即在第15分钟末，PQ最短，最短距离是2 km19、分析：由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上.所以本题应讨论的问题不是同一直线上的追及问题.只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船. 我们可以假设船速为v（未知），人在岸上跑的速度和水中游的速度仍为题目所给定的常数.因人在岸上跑所用的时间与人在水中游所用的时间之和等于船在水中行驶所用的时间，所以当v4km/h时，人是不可能追上小船的.当0v2km/h时，人不必在岸上跑，而立即从同一地点直接下水就可追上小船.因此只有先设法求出它们三者能构成三角形的最大速度vmax，再与现有船速进行比较，即可判断人能否追上小船.解：如果我们简单画出此追及情况的示意图（如图所示），设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为t的k倍（0k1），则人在水中游的时间应为（1k）t人要追上船，则人船运动路线满足如图所示的三角形： |OA|=4kt，|AB|=2（1k）t，|OB|=vt，在OAB中，由余弦定理得：|AB|2=|OA|2|OB|22|OA|OB|cos15，即4(1k)2t2=(4kt)2(vt)224ktvtcos15，整理得：要使式在（0，1）范围内有实数解（在分析中已讨论了0v2与v4的情况，这里考虑2vBd CdDan1 Banan1 Can=an1 D不能确定大小 10、已知，则在数列an的前2004项中，最大项和最小项分别是（） Aa1，a2004Ba9，a10 Ca10，a9Da2004，a1 二、综合题11、在数列an中，a1=2，a17=66，通项公式是序号n的一次函数，则an=_. 12、若数列an满足a1=a，a2=b，an1=anan2，则a2004=_. 13、已知整数对的数列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），则第60个数对是_. 14、已知数列an满足（n2），其中a是不为0的常数，令（1）求证数列bn是等差数列； （2）求数列an的通项公式. 15、有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费最少3测试答案一、A D D A C D D D B C 二、11、答案： an=4n2 提示： an是序号n的一次函数， an为等差数列， an=4n2. 12、答案： a2004=ab 提示： an为周期数列，a1=a，a2=b，a3=ba，a4=a， a5=b，a6=ab，a7=a，a8=b，an6=an， 而 a2004=a6334=a6=ab. 13、答案：（5，7） 提示：将数对分为n组，每组有n个数对，共有个数对， 由60，有n10. 当n=10时，有55个数对， 第 60个数对在第11组（1，11），（2，10），（3，9）， ，（9，3），（10，2），（11，1）中第5个数对，即（5，7）. （1）证明：由已知， bn为等差数列（n2），且经验证，当n=1时也适合， 数列 bn为等差数列. （2）解： 解答：设某单位需购买影碟机 n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数n成等差数列an. an=780(n1)(20)=80020n. 解不等式 an440，80020n440，得n18. 当购买台数小于18时，每台售价为8002n元，在台数大于或等于18时，每台售价440元 到乙商场购买，每台售价为 80075%=600元，作差(80020n)n600n=20n(10n). 当 n10时，600n(8002n)n，当n=10，600n=(80020n)n. 当 10n18时，(80020n)n18时，440nS6，S7S8，那么 （ ） A an中a7最大 B an中a3或a4最大 C当n8时， an1000的最小p值是 _. 三、解答题 13、设数列 an是公差不为0的等差数列，且|a11|=|a51|，a20=22，an的前n项和为Sn，|an|前n项和为Tn.求： （1）a31 ； （2）Sn 关于an 的表达式； （3）Tn 关于n的表达式. 14、设xy2且xy，xy，xy，适当排列可构成等比数列，求它们的值所构成的数列. 15、已知f(x)=（a0且a1），若2，f(a1)，f(a2)，f(an)，2n4（n N*）成等差数列. （1）求 an（1mn，m，n N*）的通项公式am； （2）令Cn=anlgan，问是否存在a，使得 an中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出a的范围。若不存在，说明理由。4测试答案一、D A C B B B C B C D 二、11解： 能被 4 整除的数的和为 S =4812 96=1200 ， 能被 6 整除的数和为 S =61218 96=816 ，既能被 4 整除又能被 6 整除的数的和为=1224 96=432 ， 适合条件的数的和为 S=SS=1584 12、解：由已知， 故则 p10 （p N） . 最小P值为10.三、13解：（1） d 0 ， a11 a51 ，故 a11= a51 ，即 a11a51=0. 而 a11a51=2a31 ， a31=0. （2） a31 a20=11d= 22 ， d= 2. （3） an0 时， n 31. 14、解：先比较它们的大小， xy2 ， 各项均为正数， xyxyx y ，但 x y 与的大小不定 . （1）若 x y，则 xyxyx y. 由 得 x=y代入得：. 所求这四个数为： （2）若 x yxyx y. 有由 得 x22xy=0. xy2 ， x22xy0 ， 不成立，即 xy0的解集为R，则（）Aa0，0 Ba0 Ca0，0 Da0，03、已知集合M=x|x2x20，P=x|xa，若MP=，则实数a的取值范围是（）Aa|a1 Ba|a2 Ca|1a2 Da|a14、已知全集U=x|23xx20，A=，则CUA=（）Ax|1x2 Bx|1x2 Cx|2x3 Dx|2x3或x=15、若的解集为x|2x0 C0 D7、若方程x2(m2)x4=0有实根，则m的取值范围是（）Am|m6Bm|m2Cm| m6或m2 Dm| m6或m28、若方程组有实数解，则k的取值范围是（）Ak|k4Bk|k4Ck| m4或k4Dk|4k4 二、填空题9、当_时，函数y=x24x1的值等于零，当_时，函数y=x24x1的值是正数，当_时，函数y=x24x1的值是负数10、若对任何实数x，不等式kx2(k2)xk0恒成立，则k的取值范围是_11、关于x的方程7x2(m13)xm2m2=0的两根，满足02，则m的取值范围是_.三、解答题12、x是什么实数时，有意义？13、k 是什么实数时，方程有实数根？14、对一切实数x，不等式ax2(a6)x20恒成立，求a的值15、若不等式对一切 x 恒成立，求实数 m 的范围6测试答案一、D A D D B D C D 二、9、xx|x=，或x=；xx|x，或x； xx|x10、不等式对一切x恒成立，故k应该满足k0且0，得k11、答案：2m1或3m4；提示：设y=7x2(m13)xm2m2，由2m1，或3m0， 只须 mx2mx10 恒成立即可（1）当 m=0 时，10，不等式成立；（2）当 m0 时，则须解得4m0由（1）、（2）得：40，点集S的点（x,y）满足下列条件：x2ay2a xyaxay yax则S的边界是一个有几条边的多边形？（）A4 B5 C6 D73、点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，则（）Aa24 B7a0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）AB C4 D7、满足线性约束条件的可行域中，共有多少个整点可行解?（）A4 B3 C2 D不同于以上答案8、购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要2张，如果小明带有10元钱，他有多少种买法（）A13B12 C11D不同于以上答案 二、填空题9、在ABC中，A（3，1），B（1，1），C（1，3），则ABC区域所表示的二元一次不等式组为_.10、不等式|x2|y2|2表示的平面区域的面积为_.三、解答题11、若变量x、y满足约束条件求目标函数S=3x3y的最大值.12、已知满足不等式组，求使取最大值的整数13、设满足约束条件组，求的最大值和最小值。14、要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表如示：A规格B规格C规格甲种214乙种231今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使用钢管根数最少. 7测试答案一、C C B A B B C C 二、9、答案： 提示：如图：AB所在直线为x2y1=0BC所在直线为xy2=0AC所在直线为2xy5=0将（0，0）分别代入检验范围得10、答案：8提示：分x2，y2x2，y2x2，y2x2，y2四种情况讨论，画出各区域，区域为矩形，可求得面积为8三、11、解答：作出不等式组所表示的平面区域（如图所示）. 作直线l：3x3y=0，即xy=0，将此直线向右上方平移，当l恰好与直线BC：xy=45重合时，与原点的距离最大，从而Smax=345=135，此时BC边上每一点的坐标都是最优解，因此最优解的个数有无穷多个，而它们对应的目标函数S的值都是135.12、解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得，；当时，得或，或；当时，故的最大整数解为或说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有相应整数值，即先固定，再用制约13、解：由知，代入中，得， 原约束条件组可化为，如图，作一组平行线：平行于：，由图象知，当往左上方时，往左上方移动时随之增大，当往右下方移动时，随之减小，所以，当直线经过时，；当直线经过时，14、解析：设需截甲种钢管x根，乙根钢管y根，则作出可行域（如图）目标函数为z=xy，作出一组平行直线xy=t中（t为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4xy=18和直线x3y=16的交点A（），直线方程.由于都不是整数，所以可行域内的点（）不是最优解.经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy=8，经过的整点是B（4，4），它是最优解.答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根.8测试一、选择题1、设为实数，且，则的最小值是（）A6B CD2、已知ma(a2)，n(x0)，则m、n之间的大小关系是（）AmnBmn Cmn Dmn3、设0m1，0n1，b1，且ab(ab)=1，那么（）Aab有最小值Bab有最大值Cab有最大值 Dab有最小值5、设abc，nN，且，则n的最大值为（）A2B3 C4D56、已知a0，b0，且ab=1，则的取值范围是（）A（2，）B2，） C（4，）D4，）7、已知0a1，0b a2b22abBaba2b22abCa2b2ab2ab Da2b2ab2ab8、设ab1，则有（）ARPQBPQR CQPR DPRQ 二、填空题9、函数的最小值是_.10、若正数a，b满足ab=ab3，则ab的取值范围是_.11、某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼次升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则