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文档简介

线性代数 安徽工业大学数理学院 杨辉 教材 线性代数 主要教学参考书 中国科技大学编 第1 1节行列式的定义 线性代数 主要内容 一 二阶与三阶行列式 二 n阶行列式的定义 问题的提出 求解二 三元线性方程组 二阶 三阶行列式 引出 引出 n阶行列式 一 二阶与三阶行列式 1 二阶行列式 二元线性方程组 由消元法 得 得 同理 得 于是 当 时 方程组有唯一解 为便于记忆 引进记号 称记号 为二阶行列式 其中 数 称为元素 为行标 表明元素位于第行 为列标 表明元素位于第列 注 1 二阶行列式算出来是一个数或代数式 2 记忆方法 对角线法则 主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积 因此 上述二元线性方程组的解可表示为 综上 令 则 称D为方程组的系数行列式 例1 解方程组 解 因为 所以 2 三阶行列式 类似地 为讨论三元线性方程组 引进记号 称之为三阶行列式 其中 数 称为元素 为行标 为列标 三阶行列式的计算 注 三阶行列式包括3 项 每一项都是位于不同行 不同列 三个元素的乘积 其中三项为正 三项为负 例 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 可以验证 方程组有唯一解 其中 例2 解 方程左端 例3 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 D 同理可得 故方程组的解为 二 n阶行列式的定义 由n行n列元素组成 称之为n阶行列式 determinantofordern 定义由n阶阶行列式D中划去第i行第j列元素后剩下的n 1行n 1列元素组成的n 1阶行列式 即 n阶行列式的定义 定义1 1 注 上式归纳地定义了任意n阶行列式的值 例4 计算上三角行列式 uppertriangulardeterminant 分析 这是一个n阶行列式 但它的第一列除 所以利用定义展开时只有一项不为零 于是 解 都是零 例5 定理1 1设D是n阶行列式 则对任意 同理可得下三角行列式 lowertriangulardeterminant 例6 证明对角行列式 diagonaldeterminant 证明 第一式是显然的 下面证第二式 若记 则依行列式定义 思考题
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