线代数(文).doc

线性代数(文)综合复习资料一、填空题1在四阶行列式中，包含并且带负号的项是 。2各列元素之和都等于零的n阶行列式之值等于 。3设，其中，则。4设，则AB-BA= 。5已知， 。6设非齐次线性方程组是未知量的个数，是方程组两个不同的解，则方程组的全部解为 。7设Q为n阶方阵，若 ，则称Q为正交矩阵。8. 已知4阶方阵A的特征值为，则A的行列式 。9在四阶行列式中，项前应带 。号。10行列式 。11 。12设 。13，则由的线性表示式为 。14m个方程n个未知量的齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是 。15设有向量，则的长度为 。16设是n阶矩阵A的特征值，则行列式 。17在六阶行列式应带 号。18若 则 。19矩阵的标准形是 。20设阶矩阵，满足方程，则 。21 。22设是线性方程组AX= b的两个解，则 是 的解。23已知三阶方阵的三个特征值分别为2，3，1，则 。24 若三阶方阵A与对角阵相似，则的特征值为 。二、单项选择题、14阶行列式D，其第3列的元素分别为1, 2, 3, 4.它们的余子式分别为4，3，2，1，则行列式D = （ ）. A）0； B）1； C）-1； D）2。2设A是( ),则必有.1. A) 三角形矩阵； B）可逆矩阵； C）对称矩阵； D）正交矩阵。3若向量组线性相关，则（ ）；A ) 4； B ) 5； C ) 2； D ) 前面选项都不对4设为n阶方阵，若,则必有（ ）.A）； B）； C）只有零解； D）有唯一解.5设，则的内积等于（ ）。 A) 0; B) 1; C) 3; D) 6.6. 设A，B都是n阶方阵，若（为n阶零矩阵），则必有( )。A ) 或； B ) 或； C ) ； D)7.矩阵的秩等于( ).A）0； B）1； C）2； D）3。8关于向量,下述说法不正确的是（ ）.A）线性无关； B）线性无关； C）线性无关； D）线性无关.9设，则 （ ）。 A）； B）； C）； D）。10设A为n阶方阵，若( )则称A为正交矩阵。A); B); C) 存在矩阵; D);三、计算证明题、1计算： 。 2.设。3若A,B皆为n阶方阵，E为n阶单位阵，证明：若 A与B相似，则A+E与B+E也相似。4计算行列式。5.设，计算。6设是非齐次线性方程组的s个解，为实数，满足证明也是它的解。四、设有向量组， 问：（1）t为何值时，此向量组线性相关？（2）t为何值时，此向量组线性无关？ 五、 给定向量组， 求：(1). 向量组的秩和一个最大无关组； (2). 用所求的最大无关组表示其余向量。六、给定非齐次线性方程组，1） 求出其导出组的一个基础解系；2）求出方程组的一般解。 七、证明n阶方阵A可逆的充分必要条件是：A的任一特征值不等于零。八、设有向量组，证明: 向量组，线性相关。九、已知且其中E为三阶单位阵，求矩阵B。十、向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。十一、求齐次线性方程组 的一个基础解系及一般解。十二、求矩阵的特征值和特征向量。参考答案：一、 填空题、1；2.0; 3.; 4.；5. ; 6. ; 7. ; 8. .9；10 . 0; 11. ； 12. ; 13.; 14. ; 15.; 16. 0. 17-； 18. 1或2; 19. ; 20. ; 21. ; 22.; 23. 6; 24. 2,2,5.二、单项选择题、1.A; 2.C; 3.B; 4.B; 5.A.6B; 7. C; 8. D; 9. A; 10. D三、计算证明题、1计算： 。 解：=1602.设。 解：3若A,B皆为n阶方阵，E为n阶单位阵，证明：若 A与B相似，则A+E与B+E也相似。 证：由，得。4计算行列式。 解 。5.设，计算。解：，6设是非齐次线性方程组的s个解，为实数，满足证明也是它的解。证：验证即可。四、设有向量组， 问：（1）t为何值时，此向量组线性相关？（2）t为何值时，此向量组线性无关？解：设 故向量组线性相关；向量组线性无关。 五、给定向量组， 求：(1). 向量组的秩和一个最大无关组； (2). 用所求的最大无关组表示其余向量。解：向量组的秩为2，为一个极大无关组，且。六、给定非齐次线性方程组，1）求出其导出组的一个基础解系；2）求出方程组的一般解。解 导出组的一个基础解系为, 方程组的通解为 七、证明n阶方阵A可逆的充分必要条件是：A的任一特征值不等于零。 证：设A的特征值为，由，即知结论成立。八、设有向量组，证明: 向量组，线性相关。 证：设有 可推出 ，从而知，线性相关。 （注：也可由立即知）九、已知且其中E为三阶单位阵，求矩阵B。解：由，可得用初等变换法解出，于是得=。十、向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。 证：必要性 设线性相关，即有一组不全为零的数使 ，不妨设，则有即可由其余向量线性表示。充分性 设向量组中有一个向量（譬如）可由其