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第3章交流电路分析 3 1正弦交流电的基本概念 3 2正弦交流电的相量表示 3 3单一参数的正弦交流电路 3 4正弦交流电路的分析与计算 3 5功率因数的提高 3 6交流电路的频率特性 3 7非正弦周期性电路的分析 第3章交流电路分析 3 8三相交流电路 3 9安全用电技术简介 第3章交流电路分析 1 理解正弦量的特征及其各种表示方法 2 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法 3 掌握有功功率和功率因数的计算 了解无功功率和视在功率的概念 了解提高功率因数的意义和方法 4 了解频率特性及谐振的条件及特征 5 搞清对称三相负载Y形和 形联结时相线电压 相线电流关系 掌握三相负载的正确连接方法 理解中性线的作用 掌握对称三相电路电压 电流及功率的计算 本章要求 3 1正弦交流电的基本概念 3 1 1正弦交流电的基本表示 正弦量 正弦电流 电压 电动势的统称 正弦量的参考方向 正半周的方向 负半周时 i 0 实际方向和正方向相反 正半周时 i 0 实际方向与正方向一致 1 周期 频率和角频率 3 1 2正弦交流电的三要素 反映正弦量变化快慢的物理量 周期T 正弦量变化一周所需的时间 单位 T 秒 s 频率f 正弦量单位时间内变化的周数 单位 f 周 秒 赫 兹 Hz 角频率 正弦量单位时间内经历的电角度 单位 弧度 秒 rad s 三者之间的关系 工频交流电 2 瞬时值 最大值及有效值 反映正弦量变化大小的物理量 瞬时值 最大值 有效值 正弦量任意瞬间的值 用小写字母表示 正弦量最大的瞬时值 即幅值 用大写字母加下标m表示 瞬时值 最大值只能反映正弦量某一瞬间的大小 反映正弦量在一个周期内的效果要用有效值 有效值用大写字母表示 电流的热效应 电流通过电阻时电阻发热 将电能转换为热能 发热量相等 则 若 则 有效值公式 注意 交流电压表 电流表测出的为有效值 交流电器的额定电压 额定电流为有效值 交流电路分析计算用有效值 交流电器的耐压要用最大值 问题讨论 某电容器的耐压为200V 能否接入电源为200V的交流电路中 否 3 相位 初相位及相位差 初相位与计时起点有关 0 0 0 反映正弦量变化进程的物理量 两个同频率正弦量的相位之差 即同频率下的初相位差 如 相位差 注意 相位差与计时起点无关 超前 滞后的概念 从波形看先出现正的最大值为超前 后者为滞后 如 i1超前i260 或说i2滞后i160 同相 1 2 正交 反相 注意 同频率正弦量叠加后 仍为同频率正弦量 结论 因角频率 不变 所以正弦交流电路分析计算时 主要关心有效值与初相位 有效值U和初相位 变化角频率 不变 角频率 解 幅值 有效值 频率 初相位 注意 和 一般取 180 以内的电角 计算下列正弦量的相位差 解 3 2正弦交流电的相量表示 解析式 瞬时值表达式 相量图 正弦曲线 正弦量的4种表示方法 相量法 复数法 三角函数法和波形图法是正弦量的基本表示法 但是用于正弦量的运算时 比较麻烦 不方便 通常正弦交流电路分析计算采用相量法和相量图法 3 2 1正弦交流电的相量表示 1 复数表示形式及其运算 1 复数的表示形式 复平面 代数式 三角式 模 辐角 极坐标式 用于电工学中表示正弦量 r 表示正弦量的有效值或幅值 表示正弦量的初相位 复平面 欧拉公式 指数式 正弦量用复数表示称为相量 如 正弦量的有效值相量 正弦量的幅值相量 已知 试写出相应的相量式 复数式 解 2 复数的运算 加 减运算 如下图所示 复数的加减运算也可以用平行四边形法则在复平面上用作图法进行 乘法运算 其中 除法运算 其中 解 j为旋转90 的旋转因子 1为旋转180 的旋转因子 2 正弦量的相量法 由于同频率正弦量的加减 微积分运算后 依然为同频正弦量 因此 同频正弦电路的计算只需考虑有效值或幅值 模 和初相位 辐角 两个要素 用复数表示正弦量后 可以使得交流电路的计算大为简化 用复数表示正弦量的方法称为相量法 若 若 其正弦量的有效值相量写作 其正弦量的幅值相量写作 解 相量法 复数法 电流 解 已知i u瞬时值表达式 求i u的相量 求 解 下列各相量的初相位角是多少 模均为 指出下列各式的错误 瞬时值表达式 相量式 瞬时值表达式 相量式 已知 则 3 2 2KCL KVL的相量形式 KCL的相量形式为 或 KVL的相量形式为 或 注意 注意 用一个旋转矢量表示正弦量 相量图法简介 矢量长度 幅值 矢量逆时针旋转的角速度 角频率 1 旋转矢量 t 0时矢量与横轴正方向的夹角 初相位 O O 三要素 超前 滞后以逆时针为准 滞后于 2 相量图的习惯画法 只画出t 0时的初始位置 矢量长度用有效值表示 相量图 设 注意 相量用大写字母并打点 3 矢量运算 平行四边形法则 矢量加 矢量减 解 画出相量图 有效值 初相位 电流 已知 试求 解 用相量图法 由图求出U和 得 由图求出U 和 得 3 3 1线性电阻元件的交流电路 1 基本关系 设 则 3 3单一参数的正弦交流电路 由欧姆定律 1 相位关系 u与i相同 2 有效值关系 2 电压与电流的关系 3 电功率 1 瞬时功率p p 0 电阻为耗能元件 p随时间变化 2 平均功率 有功功率 P 3 3 2线性电感元件的交流电路 1 基本关系 2 电压与电流的关系 1 相位关系 u超前i90 3 相量关系 2 有效值关系 或 其中 3 感抗 感抗 XL 2 fL 反映了电感对电流的阻碍作用 f 0时 XL 0 短路 电感对直流视为短路 f 0时 XL 0 电感对交流有阻碍作用 f XL I f XL I 电感通直阻交 电感通低频阻高频 4 电功率 1 瞬时功率p p 0储存磁场能量 p 0泄放磁场能量 2 有功功率P 电感不消耗电能 电感为储能元件 3 无功功率Q 储能元件瞬时功率的最大值 单位 乏 var 5 磁场能量 解 当f 50Hz时 当f 5000Hz时 指出下列各式的对 错 设 则 3 3 3线性电容元件的交流电路 1 基本关系 2 电压与电流的关系 1 相位关系 i超前u90 2 有效值关系 容抗 单位 XC f Hz C F 3 相量关系 或 3 容抗 f 0时 XC 开路 电容对直流视为开路 f 0时 XC 通路 电容对交流视为通路 f XC I f XC I 其中 容抗反映了电容对电流的阻碍作用 电容隔直通交 电容通高频阻低频 4 电功率 1 瞬时功率p p 0储存电场能量 p 0泄放电场能量 有功功率P 电容不消耗电能 电容为储能元件 无功功率Q 储能元件瞬时功率的最大值 单位 乏 var 5 电场能量 解 当f 50Hz时 当f 5000Hz时 已知 C 1 F 求 I i 解 电流有效值 求电容电路中的电流 瞬时值表达式 i超前于u90 电流有效值 3 4正弦交流电路的分析与计算 3 4 1RLC串联电路 设 则 由KVL 相量式 电抗电压 相量图 1 电压电流的关系 1 相位关系 当时 表示u超前i 电路呈电感性 当时 表示u与i同相 电路呈电阻性 当时 表示u滞后i 电路呈电容性 相量图 2 有效值关系 阻抗 3 相量式 复数式 复阻抗 2 电路的功率 1 有功功率P 2 无功功率Q 电阻消耗的功率 功率因数 储能元件瞬时功率的最大值 能量转换规模 乏 var 瓦 W 3 视在功率S 电源的容量 单位 伏安 V A 4 3个三角形 电压三角形 功率三角形 阻抗三角形 功率因数计算 功率因数角 相位差角 阻抗角 指出在RLC串联电路中下列各式的对 错 Z不是相量不能加 相量和 RLC串联电路 已知 R 30 L 254mH C 80 F 计算 感抗 容抗及阻抗 P及Q 电流的I及i 作出相量图 UR UL UC 及uR uL uC 容抗 阻抗 电流的I及i 作出相量图 UR UL UC 及uR uL uC UR IR 132V UL IXL 352V UC IXC 176V P RI2 581W P及Q 3 4 2一般阻抗的串并联电路 1 串联电流相同 2 注意 3 注意 其中 设 1 阻抗串联电路 4 分压公式 注意 要用复数运算 5 电功率 有功功率 无功功率 视在功率 下列各图中给定的电路电压 阻抗是否正确 图 a 所示的电路的相量图如图 b 所示 试判别Z1 Z2及整个电路的性质 图 a 图 b Z1为电容性 Z2为电感性 整个电路为电感性 试求下列电路图中电压表V0和电流表A0的读数 图 b 串联以电流I为参考相量 并联以电压U为参考相量 以并联部分的电压U2为参考相量 超前U290 U1 IoXC 100V U1落后于Io90 45 图 c 已知 I1 10A UAB 100V 求 A V0的读数 设 参考相量 解 同理 或利用分压公式 注意 相量图 2 阻抗并联电路 1 并联电压相同 2 注意 3 注意 4 分流公式 阻抗 解 注意 要用复数运算 解 同理 相量图 注意 或 下列各图中给定的电路电流 阻抗是否正确 已知 解 已知3个电压表的读数U 149V U1 50VU2 121V及电阻R1 5 f 50Hz 试求线圈的参数r及L 解 画相量图 由余弦定理 1 根据原电路图画出相量模型图 电路结构不变 2 根据相量模型列出相量方程式或画相量图 3 复杂交流电路的计算方法简介 3 用复数符号法或相量图求解 4 将结果变换成要求的形式 已知 R1 R2 L C 求 各支路电流 相量模型 原电路 结点方程 由结点电位求出各支路电流 开路求电压 UOC 去源求内阻 Zo 3 5功率因数的提高 功率因数 反映有功功率占视在功率的比例 1 低功率因数的原因 大量使用电感性负载 电动机轻载或空载运行 大马拉小车 1 提高功率因数的意义 功率因数与电路的参数有关 异步电动机的 0 7 0 9 总量占负载的60 以上 洗衣机 电风扇都为电感性负载 日光灯的 0 5 异步电动机空载时 0 2 0 3 2 低功率因数的影响 电源设备不能充分利用 设 r为线路电阻 增加线路功率损耗 P和线路压降 U 例如1000kV A的变压器 如果 则有功功率为1000kW 若 则有功功率为800kW 可见功率因数愈低 电源设备的利用率也愈低 当U P一定时 cos I P rI2 当U P一定时 cos I U rI 额定电压220V 功率40W的白炽灯 额定电压220V 功率40W日光灯 3 提高功率因数的意义 可以使发电设备的容量能够充分利用 可以减小线路功率损耗 P 提高供电的效率 可以减小线路电压降 U 保障供电的质量 2 提高功率因数的方法 1 分析 并联电容前 并联电容后 并联电容后提高了线路的功率因数 并联电容后减小了线路电流 减小线路功耗 P和线路电压降 U 并联电容后减小了线路的无功功率 并联电容前后线路的有功功率P不变 并联电容前后电源的电压U不变 所以 2 电容的确定 单位 F 单位 F 呈电容性 呈电感性 3 无功功率补偿的讨论 呈电阻性 欠补偿 全补偿 过补偿 结论 在角相同的情况下 补偿成电容性要求使用的电容容量很大 经济上不合算 所以一般工作在欠补偿状态 3 6交流电路的频率特性 交流电路的频率特性是研究正弦交流电路中电压 电流随频率变化的关系 幅频特性 相频特性 电压或电流的相位与频率的关系 电压或电流的大小与频率的关系 滤波电路主要有 低通滤波器 高通滤波器 带通滤波器等 3 6 1RC电路的频率特性 RC滤波 即利用容抗随频率而改变的特性 对不同频率的输入信号产生不同的响应 让需要的某一频带的信号通过 抑制不需要的其它频率的信号 1 RC高通滤波电路 1 电路 2 传递函数 幅频特性 相频特性 电路输出电压与输入电压的比值 设 3 频率特性曲线 当 0时 A 变化不大 接近等于1 一阶RC高通滤波器具有高通滤波特性 通频带 0 下限截止频率 0 1 RC 1 电路 2 低通滤波电路 2 传递函数 设 幅频特性 相频特性 3 频率特性曲线 当 0时 A 明显下降 信号衰减较大 一阶RC低通滤波器具有低通滤波特性 通频带 0 0上限截止频率 0 1 RC 3 RC带通滤波电路 2 传递函数 1 电路 幅频特性 相频特性 3 频率特性 设 4 频率特性曲线 RC串并联电路具有带通滤波特性 由频率特性可知 在 0频率附近 A 变化不大接近等于1 3 当 偏离 0时 A 明显下降 信号衰减较大 通频带 当输出电压下降到输入电压的70 7 处 A 下降到0 707 3时 所对应的上下限频率之差即 2 1 仅当时 与同相 U2 U1 3为最大值 对其它频率不会产生这样的结果 因此该电路具有选频作用 常用于正弦波振荡器 3 6 2LC电路的频率特性 在同时含有L和C的交流电路中 如果总电压和总电流同相 称电路处于谐振状态 此时电路与电源之间不再有能量的交换 电路呈电阻性 研究谐振的目的 就是一方面在生产上充分利用谐振的特点 如在无线电工程 电子测量技术等许多电路中应用 另一方面又要预防它所产生的危害 谐振是电路中发生的一种特殊现象 或 即 谐振条件 串联谐振电路 1 谐振条件 1 串联谐振 2 谐振频率 根据谐振条件 或 电路发生谐振的方法 电源频率f一定 调参数L C使fo f 电路参数LC一定 调电源频率f 使f fo 或 3 串联谐振特怔 可得谐振频率为 当电源电压一定时 电流最大 电路呈电阻性 能量全部被电阻消耗 和相互补偿 即电源与电路之间不发生能量互换 电压关系 电阻电压 UR IoR U 大小相等 相位相差180 电容 电感电压 当时 有 令 可见Q值由电路参数确定 通常R Q 相量图 如Q 100 U 220V 则在谐振时 所以电力系统应避免发生串联谐振 注意 所以串联谐振又称为电压谐振 4 谐振曲线 容性 感性 谐振曲线 电流随频率变化的关系曲线 Q值越大 曲线越尖锐 选择性越好 Q大 Q小 分析 谐振电流 电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力 称为选择性 当电流下降到0 707Io时所对应的上下限频率之差 称通频带 通频带 Q大 通频带越窄 选择性越好 抗干扰能力越强 通频带 5 串联谐振应用举例 接收机的输入电路 为来自3个不同电台 不同频率 的电动势信号 调C 对所需信号频率产生串联谐振 已知 解 若要收听节目 C应配多大 则 结论 当C调到204pF时 可收听到的节目 1 已知 信号在电路中产生的电流有多大 在C上产生的电压是多少 2 这时 品质因数 2 并联谐振 1 谐振条件 谐振时U与I同相 令 虚部 0 U与I同相 相量图 即 得 或 谐振的条件 实际中线圈的电阻很小 所以在谐振时有 2 谐振频率 3 并联谐振的特征 阻抗最大 呈电阻性 当满足 0L R时 电压源供电时 总电流最小 支路电流与总电流的关系 当 0L R时 并联谐振时 支路电流有可能远大于总电流 故称为电流谐振 支路电流是总电流的Q倍 电流谐振 相量图 品质因数Q 反映并联谐振时 支路电流与总电流的倍数 外加理想电流源时 并联谐振的阻抗最大 所以输出电压最大 4 并联谐振的应用 已知 解 试求 3 7非正弦周期信号电路的分析 非正弦电量的普遍性和特殊性 工程中常有一些非正弦信号 如计算机中的脉冲信号 测量技术中将非电电量转换成的电信号 由语言 音乐 图像转换成的电信号 许多电子仪器在工作时所需的控制信号等 既然是非正弦电量 就不能用正弦交流电的相量分析方法进行讨论分析 这里讨论对非正弦电流量的分析方法 它是非正弦量的一种特例 对非正弦的电量分析的理论依据 仍然是受电路约束方程制约的 所用的数学工具是傅里叶级数 分析方法基本属于频域分析范畴 1 非正弦周期信号的分解 如图所示 当一个直流电源和一个正弦电源串联时 可以得到电路的总电动势为 当电路中接入一电阻R时 电流为 显然 电路中的电流并不是正弦量 根据数学中傅里叶级数理论 任何满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开成三角级数 如函数f t 可展开分解为 式中 或 傅里叶级数的系数 由上面得到的系数 可求出Akm及 k 如果一个电流量具有周期T 2 就可以根据傅里叶级数展开 分解得到由直流分量A0 基波A1msin t 1 二次谐波A2msin 2 t 2 等高次谐波分量组成 这样 我们可以根据已学过的理论对级数各项进行讨论 对直流量用直流电路理论 对正弦量用相量理论 我们已经有了比较完善的理论工具 求图示全波整流电压波形的傅里叶展开式 积分后为零 故可知 解 确定傅里叶级数的系数 系数 即 k为偶数 k为奇数 可得 k为偶数 由此 图示全波整流电压波形的傅里叶展开式为 矩形波电压的傅立叶展开式 锯齿波电压的傅立叶展开式 常见的几种非正弦周期电压的傅立叶展开式 三角波电压的傅立叶展开式 全波整流波电压的傅立叶展开式 不仅适用于正弦量 也适用于非正弦的周期量 1 平均值 2 非正弦周期信号的有效值和平均功率 2 有效值 电流有效值 其中 同理 非正弦周期电压的有效值为 3 平均功率 可见 非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各正弦谐波分量的平均功率之和 3 非正弦周期电流的线性电路的计算 电路如图所示 已知u为非正弦周期电压 或电流i 如何求解电路中各电流电压呢 解决这个问题的方法是借助于傅立里级数 因为非正弦周期电压可分解为下列形式 那么它的作用就和一个直流电压及一系列不同频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的情况一样 电路如图所示 图中 这样的电源接在线性电路中所引起的电流及电压 就可以用叠加定理来计算 即 式中 I0 0 非正弦周期电流的线性电路的解题步骤 将非正弦周期电源电压分解成傅立叶级数 看作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果 利用叠加原理计算电压的恒定分量和各次正弦谐波分量单独存在时所产生的电流分量 将所得的电流分量叠加起来 即为所需的结果 注意 感抗和容抗的变化 铁心线圈是一种非线性元件 因此加上正弦电压 后 其中电流 不是正弦量 试求等效正弦电流 平均功率为 正弦电压与等效正弦电流之间的相位差为 由公式可知 等效正弦电流的有效值为 解 全波整流电压波形如图示 它的傅立叶展开式为 其中 受其作用的电路如图 所示 其中L 5H C 32 F R 2k 求uR t 及其有效值UR 解 对直流分量来讲 L相当于短路 C相当于开路 所以 对二次谐波来说 对四次谐波 将上述结果叠加得 有效值 3 8三相交流电路 3 8 1三相交流电的产生与连接 1 三相电动势的产生 定子 电枢 放3个线圈 三线圈空间位置各差120o 转子 磁极 并以 的速度旋转 气隙磁场按正弦规律分布 三个线圈中便产生三个幅值相等 频率相同 相位互差120o的正弦电动势 三相对称电动势的表达式 2 三相电动势的表示 解析式 相量图 相量式 对称三相电源的特点 幅值相等 频率相同 相位互差120o eU t O 正弦曲线 相序 正弦量出现的先后次序 eV eW 相序的判定 三相交流电动势出现最大值的先后顺序称为三相电源的相序 U V W称为顺相序U W V称为逆相序 相序指示器 3 三相电源的连接 1 星形联结 相电压UP 相线对中性线的电压 线电压UL 相线间的电压 线电压和相电压的关系 线电压超前相电压30 UL与UP的相量图 或 线电压与相电压的关系式 在日常生活与工农业生产中 常用的电压模式 2 三角形联结 特点 线电压 相电压 无环流 星形 Y形 联结 3 8 2三相负载的连接 三角形 形 联结 三相负载连接原则 电源提供的电压 负载的额定电压 单相负载尽量均衡地分配到三相电源上 1 负载星形联结 负载对称 采用单相计算 中性线电流 去掉中线 采用三相三线制 负载不对称 有中线 采用各相单独计算 各相电压对称 中线电流 解 负载不对称无中性线的情况 求 负载上的电压和电流 已知 R 22 中性线的作用 解 用结点电压法 U相短路无中性线的情况 U相短路无中性线时 V相 W相负载为线电压 U相开路无中性线的情况 U相开路无中性线时 V相和W相串联接线电压 三相负载不对称星形联结 Y形联结 时 必须装设中性线 其作用是使三相负载的相电压对称 为了确保中性线在运行中不断开 其上不允许接熔断器也不允许接刀闸 中性线的作用 照明电路的一般画法 2 负载三角形联结 负载对称 采用单相计算 相电流 线电流 线电流滞后相电流30 线电流与相电流的关系 负载不对称 采用各相单独计算 相电流 线电流 已知 试求 电流 解 某对称三相负载 三角形联结 其线电流30A 今欲降压使用 改接为星形 问改接后的线电流等于多少 解 3 8 3三相负载的功率 1 有功功率 负载不对称 负载对称 单位 W kW 2 无功功率 负载不对称 负载对称 注意 代数和感抗取正号 容抗取负号 单位 Var kVar 3 视在功率 负载不对称 因为阻抗角不同 负载对称 单位 V A kV A 电源线电压220V 电流表读数17 3A 三相有功功率为4 5kW 试求 1 负载的电阻R和感抗 2 UV相断开时 电流与P 3 U相线断开时 电流与P 解 2 UV相断开时 3 U相线断开时 三相电路的小结 负载对称 形联结 负载不对称时 各相电压 电流单独计算 负载对称时 电压 电流对称 只需计算一相 Y形联结负载不对称必须装设中性线 负载对称Y形联结 3 9安全用电技术简介 1 安全用电常识 1 安全电流与安全电压 电击是指电流通过人体 使内部器官组织受到损伤 电伤是指在电弧作用下或熔丝熔断时 对人体外部的伤害 安全电压 36V 通常为24V和12V 人体电阻 下限为1 5 2k 上限为10 100k 安全电流 摆脱电流 10mA 美国5mA 东欧6mA 触电事故伤害性质可分为电击和电伤两种 当角质外层破坏时 则降到800 1000 50mA以上有生命危险 2 触电方式 单相触电 单相触电 两相触电 两相触电 双线触电 最危险 2 接地和接零 1 工作接地电力系统由于运行和安全的需要 常将中性点接地 这种接地方式称为工作接地 降低电气设备对地的绝缘水平 降低触电电压 迅速切断故障设备 工作接地 2 保护接地保护接地就是将电气设备的金属外壳 正常情况下是不带电的 接地 适用于中性点不接地的低压系统中 保护接地 3 保护接零保护接零就是将电气设备的金属外壳接到零线 或称中性线 上 宜用于中性点接地的低压系统中 保护接零 中性点接地的系统中不能采用保护接地 这对人体是极不