5[1][1].线性代数.ppt

线性代数 一 行列式 二 矩阵 三 n维向量 四 线性方程组 五 矩阵的特征值和特征向量 六 二次型 把个不同的元素排成一列 叫做这个元素的全排列 或排列 个不同的元素的所有排列的种数用表示 且 1 全排列 一 行列式 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 在一个排列中 若数 则称这两个数组成一个逆序 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 2 逆序数 3 n阶行列式的定义 4 n阶行列式的性质 余子式与代数余子式 5 行列式按行 列 展开 关于代数余子式的重要性质 6 克拉默法则 定理 定理 例1 解 方程左端 例2计算下列排列的逆序数 并讨论它们的奇偶性 解 此排列为偶排列 例3计算阶行列式 解 将第都加到第一列得 例4 二 矩阵 1 矩阵的定义 记作 简记为 2 几种特殊矩阵 2 只有一行的矩阵 称为行矩阵 或行向量 只有一列的矩阵 称为列矩阵 或列向量 称为对角矩阵 或对角阵 记作 4 元素全为零的矩阵称为零矩阵 零矩阵记作或 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的 例如 5 单位阵 对角线上全为1的对角阵 称为单位矩阵 或单位阵 6 对称矩阵 定义 设为阶方阵 如果A的元素满足那末称为对称阵 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明 例如 为同型矩阵 3 同型矩阵与矩阵相等的概念 1 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为同型矩阵 例5设 解 1 加法 设有两个矩阵那末矩阵与的和记作 规定为 4 矩阵的运算 2 数与矩阵相乘 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 并把此乘积记作 3 矩阵与矩阵相乘 设是一个矩阵 是一个矩阵 那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵 其中 注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例 注 1 矩阵乘法一般不满足交换律 其中为数 若A是阶方阵 则为A的次幂 即并且 注 单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1 定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 例 4 矩阵的转置 转置矩阵的运算性质 注 若A为对称阵 则 5 方阵的行列式 定义由阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵的行列式 记作或 运算性质 定义 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 性质 称为矩阵的伴随矩阵 6 伴随矩阵 7 逆矩阵 定理1方阵可逆的充要条件是 且 二阶矩阵的逆矩阵用该公式求 三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求 逆矩阵的运算性质 解 矩阵方程 解 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 5 矩阵的初等变换 定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是把 r 换成 c 逆变换 逆变换 逆变换 6 矩阵的秩 例8 解 求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 例9 解 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 显然 3阶子式 则这个子式便是的一个最高阶非零子式 矩阵A与之对应的三阶子式 三 n维向量 若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 1 向量及向量组的线性相关性 线性组合 定理1 解 考虑 定义2设有两个向量组 1 若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 2 若向量组A与向量组B能相互线性表示 则称这两个向量组等价 定义 则称向量组是线性相关的 否则称它线性无关 由定义3可得 1 任一向量组不是线性相关就是线性无关 2 含零向量的向量组一定线性相关 3 单个非零向量一定是线性无关 4 两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例 定理2 解 例11 定理3 1 部分相关整体相关 2 线性无关的向量组 将分量延长后仍然线性无关 3 m个n维向量 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 2 最大无关组与向量组的秩 定义 注 只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为0 推论1 推论2 四 线性方程组 1 线性方程组有解的判定条件 基础解系的定义 2 线性方程组解的结构 其中为对应齐次线性方程组的通解 为非齐次线性方程组的任意一个特解 非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax b的通解为 齐次线性方程组 系数矩阵化成行最简形矩阵 便可写出其通解 非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵 便可判断其是否有解 若有解 化成行最简形矩阵 便可写出其通解 3 线性方程组的解法 例11求解齐次线性方程组 解 即得与原方程组同解的方程组 由此即得 例12求解非齐次方程组的通解 解对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解 且有 所以方程组的通解为 五 矩阵的特征值和特征向量 求矩阵特征值与特征向量的步骤 特征值 特征向量性质 1 属于不同特征值的特征向量是线性无关 解 例13 六 矩阵相似与对角化 1 相似矩阵与相似变换的概念 2 相似矩阵的性质 1 相似关系是等价关系 5 相似矩阵有相同的特征多项式 有相同的特征值 还可证明下列结论 3 方阵可化为对角阵的条件 4 实对称矩阵的性质 1 特征值为实数 2 属于不同特征值的特征向量正交 3 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等 4 必存在正交矩阵 将其化为对角矩阵 且对角矩阵对角元素即为特征值 六