2011 2-1 运动中的守恒量和守恒定律 刚体初步 拷贝文稿.ppt

抛手榴弹的过程 质点系的质量中心 简称质心 具有长度的量纲 描述与质点系有关的某一空间点的位置 质心实际上是一个与质点系内部分布有关的一个代表点 其运动反映了质点系的整体运动趋势 质心 P54 描述质心时 对于N个质点组成的质点系 直角坐标系中 直角坐标系下 面分布 体分布 线分布 对于质量连续分布的物体 首先获得总质量M P55 注意 质心的位矢与参考系的选取有关 刚体的质心相对自身位置确定不变 质量均匀的规则物体的质心在几何中心 质心与重心不一样 物体尺寸不十分大时 质心与重心位置重合 例1求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置 这个结果和熟知的三角形重心位置一致 三角形质心坐标xc是 解 建立图示坐标 由于面积元的高度为2y 所以其面积为2ydx 2xdx 设薄板每单位面积的质量为则此面积元的质量 在离原点x处取宽度为dx的面积元 例2一段均匀铁丝弯成半圆形 其半径为R 求此半圆形铁丝的质心 任取一小段铁丝 其长度为dl 质量为dm 以 表示铁丝的线密度 解 建立如图坐标系 例3确定半径为R的均质半球的质心位置 解 建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位于圆心 取厚度为dy的薄圆盘为质量微元 质心在距球心3R 8处 关于质心和重心的一些详细说明 质心 指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点 与重心不同的是 质心在非重力场系统中照样存在 值得注意的是 除非重力场是均匀的 否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上 说明白一点 质心就是物体质量集中的假想点 对于规则形状物体就是它的几何中心 重心就是重力的作用点 通常情况下 由于普通物体的体积比之于地球十分微小 所以物体所处的重力场可看作是均匀的 此时质心与重心重合 如果该物体的体积比之于地球不可忽略 例如一个放在地面上半径为3000km的球体 则该球体所处的重力场就不均匀了 具体说当由下自上重力场逐渐减小 则此时重力的作用点靠下 也就是重心低于质心 如果物体所处的位置不存在重力场 如外太空 则物体就无所谓重心了 但由于质量仍然存在 所以质心仍然存在 求解重心的方式 现实的物体重心 形心 求法1 查表法 对于简单几何形状的均质物体 其重心可从有关手册中查到 2 对称法 对于具有对称面 对称轴或对称中心的均质物体 其重心就在对称面 对称轴或对称中心上 3 实验法 直接 简便 在工程实际中常常采用 4 组合法 对形状复杂的物体 可将其看成是几个形状简单 重心易求的物体组合而成 分别求出每一部分的重力和重心坐标 然后利用重心坐标公式求出整个物体的重心 通配公式 例2质量为m的匀质链条 全长为L 手持其上端 使下端离地面为h 然后放手让它自由下落到地面上 如图所示 求链条落到地上的长度为l时 地面所受链条作用力的大小 思路 可用变质量物体运动微分方程求解 用链条为系统 向下为x正向 t时刻 落地面链段ml速度为零 即u 0 空中链段 m ml 速度为v 受力如图 由变质量物体运动微分方程可得 因在自由下落中 所以上式化简为 分解微分式 因 又 所以 地面所受链条的作用力的大小 例题3一绳跨过一定滑轮 两端分别拴有质量为m及的m 物体A和B m 大于m B静止在地面上 当A自由下落距离h后 绳子才被拉紧 求绳子刚被拉紧时两物体的速度 以及能上升的最大高度 思路 以物体A和B为系统作为研究对象 采用隔离法分析受力 作出绳拉紧时的受力图 绳子刚好拉紧前的瞬间 物体A的速度为 取竖直向上为正方向 绳子拉紧后 经过短暂时间的作用 两物体速率相等 记为V 对两个物体分别应用动量定理 得到 忽略重力 考虑到绳不可伸长 有 解得 当物体B上升速度为零时 必达到最大高度 而由自由落体的计算公式可推出 动量的历史 关于运动量度的争论 17世纪末 在笛卡儿学派和莱布尼兹学派之间发生了一场关于 运动的量度 的争论 这场争论所直接涉及到的两个物理学概念 动量和动能 它们的意义在今天是非常清楚的 争论早已成为历史 不过 我们回顾这场古老的学术争论时 仍可得到某些启发 笛卡儿 莱布尼兹 笛卡儿学派主张用mv作为运动量度 法国数学家和哲学家笛卡儿主张用mv作为运动的量度表征物体运动量 得到了一些科学家的支持 笛卡儿对碰撞现象作了研究 而牛顿则最终完善了动量的概念 并给出明确的定义 运动的量是用它的速度和质量一起来量度的 莱布尼兹学派主张用mv2作为运动量度 到了17世纪80年代 德国著名学者莱布尼兹学派提出了应以mv2作为运动的量度 认为mv是 死力 的量度 即相对静止的物体之间的力的量度 而mv2则是 活力 的量度 是真正的运动的量度 3 事实上 自然界中不受外力的物体几乎是没有的 但如果系统的内力 外力 也可近似认为动量守恒 例如瞬时的碰撞问题 爆炸问题等 2 若合外力不为0 但在某一方向上其分量为0 则这个方向上存在动量守恒 1 动量守恒是对外而言 对于一个质点系 若合外力为0 系统的总动量保持不变 但系统内各自的动量可以相互转移 明确几点 4 动量守恒是比牛顿定律更普遍的基本的定律 印象 关于著名的三大基本守恒律 1 动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一 它既适用于宏观物体 也适用于微观粒子 既适用于低速运动物体 也适用于高速运动物体 它是一个实验规律 也可用牛顿第三定律和动量定理推导出来 2 动量守恒定律和能量守恒定律以及角动量守恒定律一起成为现代物理学中的三大基本守恒定律 最初它们是牛顿定律的推论 但后来发现它们的适用范围远远广于牛顿定律 是比牛顿定律更基础的物理规律 是时空性质的反映 其中 动量守恒定律由空间平移不变性推出 能量守恒定律由时间平移不变性推出 而角动量守恒定律则由空间的旋转对称性推出 3 相互间有作用力的物体系称为系统 系统内的物体可以是两个 三个或者更多 解决实际问题时要根据需要和求解问题的方便程度 合理地选择系统与其中的守恒律 4保守力与势能 一 保守力 功的大小只与物体的始末位置有关 而与所经历的路径无关 这类力叫做保守力 不具备这种性质的力叫做非保守力 P74 1 重力 2 弹性力 3 万有引力 3种典型的保守力 这三种力对质点作功仅决定于质点运动的始末位置 与运动的路径无关 称为保守力 保守力的判据是 势能 质点在保守力场中与位置相关的能量 它是一种潜在的能量 不同于动能 三 势能 三种常见的势能 重力势能 弹性势能 万有引力势能 P78 利用动量守恒定律机械能守恒定律 动量守恒定律和机械能守恒定律以及角动量守恒定律 揭示了在物体运动变化过程中保持不变的东西 这些守恒定律常被人们用作处理动力学问题的出发点 使问题的处理简单 方便 而不必知道物理过程的细节 就可以由初始条件推演出过程结束时的运动情况 起重机用钢丝绳吊运一质量为m的物体 以速度v0作匀速下降 如图所示 当起重机突然刹车时 物体因惯性进行下降 问使钢丝绳再有多少微小的伸长 设钢丝绳的劲度系数为k 钢丝绳的重力忽略不计 这样突然刹车后 钢丝绳所受的最大拉力将有多大 P88 思路 我们考察由物体 地球和钢丝绳所组成的系统 除重力和钢丝绳中的弹性力外 其它的外力和内力都不作功 所以系统的机械能守恒 现在研究两个位置的机械能 在起重机突然停止的那个瞬时位置 物体的动能为 设这时钢丝绳的伸长量为x0 系统的弹性势能为 如果物体因惯性继续下降的微小距离为h 并且以这最低位置作为重力势能的零位置 那么 系统这时的重力势能为 所以 系统在这位置的总机械能为 在物体下降到最低位置时 物体的动能Ek2 0 系统的弹性势能应为 而最低位置时的重力势能 所以在最低位置时 系统的总机械能为 按机械能守恒定律 应有E1 E2 于是 由于物体作匀速运动时 钢丝绳的伸长x0量满足x0 G k mg k 代入上式后得 x0 G k mg k 钢丝绳对物体的拉力T和物体对钢丝绳的拉力T 是一对作用力和反作用力 T 和T的大小决定于钢丝绳的伸长量x T kx 现在 当物体在起重机突然刹车后因惯性而下降 在最低位置时相应的伸长量x x0 h是钢丝绳的最大伸长量 所以钢丝绳所受的最大拉力 由此式可见 如果v0较大 T m也较大 所以对于一定的钢丝绳来说 应规定吊运速度v0不得超过某一限值 在完全非弹性碰撞中 完全非弹性碰撞 则 例题2 18在碰撞实验中 常用如图所示的仪器 A为一小球 B为蹄状物 质量分别为m1和m2 开始时 将A球从张角 处落下 然后与静止的B物相碰撞 嵌入B中一起运动 求两物到达最高处的张角 1 小球A从开始位置下落h 而到最低位置 这是小球与蹄状物B碰撞前的过程 此过程机械能守恒 P95 2 当小球与蹄状物碰撞时 两物作完全非弹性碰撞 动量守恒 3 小球与蹄状物开始运动后 在这过程中机械能守恒定律 即 从 1 2 和 3 三式消去v和v 可得 利用这种碰撞实验 可以验证动量守恒与机械能守恒定律 则 一 什么是角动量 7质点的角动量与角动量守恒定律 质点对圆心的角动量 角动量是矢量 方向 大小 方向用右手螺旋法则确定 P96 在一个旋转系统里定义力 F 力矩 动量 p 角动量 L 这些物理量之间的关系 力矩为到原点的位矢 r 和力的叉乘 角动量 L 为到原点的位矢 r 和动量的叉乘 角动量与力矩的关系示意 1 质点对点的角动量 不但与质点运动有关 且与参考点位置有关 2 方向的确定遵循右手法则 例 所以 1 垂直于构成的平面 2 必须指明角动量是对某一固定点而言 直线运动 质点的角动量定理 如果作用在质点上的外力对某给定点的力矩为零 则质点对点的角动量在运动过程中保持不变 这就叫做角动量守恒定律 通过力矩来认识角动量守恒 力矩的单位为 牛顿米 N m 注意其与功有所区别 PX 课堂作业 质量为m的子弹射入一放置在水平台面上的长为L 质量为M的木块中 求 1 当木块被固定在台面上 子弹以初速度V0打入时刚好能进入木块深度为L 2 则 刚好穿透木块所需的最小速度V1是多少 2 木块自由放于台面 台面光滑无摩擦 当子弹以速度V1打入木块后并停于其内与木块一起运动时 求它们最终的共同运动速度V2 3 在第二种情况下 求子弹穿入木块的深度l 以及子弹深入木块的这段时间里木块滑动过的距离d 答案中只出现V0 L以及m和M 刚体运动初识 刚体的运动 刚体运动研究的基础 刚体是由无数个连续分布的质点组成的质点系 每个质点称为刚体的一个质量元dm 每个质点运动都服从质点力学规律 刚体的运动是这些质量元运动的总和 二 刚体的运动形式 平动和转动 刚体 在外力的作用下 大小和形状都不变的物体 刚体是理想模型 当刚体运动时 如果刚体内任何一条给定的直线 在运动中始终保持它的方向不变 这种运动叫平动 一 刚体 1 平动 刚体模型及其运动 P110 刚体运动时 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动 这种运动就叫做转动 这一直线就叫做转轴 2 刚体的转动 1 定轴转动 转轴相对参考系静止 2 定点转动 转轴上只有一点相对参考系静止 转轴方向不断变化 3 一般运动 可看成平动和转动的叠加 如车轮的转动 因此 刚体的一般运动 一般刚体的自由度 刚体总自由度i 6 平动自由度t 3 转动自由度r 3 刚体绕CA轴转动 CA的方位 其中两个是独立的 角速度是矢量 但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个 在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向 不必用矢量表示 刚体上任一质元的速度表示为 刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为 3 角加速度 刚体定轴转动定律 上式左端为刚体所受外力的合外力矩 以M表示 右端求和符号内的量与转动状态无关 称为刚体转动惯量 以J表示 于是得到 刚体定轴转动定律 P115 质元的质量 质元到转轴的距离 刚体的质量可认为是连续分布的 所以上式可写成积分形式 按转动惯量的定义有 转动惯量 刚体绕轴转动惯性的物理量度 动量与转动惯量区别 平动 线动量 平动定律 转动 角动量 转动定律 转动惯量是转动中惯性大小的量度 质量是平动中惯性大小的量度 PX 例题1求质量为m 长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量 1 转轴通过棒的中心并和棒垂直 2 转轴通过棒的一端并和棒垂直 3 转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直 解 1 建立坐标系 分割质量元 学习如何求解转动惯量 P116 J与刚体质量 质量分布 轴的位置有关 2 建立坐标系 分割质量元 3 建立坐标系 分割质量元 定理表述 刚体绕平行于质心轴的转动惯量J 等于绕质心轴的转动惯量JC加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积 刚体绕质心轴的转动惯量最小 如 P116 因此整个刚体的动能 二 刚体的转动动能 P121 上式中的Ek是刚体因转动而具有的动能 因此叫刚体的转动动能 式中是刚体对转轴的转动惯量 所以上式写为 总外力矩对刚体所作的功为 三 定轴转动的动能定理 对一个确定的定轴转动刚体 J不变 则 由 与此对应的动能增量为 转动的动能定理 可知 对元功积分 与质点 功 的比较 力的空间累积效应 力的功 动能 动能定理 力矩的空间累积效应 力矩的功 转动动能 转动动能定理 PX 即 对质心高度为 对于一个不太大的质量为的物体 它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和 对一个在保守力场中的刚体 若只有保守力做功 则 四 刚体的重力势能 机械能守恒在刚体中的应用 二 定轴转动刚体的角动量定理 根据刚体角动量表达式 定轴转动物体对轴的角动量增量等于外力矩作用在转轴上的冲量和 P125 当M 0时 由定轴转动定理 从而有 三 定轴转动刚体的角动量守恒定律 推广得 因为 结论 刚体在定轴转动中 当对转轴的合外力矩为零时 刚体对转轴的角动量保持不变 这一规律就是定轴转动的角动量守恒定律 P126 刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式比较 刚体的平动 刚体的定轴转动 PX 例题一匀质细棒长为l 质量为m 可绕通