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大学物理习题解答振动与波部分 29第四章42 已知一谐振动的运动方程为，求角频率、频率、周期振幅和初相。解由可知，,。43 求谐振动物体在下列情况下的初相。(1)起始时，物体具有正的最大位移；(2)起始时，物体在平衡位置，并且向正方向运动；(3)起始时，物体的位移为，并且向负方向运动。解(1) ，。(2) ，。因为，有，所以。(3) ，。因为，有，所以。图4444 谐振动的运动方程为，求物体由运动到所用最少时间? 解 由旋转矢量图可知，最短时间为转过所用的时间，故,.47 放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅，周期。当时。 (1)物体在正方向端点；(2)物体在平衡位置、向负方向运动；(3)物体在处，向负方向运动；(4)物体在处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。解 在振幅和周期已知的条件下，确定初相是求解简谐运动方程的关键初相的确定通常有两种方法(1)解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即时，和来确定值(2)旋转矢量法：如图47 (a)所示，将质点在轴上振动的初始位置和速度的方向与旋转矢量图相对应来确定.旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用由题给条件知，而初相可采用分析中的两种不同方法来求图47根据简谐运动方程，当时，有，那么(1) 时，则；(2) 时，因，取；(3) 时，由，取；(4) 时，由，取。旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图47 (b)所示，它们所对应的初相分别为，振幅A、角频率、初相均确定后，则各相应状态下的运动方程为(1) ；(2) (3) ；(4) 图141149 作简谐运动的物体，由平衡位置向轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几?(1)由平衡位置到最大位移处；(2)由平衡位置到处；(3)由处到最大位移处。解 采用旋转矢量法求解较为方便按题意作如图1411所示的旋转矢量图，平衡位置在点O (1)平衡位置到最大位移，处，图中的旋转矢量从位置1转到位置3，故，则所需时间(2)从平衡位置到处，图中旋转矢量从位置1转到位置2，故有，则所需时间(3)从运动到最大位移处，图中旋转矢量从位置2转到位置3，有，则所需时间410 一物体沿轴作简谐运动，振幅为，周期为，当时位移为，且向轴正向运动，求：(1) 时，物体的位移、速度和加速度；(2)物体从处向轴负向运动，到达平衡位置，至少需要多少时间?图410解 已知运动方程即可求物体的位移、速度、加速度因此，写出运动方程是本题的关键其方法可参见题148至于质点从运动到处所需的最短时间，仍可采用解析法或旋转矢量法求解 (1)由题意，由旋转矢量图410 (a)，可确定初相，则运动方程为当时质点的位移、速度、加速度分别为 (2) 质点从运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图1413(b)中的位置M转至位置N，矢量转过的角度(即相位差)该过程所需时间为。412 一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动。已知氢原子质量，振动频率，振幅试计算：(1)此氢原子的最大速度；(2)与此振动相联系的能量解 (1)简谐运动系统中振子运动的速度，故氢原子振动的最大速度为 (2)氢原子的振动能量 413 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为求(1)合振动的振幅及初相；(2)如果有另一同方向、同频率的简谐运动，那么为多少时，的振幅最大?又为多少时，的振幅最小?解 可采用解析法或旋转矢量法求解由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅，其大小与两个分振动的初相差相关而合振动的初相位图1426(1)作两个简谐运动合成的旋转矢量图(图14-26)因为，故合振动振幅为合振动初相位(2)要使振幅最大，即两振动同相，则由得 要使的振幅最小，即两振动反相，则由得414 有两个同方向、同频率的简谐运动，其合振动的振幅为，合振动的相位与第一个振动的相位差为，若第一个振动的振幅为。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。图14-27解 采用旋转矢量合成图求解如图1427所示，取第一个振动的旋转矢量沿轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量与之间的夹角根据矢量合成，可得第二个振动的旋转矢量的大小(即振幅)为由于、A的量值恰好满足勾股定理，故与垂直，即第二个振动与第一个振动的相位差为415 一横波在沿绳子传播时的波动方程为。(1)求波的振幅、波速、频率及波长；(2)求绳上质点振动时的最大速度；(3)分别画出和时的波形，并指出波峰和波谷。画出处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同。 解 (1)将已知波动方程表示为y=(0.20m)cos(2.5)(t)与一般表达式y=Acos比较，可得 A=0.20m，u=2.5m则 (2)绳上质点的振动速度则 (3) 和时的波形方程分别为图152 波形图如图152(a)所示 处质点的运动方程为 振动图线如图15-2(b)所示波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示某确定位置的一个质点，其位移随时间变化的情况416 波源作简谐运动，运动方程为它所形成的波形以的速度沿一直线传播。(1)求波的周期及波长；(2)写出波动方程。解(1)由已知的运动方程可知，质点振动的角频率根据分析中所述，波的周期就是振动的周期，故有波长为 (2)将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得故以波源为原点，沿c轴正向传播的波的波动方程为 419 波源作简谐运动，周期为，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，如果此振动以的速度沿直线传播。求：(1)距波源为处的质点P的运动方程和初相；(2)距波源为和处两点的相位差。解 分析同上题在确知角频率波速和初相（或）的条件下，波动方程 y=Acos(200)(t)=位于处，质点P的运动方程为 该质点振动的初相而距波源和两点的相位差为如果波源初相取，则波动方程为质点P振动的初相也变为，但波线上任两点间的相位差并不改变421 平面简谐波的波动方程为求：(1) 21s时波源及距波源两处的相位；(2)离波源及两处的相位差。解 (1)将21s和x=0代入题给波动方程，可得波源处的相位将t=21s和010m代人题给波动方程，得010m处的相位为 (2)从波动方程可知波长10m这样，=080m与=030m两点间的相位差 422 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0的功率若波源发出的是球面波(设介质不吸收波的能量)求距离波源5.0和10.0处的能流密度。解 由分析可知，半径r处的能流密度为 当时，分别有 426 两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为和，(1)证明这细绳是作驻波式振动，并求节点和波腹的位置；(2)波腹处的振幅多大?在处，振幅多大?解 (1)将已知两波动方程分别改写为 可见它们的振幅，周期 (频率 )，波长在波线上任取一点P，它距原点为则该点的合运动方程为 上式与驻波方程具有相同形式，因此，这就是驻波的运动方程由，得波节位置的坐标为 由，得波腹位置的坐标为 m (2)驻波振幅，在波腹处；在处，振幅为 =图427427 在图中所示的驻波演示实验中，电动音叉的频率为400，设弦线AB上形成3个波腹，其振幅为0.30，波在弦线上的速度为320,（1）求此弦线的长度；（2）如果以弦线中点为坐标原点，试写出驻波的表式。解 ，弦线的长度 弦线中点是波腹。 428一弦上的驻波方程式为 (1)如果将此驻波看成是由传播方向相反，振幅及波速均相同的两列相干波叠加而成的，求它们的振幅及波速；(2)求相邻波节之间的距离；