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文档简介

函数与极限 1 函数的连续性和间断点 连续函数的运算 初等函数的连续性 2 7 8函数的连续性及其运算 一 函数的连续性及其运算 1 函数的连续性 例1 证 由定义2知 单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 例3 证 函数的间断点 跳跃间断点 例4 解 可去间断点 例5 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 如例5中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 第二类间断点 例6 解 例7 解 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间断点 仅在x 0处连续 其余各点处处间断 在定义域R内每一点处都间断 但其绝对值处处连续 判断下列间断点类型 例8 解 20 作业 习题2 7 第45页 1 1 2 3 6 7 1 阅读4 5 6 二 连续函数的运算 定理1 例如 1 连续函数的四则运算法则 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 例如 反三角函数在其定义域内皆连续 2 反函数和复合函数的连续性 定理3 证 将上两步合起来 意义 1 极限符号可以与函数符号互换 定理4 注意定理4是定理3的特殊情况 例如 三 初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 定理5基本初等函数在定义域内是连续的 均在其定义域内连续 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 1 初等函数仅在其定义区间内连续 在其定义域内不一定连续 例如 这些孤立点的邻域内没有定义 在0点的邻域内没有定义 注意 注意2 初等函数求极限的方法代入法 三 小结 1 函数在一点连续必须满足的三个条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点 可去型 跳跃型 第二类间断点 无穷型 振荡型 间断点 见下图 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 4 连续函数的和差积商的连续性 6 复合函数的连续性 7 初等函数的连续性 定义区间与定义域的区别 求极限的又一种方法 两个定理 两点意义 5 反函数的连续性 32 作业 习题
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