Group1-1.ppt

群论基础 天津师范大学物理与电信学院 主要参考书 1 物理学中的群论基础A W 约什 王锡绂 刘秉正等译科学出版社2 群论及其在物理学中的应用谢希德 蒋平等科学出版社 1986 第一版 3 物理学中的群论马中骐 科学出版社4 典型群及其在物理学中的应用怀邦 冯承天等译 科学出版社5 GroupsandRepresentationsJ L Alperin RowenB Bell 1 1 例1 代数系统 实数集R的去零集 数乘 a 有 封闭性 b 存在元素1 有 有幺元 c 使 有逆元 d 有 结合律 第一章抽象群理论1 1群的定义 第一章抽象群理论 1 2 例2 代数系统 M 矩阵积 M 全体n阶满秩方阵 b 存在元素I 有 有幺元 群的例子 d 有 结合律 群的例子 例3 代数系统 C3v 操作积 C3v 正三角形全体对称操作 a 封闭性 两个对称操作的积仍然是对称操作b 有幺元 Ec 每个元素在D3中有逆 E自逆 C3与C32互逆 M1 M2 M3自逆 d 操作积满足结合律 1 3 例4代数系统 A 矩阵乘 其中A E A1 A2 A3 群的例子 a 封闭性 A1A2 A2A1 A3 A1A3 A3A1 A2 A2A3 A3A2 A1b 有幺元Ec 每个元素在A中有逆 A1A1 E A2A2 E A3A3 Ed 矩阵积满足结合律 1 4 群的定义 定义1 1 群的定义 对于集合G 表示定义在集合上的某种二元运算 广义上统称为 乘法 若代数系统 G 满足下列性质 则称G为群 群中元素的数目称为群的阶 1 5 1 封闭性 a b G a b G 2 有幺元 e G a G有 a e e a a 3 每个元素在G中有逆元 a G a 1 G 使a a 1 a 1 a e 4 运算满足结合律 a b c G a b c a b c 1 6 群的分类 常见群 群的分类 1 7 阿贝尔群 例5 设群G A1 E A2 An 若对有 则G必为阿贝群 1 8 对称群 恒等操作 E 例6 正方形的对成群 1 9 循环群 3 循环群 形如G E an a1 a2 an 1 的群称为n阶为循环群 a称为循环群的生成元 证 所以 1 10 1 2群的基本性质一 群乘表 1 2有限群的基本性质 一 群的乘法表 一个有限群可以用一个乘法表来表示 在乘法表中列出了群中任意两个元素相乘的结果 例8 洛伦兹二阶群SL 2 的乘法表 a 表中的每一行是第一列中的元素依次与第一行中的诸元素左乘的结果 b 群中所有元素在每一行 列 中必须出现一次且仅能出现一次 c 群乘表中每一行 列 是群中所有元素的一个全排列 行与行 列与列 之间元素的排列各异 1 11 C4v的群乘表 例9 正方形的对称群C4v的乘法表 1 12 重排定理 定理1 1 重排定理 在一个群的乘法表中 群中所有元素在每一行 列 中必须出现且仅能出现一次 群乘表中任意两行 列 是群中全体元素的不同的排列 重排定理实质是说 若群G中所有元素以一定的排列顺序出现 则对于任意a G a aG Ga 和G是同一个集合 b aG Ga 的作用是将G中元素重新排列 推论 设G为群 f x x G 是定义在G上的函数 根据重排定理有 1 13 二 元素的阶 二 元素的阶 几个结论 1 由群G中一个m阶元素A可以生成一个m阶的循环群 2 若一个n阶群中至少有一个n阶的元素 则此群必为n阶循环群 3 群的阶与任何一个元素的阶的商是一个整数 4 任何素数阶的群都是循环群 1 14 三 元素的共轭 三 元素的共轭 1 15 例题 例如 1 16 四 群的共轭类等价关系与划分 元素的共轭是群G上的一种等价关系 因而给出群的一种划分 划分出的每一子集称为群的一个共轭类 1 17 共轭类的定义 几个结论 定义1 4 元素的共轭类 设G是群 对于元素A G 将群中所有与A共轭的元素组成的子集合称为元素A的一个共轭类 或称为群的一个类 记作 CA 几点结论 由群中每一个元素可以定义群的一个类 两个共轭元素所定义的类相同 因此类的数目 群的阶 两个不共轭的元素所定义的类不相交 两个相异的类无共同元素 群的所有类的和 并 等于群 群的所有相异的类给出群的一个划分 1 18 群元与类的对易性 定理1 2 设C为群G的一个共轭类 则群中任意元素A与类C对易 即AC CA 或 ACA 1 C 证明 1 2 又设 1 19 群阶与类阶的比为整数 定理1 3 群G的阶g是一个类Ck中元素的个数gk的整倍即 g mgk 证明后续 例12 求下列六阶群所有的类 1 20 例题 例13 C3v群和C4v群的类 1 21 类的乘积与性质 定义1 5 类的乘积 设C Aj j 1 2 m 和C Bk k 1 2 n 是群G的两个类 则集合C C AjBk j 1 m k 1 n 称为两个类的积 在类的积中允许出现重复元素 C C A1C A2C AmC C A1 C A2 C Am C C 类的积是群的所有类的一个线性组合 即若群G有p个类 则 1 22 例题 例14 一个六阶群类的乘积 1 23 1 3子群与商群一 子群的概念 1 3子群与商群 定理1 4 子群的判断 设 G 是群 H G 若1 运算 在H上封闭2 H中每个元素的逆元在H之中则 H 是 G 的子群 证 在定理所给前提下 1 令B H 则B 1 H E BB 1 H2 运算 在G上满足结合律 则在其任意子集上满足结合律 1 24 例题 C4v的子群 例14 C4v群的所有子群 平凡子群每个群都有两个平凡子群 E G 5个2阶子群 循环群阿贝群 问题 C4v为什么没有3 5 6阶的子群 是巧合吗 1 25 二 陪集 二 陪集 旁系 定义1 7 陪集 设H A1 E A2 Am 是群G的子群 取元素X G但X H 则称集合XH XA1 XA2 XAm HX A1X A2X AmX 分别为子群H的左陪集和右陪集 一般情况下 左陪集 右陪集 1 26 例题 例15 求C4v群的一个子群H E mx 的陪集 解 H E mx 的陪集 信息 1 任意左 右 陪集与子群没有共同元素 即 Pk H 2 任意两个左 右 陪集要么完全相同 要么完全不同3 C4v H P1 P2 P3 1 27 陪集的性质 定理1 5 定理1 5 陪集的性质 设H是G的一个子群 则有1 H与它的任何一个陪集没有共同元素 即 X G X H 有 XH H HX H 2 H的任意两个左 右 陪集要么相等 要么完全不同 即 X Y G X Y H 有XH YH or XH YH HX HY or HX HY 3 子群H和它的所有相异左 右 陪集构成群的一个划分 即 若子群有k 1相异陪集 XjH j 1 2 k 1 则G H X1H X2H Xk 1H 1 28 定理1 5的证明 证明 1 设XH H 则 XHj XH Hk H 使得XHj Hk X HkHj 1 H与前提X H矛盾 故结论 1 成立 2 设XH YH 则 XHj XH YHk YH 使得XHj YHk Y 1X HkHj 1 H由重排定理得到 Y 1XH H XH YH 3 设子群有k 1个相异左陪集 XjH j 1 2 k 1 则令G H X1H X2H Xk 1H显然 G G 又因为 A G 则A H 或A XjH A G G G 即 G G 1 29 拉格朗日定理 证明 设子群H有k 1个相异左陪集 XjH j 1 2 k 1 则有 G H X1H X2H Xk 1H由于 G n H X1H X2H Xk 1H km 所以 n km 即 k n m为一整数 定理1 6 拉格朗日定理 设H是n阶群G的一个m阶子群 则有 k n m为一整数 称为子群的指数 例如 C4v不可能有3 5 6阶的子群 推论 元素的阶 群G的阶与任意元素阶的商为一整数 证明 设A G 且Am E 则由A生成G的一个循环子群 H E Am A A2 Am 1 由以上定理知 n m为一整数 1 30 三 共轭子群 b 有逆元 任取XAkX 1 H2 必有XAk 1X 1 H2 XAkX 1 XAk 1X 1 XX 1 E 三 共轭子群 定理1 7 共轭子群 设H1是群G的子群 任取X G 令 H2 XH1X 1则H2也是G的子群 称为H1的共轭子群 证明 1 显然H2 XH1X 1 G 2 设 H1 A1 E A2 Am 则H2 XA1X 1 XA2X 1 XAmX 1 a 封闭性 任取XAjX 1 XAkX 1 H2 则有 XAjX 1 XAkX 1 XAjAkX 1 XApX 1 H2 1 31 例题 例16 已知H E mx 和H E C42 是C4v群的两个个子群 列出它们的所有共轭子群 H 的特点是 a 仅与自身共轭 即 X C4v XH X 1 H b 任何一个左陪集等于相应的右陪集 即 X C4v XH H Xc H C1 C2 1 32 四 正规子群 不变子群 自轭子群 四 正规子群 不变子群 自轭子群 定义1 8 正规子群 设H是群G的子群 若对 X G有 XHX 1 H 或 XH HX则H称为G的正规子群 定理1 8 正规子群的判别 设群G有p个类 Ck k 1 2 p 子群H为G的正规子群的充要条件是 H由C1 E 和其它若干个完整的类构成 即 1 33 定理1 8的证明 定理1 8的证明 必要性 设子群H为群G的正规子群 则对 X G有XHX 1 H由此可知 对 Ak H 其共轭元素Am XAkX 1 XHX 1 H因此 Ak的共轭类Ck H 即 1 34 正规子群的性质 正规子群的性质 定理1 9 正规子群的性质 1 正规子群的任何两个陪集的内积 仍然是该子群的陪集 2 正规子群与其任一陪集的内积等与陪集自身 证明 1 设H为G的正规子群 XH和YH是H的两个陪集 由于H H H XH YH XH HY X H H Y XHY XY H ZH Z XY G 2 H YH H HY H H Y HY YH 1 35 五 商群 五 商群 定理1 10 商群 群G的任何一个正规子群H与该子群所有相异陪集组成一个集合 该集合在内积运算下构成一个群 称为G的相对于H的商群 记作 G H 1 36 商群的阶 定理1 11 商群的阶 群G关于不变子群H的商群G H的阶数等于不变子群H的群指数 证明 设g阶群G的不变子群H的阶数为h H共有N 1个陪集 X1H X2H XN 1H 则H及其所有陪集给出群的一个划分 G H X1H X2H XN 1H因此 G H X1H X2H XN 1H N H 即 N G H g h 例如 群C3v E M1 M2 M3 C3 C32 它的一个不变子群是H E C3 C32 该子群仅有一个陪集为K M1 M2 M3 则G H H K 注意 H的群指数为6 3 2 商群的阶 2 1 37 1 4群的同态与同构一 群的同构 1 4群的同构与同态 一 群的同构 例17 群G 1 i 1 i 和H E C4 C42 C43 的比较 两个群的元素有一一对应关系 双射f 一一对应满映射 两个群有相同的群乘表 两个对应元素的乘积也是相互对应的 1 38 同构的定义 定义1 9 同构 设G和Q是两个群 若存在一一对应的满映射f 双射 使得 Ai Aj G有f AiAj BiBj f Ai f Aj Q则称G和Q同构 双射f是一个同构的映射 同构的性质 两个同构的群有相同的乘法表 在同构映射下 幺元被映射为幺元 两个互逆元素的像互逆 1 39 例题 例18 指出C4v群所有子群的同构关系 1 40 二 群的同态 二 群的同态 两个群的元素有2对1的对应关系 元素的运算保持相应的关系 例19 群的比较Q 1 1 G中与B1对应的子集为H A1 A2 则 H为G的不变子群G H H K 与Q同构 1 41 同态及同态核 定义1 10 同态 设G和Q是两个群 G Q 若存在由G到Q的多对一的满射f 使得 Ai Aj G有f AiAj BiBj f Ai f Aj Q则称G同态于Q f是G到Q的一个同态的映射 同态的性质有 两个群的元素有多对一的对应关 在同态映射下 运算规律保持不变 在同态映射下 幺元映射为幺元 原像的逆元映射为像的逆元 同态的两个群 群乘表有分块结构上的相似性 1 42 同态核及同态核定理 定理1 12 同态核定理 若群G与群Q同态 则有 1 同态核H是G的不变子群 2 商群G H与Q同构 定义1 11 同态核 设群G与群Q同态 G中与Q的单位元素对应的所有元素构成的集合 称为同态核 记为H c X G和 Ak H f XAkX 1 f X f Ak f X 1 f X B1f X 1 B1 XAkX 1 H 即与Ak共轭的所有元素都在H中 因此H是不变子群 同态核定理的证明 1 设群G与群Q同态 同态核为H 则 Ak H 有f Ak B1 Q 1 H是G的不变子群 1 43 同态核定理的证明 1 a Ai Aj H f AiAj f Ai f Aj B1B1 B1 AiAj H 1 44 同态核定理的证明 2 2 G H与Q同构设 G A1 E A2 AN Q B1 e B2 BM 若G与群Q同态 同态核为H 则必存在G到Q的同态映射使得 于是 1 45 三 群的生成集 有限群的结构1 生成集 1 群的生成集合 三 群的生成集 有限群的结构 群G的生成集S S G S中各元素的幂和乘积可以生成群中所有元素 若子集S中只有一个元素 那么群就是一个循环群 定理1 13 生成集 设S G S是G的生成集的充要条件是G上不存在包含S的真子群 证明 1 设S是G的一个生成集 假设存在G的真子群H 使得S H G 由于运算在H上封闭 S上任何运算只能给出H中的元素 与前提矛盾 故假设不成立 2 又设S G 且G的任何真子群不包含S 则令K S中各元素的幂 S中元素的积 显然 S K 且K是G的子群 运算在K上封闭 K中各元素有逆元素 由前提知道K不是G的真子群 因此 K G 1 46 例题 例19 C3v和C4v群生成集 1 47 2 有限群的结构分析 2 有限群的结构 1 1阶群 E 任何一阶群都由单位元素组成 因此 一阶群只可能有一种结构 换句话说 任何一阶群都是同构的 2 2阶群 E A 除幺元素外 还有一个二阶元素A 因此 任何二阶群都是二阶循环群 所有二阶群同构 3 3阶群 E A B 群的阶是一个素数 因此除幺元素外 其它两元素的阶必须是3 因此 任何三阶群都是三阶循环群 可见三阶群也只能有一种结构 事实上 任何素数n阶群都是同构的 n循环群 4 4阶群 E A B C 除幺元素外 其它元素的阶数可能是4 也可能是2 因此 有以下两种情况 a 群中至少有一个四阶元素 则该群必为四阶循环群 b 除幺元外 其它元素都是二阶的 则该群必为四阶阿贝尔群 1 48 有限群的结构分析 续 有限群的结构分析 2 5 6阶群 E A1 A2 A3 A4 A5 A6 除幺元素外 其它元素的阶数可能是6 3 2 我们可以证明 六阶群有两种结构 a 6阶循环群 群中至少有一个6阶元素b 6阶非循环非阿贝尔群 与置换群S3群同构 除幺元素外 群中有两个3阶元素和三个2阶元素 思考题 证明 不存在这样一个六阶群 除幺元素外 其它元素都是2阶的 2 不存在这样一个六阶群 群中有奇数个3阶元素 3 不存在这样一个六阶群 群中有4个以上的3阶元素 1 49 1 5置换群 1 5置换群 基本概念 全同系统 由n个全同对象组成的系统 如 全同粒子系统 交换对称性 全同系统中 交换其中的两个或多个对象时 系统的物理性质或几何状态不变 交换对象的操作是这类系统上的对称操作置换 一个交换对象的操作称为一个置换 它给出系统中所有对象的一种排列 不同的置换给出不同的排列置换群 n个全同对象组成系统 一共可有个n 个置换 所有这些置换构成一个群 称为n阶置换群 又称为群Sn群 1 50 例题 S3群 例20 S3群及群乘表 S3 关于3个全同对象的6个置换组成的群 各置换可表示为 置换作用于一个排列上的到另一个排列 例如 3个偶置换 E A1 A23个奇置换 A3 A4 A5 置换的积定义为两个相继的置换 例如