二次函数y=ax_2+bx+c的图象(上).doc

二次函数yax2+bx+c的图象(上)【基础知识精讲】1.二次函数解析式的几种形式(1)一般式：yax2+bx+c (a,b,c为常数，a0).(2)顶点式：ya(x-h)2+k(a,h,k为常数，a0).(3)两根式：ya(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h0时，抛物线yax2+k的顶点在y轴上；当k0时，抛物线y=a(x-h)2的顶点在x轴上；当h0且k0时，抛物线yax2的顶点在原点.(2)当抛物线yax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因公式ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2),二次函数yax2+bx+c可转化为两根式ya(x-x1)(x-x2).2.二次函数解析式的确定确定二次函数解析式，一般仍用待定系数法.由于二次函数解析式有三个待定系数a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便；当已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便；当已知抛物线与x轴两个点的坐标(或横坐标x1,x2)时，选用两根式较为方便.注意：当选用顶点式或两根式求二次函数解析式时，最后一般都要化一般式.3.二次函数yax2+bx+c的图像二次函数yax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数的性质根据二次函数yax2+bx+c的图像可归纳其性质如下表：函数二次函数yax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)图像a0a0(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸.(2)对称轴是x-，顶点坐标是(-,).(3)当x-时，y随x的增大而减小；当x-时，y随x的增大而增大.(4)抛物线有最低点，当x-时，y有最小值，y最小值.(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸.(2)对称轴是x-，顶点坐标是(-,).(3)当x-时，y随x的增大而增大；当x-时，y随x的增大而减小.(4)抛物线有最高点，当x-时，y有最大值，y最大值.5.求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法配方法：将解析式化为ya(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线xh，若a0，y有最小值，当xh时，y最小值k，若a0，y有最大值，当xh时，y最大值k.公式法：直接利用顶点坐标公式(-,),求其顶点；对称轴是直线x-,若a0，y有最小值，当x-时，y最小值，若a0，y有最大值，当x-时，y最大值.6.二次函数yax2+bx+c的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.7.二次函数yax2+bx+c的图像的位置与a、b、c及符号有密切的关系(见下表)：8.二次函数与一元二次方程的关系二次函数yax2+bx+c的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：0抛物线与x轴有2个交点；0抛物线与x轴有1个交点；0抛物线与x轴有0个交点(没有交点).【重点难点解析】1.本节重点是二次函数yax2+bx+c的图象和性质的理解及灵活运用，难点是二次函数yax2+bx+c的性质和通过配方把解析式化成ya(x-h)2+k的形式。2.学习本小节需要仔细观察归纳图象的特点以及不同图象之间的关系。把不同的图象联系起来，找出其共性。一般地几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同.任意抛物线ya(x-h)2+k可以由抛物线yax2经过适当地平移得到，具体平移方法如下图所示：注意：上述平移的规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”实际上有关抛物线的平移问题，不能死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离非常简便.例如，要研究抛物线L1yx2-2x+3与抛物线L2yx2的位置关系，可将yx2-2x+3通过配方变成顶点式y(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.二次函数yax2+bx+c的图象与yax2的图象形状完全一样，它们的性质也有相似之处。当a0时，两条抛物线的开口都向上，并向上无限延伸，抛物线有最低点，y有最小值，当a0时，开口都向下，并向下无限延伸，抛物线有最高点，y有最大值.3.画抛物线时一定要先确定开口方向和对称轴、顶点位置，再利用函数对称性列表，这样描点连线后得到的才是完整的，比较准确的图象。否则画出的图象，往往只是其中一部分。例如画y-(x+1)2-1的图象。列表：x-3-2-10123y-3-1.5-1-1.5-3-5.5-9描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x-1,顶点坐标是(-1，-1)列表：x-4-3-2-1012y-5.5-3-1.5-1-1.5-1.5-5.5描点连线：如图13-124.用配方法将二次函数yax2+bx+c化成ya(x-h)2+k的形式，首先要提出二次项系数a。常犯的错误只提第一项，后面漏提。如y-x2+6x-21 写成y-(x2+6x-21)或y-(x2-12x-42)把符号弄错，主要原因是没有掌握添括号的规则。例1 抛物线yax2+bx-c的图像如图13-13所示，确定下列各式的符号：(1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)a+b+c;(6)a-b+c.分析：本题考查二次函数图像的位置与a,b,c及的关系，解题应注意观察抛物线的开口方向，对称轴和与x轴、y轴交点的情况.解 (1)因为开口方向向下，所以a0.(2)因为对称轴x-在原点的右侧，所以-0，又a0，因此b0；(3)c是抛物线和y轴交点的纵坐标，交点在原点的上方，所以c0；(4)抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac0；(5)当x1时，yax2+bx+ca12+b1+ca+b+c.表明图像上横坐标为1的点，其纵坐标值为a+b+c.从图像上不难看出，横坐标为1的点在x轴的上方，因此，其纵坐标大于零，即a+b+c0；(6)当x-1时，yax2+bx+ca(-1)2+b-1+ca-b+c，从图像上可以看出，横坐标为-1的点在x轴的下方，因此，其纵坐标小于零，即a-b+c0.注 这是一道典型的数形结合题，其一般方法是：由开口方向决定a的符号；因为抛物线与y轴交于(0,c)，所以由与y轴交点的纵坐标决定c的符号；由对称轴x=-的符号及确定的a的符号决定b的符号；由当x1时函数值的符号决定a+b+c的符号，当x-1时函数值的符号决定a-b+c的符号；由抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号.例2 画出二次函数y-x2-3x-的图像，并根据图像说出x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小?函数y有最大值还是最小值，最值是多少?解 y-x2-3x- -(x+3)2+2顶点为A(-3，2)，对称轴为x-3.令y0，求出抛物线与x轴交点坐标是B(-5，0)，C(-1，0).令x0求出抛物线与y轴交点是(0,- )再作出点D关于对称轴x-3的对称点E(-6,- )，将E、B、A、D五点连成光滑曲线，便得二次函数y-x2-3x-的图像(如图13-14).从图像可以看出，在对称轴的左侧，即当x-3时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x-3时，y随x的增大而减小，因为抛物线开口向下，顶点A是抛物线的最高点，所以，y有最大值，当x-3时，y最大值2.例3 已知抛物线yax2+bx+c满足以下条件，求函数解析式：(1)图像经过两点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴是直线x2;(2)图像顶点是(-2,3)且过(-1，5)点；(3)图像与x轴交于(-2，0)(4，0)两点且顶点为(1,)；(4)图像顶点是M(1，16)且与x轴交于两点，已知两交点相距8个单位.分析：本题考查求二次函数解析式的三种形式的灵活应用，解题时要根据不同的已知条件，选用不同的形式，使计算简便.解 (1)设所求解析式为yax2+bx+c抛物线经过两点A(1，0)、B(0，-3).a+b+c0,c-3.a+b3.又对称轴是x2,-2.解方程组a+b3, -2. 得 a-1. b4. a-1,b4,c-3.所求函数解析式为y-x2+4x-3.(2)设所求二次函数为ya(x-h)2+k,顶点为(-2，3)，ya(x+2)2+3.将(-1，5)代入上式，可得5a(-1+2)2+3 a2.所求解析式为y2(x+2)2+32x2+8x+11.(3)设所求二次函数解析式为ya(x+2)(x-4),顶点坐标为(1,-).-a(1+2)(1-4) a.所求二次函数解析式为y(x+2)(x-4),即 yx2-x-4.(4)设图像与x轴交于A，B两点，顶点M坐标为(1，16).对称轴方程为x1，又A、B两点关于直线x1对称，且A、B两点距离8个单位，A点坐标为(-3，0)，B点坐标为(5，0).设所求的二次函数解析式为ya(x+3)(x-5).又图像过M(1，16)，16a(1+3)(1-5)解这个方程，得a-1.函数解析式为y-(x+3)(x-5).即y-x2+2x+15.例4 已知二次函数yx2-2x+1.(1)求此函数图像的顶点A和图像与y轴交点B的坐标；(2)求此图像与x轴的交点C和D的坐标；(3)求SBCD.分析：本题考查抛物线相关性质的应用.抛物线与y轴交点的横坐标为0，与x轴交点的纵坐标为0.解 (1)在函数yx2-2x+1中，a,b-2,c1，所以-2,-1.抛物线的顶点A坐标是(2，-1).当x0时，y1抛物线yx2-2x+1的图像与y轴交点B坐标是(0，1).(2)当函数图像与x轴相交时，其交点纵坐标为零，令y0，得x2-2x+10,解得x12+,x22-.抛物线与x轴的交点为C(2+，0)，D(2-，0).(3)如图13-15所示：在BCD中，BO在BCD的DC边上的高，且BO1，CD2，SBCDCDBO 21(平方单位).BCD的面积为平方单位.注：本题在计算BCD的面积时应注意：把线段长与坐标进行换算时，应把坐标值带上绝对值符号，如OBB点纵坐标绝对值1，再根据这个点的位置(哪个象限或正半轴还是负半轴上)去掉绝对值符号.【解题巧解点拨】例1 (1)顶点为(-1，3)，且经过点(1，-5)，求抛物线解析式；(2)对称轴为x2，并且经过点M(-1，0)和N(3，16)，求抛物线解析式.笨解：(1)抛物线yax2+bx+c的顶点为(-,)，所以有 -1, 3,又抛物线经过点(1，-5)，把点(1，-5)代入解析式得-5a+b+c，从而可得方程组解得y=-2x2-4x+1(2)由题意得方程组-2 0a-b+c 169a+3b+c解得 a-2 b8 c10y-2x2+8x+10巧解：(1)抛物线yax2+bx+c的顶点为(-1，3)，抛物线可写成ya(x+1)2+3形式，又由于它过点(1，-5)，所以-5a(1+1)2+3,得a-2,y-2(x+1)2+3-2x2-4x+1.(2)函数图像关于直线x2对称，且图像经过M(-1，0)点，则由对称性，图像必过(5，0)点，抛物线可写成ya(x+1)(x-5)的形式，又过点N(3，16)，16a(3+1)(3-5)，a-2，y-2(x+1)(x-5)-2x2+8x+10.注 求二次函数解析式的问题可根据题设的不同说法，选择简单、合理的求法.例2 已知抛物线yx2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与y轴交于Q(0，-3)，与x轴的交点为A、B，顶点为P，PAB的面积为8，求其解析式.分析 由已知抛物线与y轴交于Q(0，-3)，可知c-3.要求其解析式，关键就是求b的值.SPABABh，这里h是抛物线顶点纵坐标的绝对值.即h,AB,可得到关于b的方程，解方程即可求出b的值.解 将(0，-3)代入yx2+bx+c,得c-3.ABx2-x1,顶点P的纵坐标为,由三角形面积公式得8.(b2+12)64.设m，则b2+12m2,mm264，m364,m4.4,b24,b2.b与a异号，a10，b0，b-2.抛物线的解析式为yx2-2x-3.例3 如图13-16，已知抛物线y-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点.(1)求m的取值范围；(2)若m0，直线ykx-1经过点A，与y轴交于点D，且ADBD5，