高级计量经济学时间序列分析.ppt

1 第九章时间序列分析 Timeseriesanalysis 2 本章内容 建立时间序列模型的价值随机时间序列的类型平稳时间序列的特性自回归与移动平均过程单位根检验一元时间序列模型多元时间序列模型格兰杰 Granger 因果关系检验时间序列之间的协整误差修正模型 3 时间序列数据 时间序列数据有严格的发生时间先后顺序 现实中大量统计数据为时间序列数据 例如 全国年度或季度GDP日批发市场价格利用时间序列数据建立模型时需要认识到 从性质上说 这种数据不再是从总体中随机抽取的一个样本 而是一个按逻辑顺序实际发生的随机过程 时间序列数据 时间序列数据可以用于多种形式的经济分析 单一因素的趋势描述两个或多个因素间的相关静态多元回归模型动态多元回归模型时间趋势模型一元时间序列分析模型 AR MA ARMA ARCH GARCH 多元时间序列分析模型 VAR EMC 时间序列模型的应用价值突出体现在动态经济分析上 早期应用主要是建立相对简单的预测模型近年来应用领域日益扩展 4 时间序列模型与回归模型的联系 时间序列模型指以因变量的滞后值作为基本解释变量的模型 考虑以下形式的宏观经济模型 结构式模型 将后两个方程代入第一个方程后得到以下的简化式模型简化式模型是一个时间序列模型 可以直接用于对Y进行预测 5 6 时间序列的变动趋势 由于多种原因 时间序列经济数据经常表现出明显的共同演变趋势或相类似的波动模式 典型情况有 我们不能仅仅根据两个序列具有相类似的趋势而断定其存在因果关系 这种共同趋势常常是由其他因素造成的 而不是因果性质的联系 利用时间序列数据建立模型常常出现 虚假回归 如果有关于其他影响因素的信息 我们可以用多元回归方法直接控制这些因素的影响 消除趋势的方法 如果缺乏关于其他影响因素的信息 此时可以采用对原始数据做消除趋势的处理 为此 我们可以将时间序列变化模式的构成成分分解为 趋势性因素 可以用时间趋势函数表示 季节性因素 可以用季节虚变量控制 周期性因素 可以用周期函数表示 无规则因素 假定为服从某种统计分布形式的随机误差 7 8 消除趋势的方法 每个序列对时间趋势变量做回归线性趋势 指数趋势 多项式趋势得到的残差项构成 消除趋势 后的时间序列 注意用不同方法消除趋势后得到的残差序列不同 数值 统计分布 在回归模型中加上某种时间趋势变量可以起到类似的作用 时间趋势变量的系数反映模型中未包括的多种趋势性因素的共同影响其他方法有差分 移动平均 滤波等技术 利用消除趋势的数据建立回归模型有一个优点 这涉及到对回归方程拟合优度的评价 利用时间序列做回归通常会得到非常高的R2 这是由于对趋势能够很好地做出解释 用消除趋势的变量做回归可以避免 虚假回归 从而更可靠地识别X对Y的解释能力 9 季节性 Seasonality 很多短频度的时间序列表现出某种稳定的周期性模式 如季度或月度数据 例 商品零售额常常呈现季节性变化农产品供给的季节性商品消费的季节性可以通过在模型中引入季节虚变量的方式来处理数据体现出的季节性 也可以在建立模型前对数据做处理 即获得调整季节性的时间序列 EVIEWS包括了做季节性调整的专用程序 X11 X12 10 随机时间序列的类型 平稳时间序列 stationarytimeseries 指均值 方差和自回归函数不随时间而变化的时间序列 非平稳时间序列 Nonstationarytimeseries 指均值 方差和自回归函数随时间而变化的时间序列 由上述定义可知 凡是具有上升或下降趋势的时间序列均为非稳定序列 均值随时间变化 因而我国的绝大多数经济数据为非稳定序列 11 平稳随机过程 StationaryStochasticProcess 任一时间序列y1 y2 yt均可以被认为是由一个联合概率分布函数p y1 y2 yt 所生成的某一特定结果 对该序列未来的一个观测yT 1可以被认为是由条件概率分布函数p yt 1 y1 y2 yt 所生成 平稳过程为随机变量的联合分布和条件分布均不随时间而变化的过程 12 平稳随机过程的性质 平稳性要求 对于任意的t k和m 均有 13 平稳过程的弱形式 方差平稳过程 Variancestationaryprocess 对于任意的t且当m 1时 若E yt 和Var yt 均为常数 Cov yt yt m 仅依赖m而与t无关 那么该序列表现为方差平稳过程 上述平稳性的弱形式仅仅要求均值和方差不随时间t而变化 方差仅仅取决于两个观察值之间的间隔m 弱依赖时间序列 Weaklydependenttimeseries 若随着m的增大 yt和yt m趋近于相互独立的分布 那么这样的序列为弱依赖时间序列 对于一个方差平稳过程 若当m 时Corr yt yt m 0 我们说此方差平稳过程是弱依赖的 14 具有趋势的时间序列 具有趋势的时间序列不可能是平稳的 这是由于其均值随时间而不断变化 具有趋势的时间序列可以是弱依赖性的 若时间序列是弱依赖性的 并且将其消除趋势后成为平稳序列 那么这种序列被称作趋势平稳过程 Trendstationary 15 不同类型的平稳性 趋势平稳过程序列由一个趋势函数和具有平稳性的误差组合而成 例如齐次随机过程 也称作I d 过程 经过d次差分后可以变为平稳过程的序列 differencestationary d为差分次数 一般而言 非平稳性序列可以通过差分方式转变为平稳序列 16 趋势平稳与差分平稳的区别 17 移动平均 MA 过程 一阶移动平均过程MA 1 可以表示为 yt et 1et 1 t 1 2 式中et为均值 0 方差 se2的独立同分布随机变量 iid 满足上述条件的序列yt是一个平稳和具有弱依赖性的序列从公式可以注意到 前后两期变量之间存在着相关 但间隔再长的变量之间则不存在相关 18 AR 1 过程 一阶自回归过程AR 1 可以表示为 yt ryt 1 et t 1 2 式中et为均值为0 方差为se2的独立同分布随机变量 AR 1 满足弱依赖性的条件是 r 1此时有 Corr yt yt m Cov yt yt m sysy rm随着m的增大 相关系数下降 19 例 随机游走过程 Randomwalk 简单随机游走过程可以表示为 yt yt 1 et误差项et为独立同分布变量 均值为0 此类序列的均值不变 因而预测值也不变 即 但预测值的方差随时间延长而趋于增大 随机游走是一种AR 1 过程 此时r1 1 这意味着 序列不是弱依赖性的序列是高度持续的 persistent 因为对于所有的m 1 都有E yt m yt yt 20 例 随机游走过程 Randomwalk 随机游走是一种存在单位根过程的特殊情况 需要注意的是 趋势和持续有不同的含义 序列可以有趋势 但同时是弱依赖的 序列也可以是无趋势但高度持续 具有位移特性的随机游走是有趋势并且高度持续的序列的一个例子 yt a yt 1 et t 1 2 21 虚假回归 Spuriousregression 考虑以下情况 yt 0 1xt et式中et 1et 1 vt当 1 1 1时 序列为I 0 当 1 1时 序列为I 1 利用I 1 变量建立回归模型会出现虚假回归问题 即当真实的 1 0时 1的估计值也将非常显著 即通常的t统计检验产生误导作用一些学者基于蒙特卡罗法模拟结果提出建议 进行统计检验时应对得到的t统计值做以下标准化处理 虚假回归 Spuriousregression 在实践中 有相当多的经济数据为I 1 序列 因而正确区分真实因果关系和虚假回归有重要意义 在忽略了序列相关的条件下 用水平变量的时间序列估计线性回归模型非常容易产生错误的结果 一般而言 若时间序列Y和X之间不存在因果关系 用水平变量估计模型得到具有统计显著性的结果只是由于其均为I 1 序列 那么用一阶差分变量做回归时这种统计显著性会消失 反之若Y和X之间有真实的因果关系 那么用一阶差分变量做回归仍会保留这种统计显著性 22 23 整合过程 IntegratedProcess 许多非平稳时间序列可以通过一阶或高阶差分转变为平稳时间序列 这种时间序列被称作d阶整合时间序列 用I d 来表示 变换持续序列为了由高度持续序列得到有意义的模型并利用其做出正确推断 我们需要将这种序列变换为弱依赖过程序列 这里所说的弱依赖过程为零阶整合序列I 0 随机游走过程是一个一阶整合序列I 1 对其做差分后的序列为零阶整合序列 24 差分 Differencing Yt表示一阶差分 即 Yt Yt Yt 1 Yt反映时间t与t 1之间Y的变化 若Y是取对数的变量 那么 Yt反映增长率变化 差分后的序列通常表现出 没有明显的时间趋势呈现剧烈波动 25 自相关 Autocorrelation 一般而言 经济数据序列 Y 通常是非平稳序列 而其一阶差分 Y 则是平稳序列 Y的当前值与滞后值之间的相关程度较高 但 Y的当前值与滞后值的相关程度较低 这一性质意味着 我们可以利用过去已知的Y来推断今后未知的Y 但知道过去的 Y则无助于推测今后的 Y 这种情况被表述为 Y能够记忆过去 但 Y则不能 这是利用时间序列模型做预测的基础 26 自相关函数 AutocorrelationFunction 通过估计序列的自相关 AC 函数 可以了解时间序列的特征 时间趋势平稳性自相关函数是时间序列的当前值与过去值之间的相关系数 令 p Corr Yt Yt p 可以注意到 p的值是滞后期数p的函数 27 自相关函数 AC的理论公式为 EVIEWS的计算公式为 28 偏自相关函数 PartialAutocorrelationFunction 偏自相关函数也反映出时间序列的特征 滞后k期的偏自相关系数 PACk 是yt对包括常数项 yt 1 yt k做回归时得到的yt k的系数 PACk反映在将早期滞后对yt的影响控制不变的条件下 序列的当前值与其第k期滞后值之间的相关 如果自相关表现为小于k期的模式 那么PACk的值应接近于0 29 AC和PAC的用途 可以根据AC的值等于0发生的时间j来选择MA q 模型 j q 可以根据PAC的值等于0发生的时间j来选择AR p 模型 j p 非平稳时间序列 多数现实中的经济数据为非平稳时间序列直接使用非平稳时间序列数据估计模型会出现虚假回归问题因而在利用时间序列数据建立模型前有必要对数据的性质进行检验单位根检验 unitroottest 是一种常用的方法如果时间序列具有一个单位根 那么通过做一阶差分通常可以将其转变为平稳序列 30 单位根检验 在实际工作中常遇到的非平稳序列有三种形式 相应的数据生成过程均可以表示为 即具有单位根的方程 对三种形式需要用不同的方法转变为平稳序列 由于事先并不清楚序列实际属于何种情况 选择错误的处理方式不一定解决问题 这要求采用具有一般性的方法 31 单位根检验 将三种情况组合在一起有 引入人工添加的系数 并对方程两边做差分得到 依据该式可以对时间序列的单位根做多种形式的检验 1时 序列为带位移的随机游走 宜采用差分方式处理 1时 序列含有趋势 宜采用消除趋势的处理 32 单位根检验 考虑AR 1 过程yt a ryt 1 et虚假设 H0 r 1 假定存在一个单位根 定义 r 1 从方程两边减去yt 1得到Dyt a yt 1 et由于所涉及的时间序列是一个I 1 过程 直接用与 对应的t统计值做检验是不合适的 此时报告的t统计值是正确的 但相应的概率p是错误的 Dickey Fuller检验利用估计上述方程得到的 的t统计值 但使用不同的临界值 EVIEWS分别报告显著性水平为1 5 和10 时的临界值 33 单位根检验 可以增加Dyt的p期滞后 以反映更复杂的动态过程 此时涉及到AR p 模型 类似AR 1 模型 我们不能直接利用估计AR p 模型得到的 的t统计值来判断是否应接受 0 此时应采用ADF检验 augmentedDickey Fullertest 其使用的临界值同一期滞后的情况 当t值大于临界值时 拒绝有单位根的虚假设 使用滞后项的目的是清除任何可能的序列相关 因而若滞后期过短 检验结果可能不正确 借助于AIC等信息标准和对模型误差项的统计检验确定滞后期 34 检验有趋势的单位根 如果一个序列表现出明显的趋势 那么我们需要调整序列 否则会错误地将趋势平稳序列当作有单位根的序列 这种调整可以通过在模型中增加一个时间趋势变量来实现 此时的单位根检验仍利用估计参数 的t统计值 但Dickey Fuller检验的临界值发生变化 35 时间序列分析 TimeSeriesAnalysis 一些研究 如Nelson 1972 Ashley 1987 发现 简单的时间序列模型常常能够比复杂的联立方程组模型更好地预测宏观经济发展 时间序列模型在上世纪80年代后期得到快速发展 从方法学角度看 时间序列分析主要基于统计学 而不是经济学 时间序列模型更适用于做短期预测 即统计序列过去的演变模式尚未发生根本变化的期间 长期预测更应该建立在经济行为基础之上 在学位论文研究中是否适合使用此方法 36 时间序列分析模型 时间序列模型可以分为 一元时间序列模型 Univariatetimeseriesmodels 仅分析一个时间序列自身的演变模式不涉及任何因果关系多元时间序列模型 Multivariatetimeseriesmodels 分析多个时间序列共同的演变模式这种共同的演变过程可以具有因果含义 37 一元时间序列模型 一元时间序列模型是利用单一时间序列的历史值和当前及过去的随机误差项对该变量自身变化前景进行预测的方法 式中e为独立同分布随机变量 假定其均值为0 方差为 2 在应用工作中 习惯上假定e服从正态分布 38 AR MA和ARMA模型 一元时间序列分析常用的方法自回归模型 AR 反映经济变量的当前值与其过去值的关系移动平均模型 MA 反映经济变量当前值与当前及过去误差项的关系两者结合的模型 ARMA 习惯上用AR p MA q 或ARMA p q 来表示对应的滞后时期 39 Box Jenkins方法 模型识别首先对时间序列做消除趋势的处理 观察样本数据的AC函数和PAC函数 在此基础上就滞后期数做出判断 用线性或非线性最小二乘法估计模型 借助于各种信息标准 Akaike Schwarz 和统计检验指标 t F Wald 来支持所做的选择 检验残差项是否符合随机性要求 在获得满意的模型后可以将其用于对该序列做 短期 预测 40 AIC和Schwarz信息标准 常用的两种信息标准为 Akaike信息标准Schwarz信息标准式中T为样本容量 K为解释变量个数 两个指标均为越小越好 41 AR p 模型 AR p 模型的一般表达形式为 AR p 模型的性质与AR 1 模型相类似 另一种表达方式是用差分形式 差分形式可以减少多重共线性如果一个时间序列有一个单位根 那么在回归模型中可以仅包括 Y 42 有确定性时间趋势的AR 1 模型 有确定性时间趋势的AR 1 模型形式为 等号右侧第三项反映确定性时间趋势有单位根的序列则体现了一个 随机时间趋势 即使 的绝对值小于1 即平稳序列 含有确定性时间趋势的序列仍表现出类似于有单位根的序列的变动模式 43 有确定性时间趋势的AR p 模型 对有确定性时间趋势的AR p 模型做分析时常采用以下的差分形式 这样做的理由是 很容易检验此模型是否存在单位根 当 0时存在单位根 降低多重共线 44 AR模型OLS估计量的性质 考虑以下的AR模型AR 1 模型AR P 模型AR模型等号右边总是有一个或多个滞后的因变量 此时利用OLS方法估计的参数不具有BLUE性质 但仍具有一致性 渐近无偏 45 选择AR模型的滞后期 如何选择AR模型的滞后期可以根据PAC j 0发生的时间j选择AR p 模型 j p 对于有确定性时间趋势的AR p 模型 确定其滞后期数可以按以下思路 利用常规检验方法 确定是否该包括时间趋势变量 由AR p 模型开始 看最后一期滞后的系数 p是否具有统计显著性 如果不显著 则估计AR p 1 模型 看 p 1是否具有统计显著性 按此方法逐步进行排除 直到最后一项滞后的系数具有显著性时为止 46 利用AR模型做预测 以AR 2 模型为例做t 1期的预测时要利用当期和前1期的观察值 Yt和Yt 1 利用估计得到的AR 2 模型系数可以做滚动预测 即利用已经得到的预测值继续往前推 从技术上说 此类模型可以对未来无限个时期的Y值进行预测 然而应该认识到 未来的经济运行模式很可能不同于历史上出现过的模式 因而预测偏差会随着时间推移而增大 因而在应用工作中 此类模型多用于短期预测 可以不断利用新获得的数据来更新模型 47 MA q 模型 一般形式的MA q 模型可以表示为通常假定 0 1 且et为独立同分布随机变量 当MA过程为yt et 1et 1时 利用OLS方法做估计是求下式的最小值 可以用AC值等于0发生的时间j来选择MA q 模型的滞后期 j q 48 自回归移动平均模型 ARMR 以ARMA 1 2 模型为例一个ARMA 1 2 模型有一期自回归滞后和两期移动平均滞后 其表达形式如 yt 1yt 1 et b1et 1 b2et 2 49 ARIMA模型 考虑ARIMA p d q 模型一个ARIMA p d q 模型代表一个I d 变量经过d次差分后所做的AR p 和MA q 模型 ARIMA模型的滞后期选择通过观察AC和PAC函数确定 一般而言 如果AC函数以几何速率下降 PAC函数在一期以后接近0 那么应选择AR 1 如果AC函数在一期以后接近0 而PAC函数以几何速率下降 那么应选择MA 1 50 多元时间序列模型 Multivariatetimeseriesmodels 多元时间序列分析用于建立经济变量的当前值与以下因素的关系 该经济变量过去的值其他经济变量当前和过去的值当前和过去的误差项一般形式 VARMA模型 Xt为一个向量 Xt X1t Xgt Xt F1Xt 1 FpXt p ut Q1ut 1 Qput qVARMA为参数非线性模型 51 向量自回归模型 VectorAutoregressive 最简单的VARMA模型形式是向量自回归模型 VAR 即不存在误差移动平均的情况Xt F1Xt 1 FpXt p utVAR模型适合于分析两个或更多个相互联系的时间序列之间的动态关系 其特点有 模型中所有变量均视为内生变量 从统计角度说 VAR模型将所有变量均看作是来自于一个联合分布 跨越时间 不存在因果意义上的同时决定 52 向量自回归模型 VectorAutoregressive 利用时间序列数据建立的结构模型需要以经济学理论为基础 很多时候经济学理论不足以指出变量之间的动态关系 估计模型及做外推时 可能遇到内生解释变量问题 VAR回避了结构模型设定 其方法是将系统中所有内生变量看作是由系统中所有内生变量的滞后项所决定的 模型中可以包括外生变量 VAR模型主要用于对高度相关的时间序列做预测 或分析随机干扰对系统中所有变量相互间的动态影响 VAR模型 受某些未包括在模型中的因素的影响 例如政府采取的政策措施或国际范围的影响 VAR模型中各方程的误差项可能出现相关 VAR模型中的解释变量为内生变量的滞后项 因而不存在联立性问题 可以用OLS方法得到具有一致性的估计结果 由于VAR模型中各方程的解释变量均相同 因而用OLS法对整个系统做估计与对单个方程分别做估计得到的系数完全相同 54 VAR模型 设定VAR模型使用与设定AR模型采用相似的步骤借助于AIC和SIC信息标准确定滞后期数考虑最简单的VAR 1 模型 假定只有两个变量 g 2 模型结构式可以表达为 X1t 1 1X2t 11X1t 1 12X2t 1 v1tX2t 2 2X1t 21X1t 1 22X2t 1 v2t误差项满足假定 不存在自身的序列相关 不存在与解释变量的相关 方程间同期误差项可以出现相关 相应的模型简化式为 X1t 1 11X1t 1 12X2t 1 u1tX2t 2 21X1t 1 22X2t 1 u2t 55 脉冲反应分析 ImpulseResponseAnalysis 脉冲反应分析反映当VAR结构式模型中误差项 Innovation 变动一个标准差时对当前和未来因变量的影响 某个方程的误差项变动首先直接影响该方程的因变量 然后通过VAR体现的动态结构 影响到所有的内生变量 EVIEWS用图形方式给出每个Innovation对所有内生变量的影响 56 有关VAR模型的一些问题 如何解释得到的参数 通常的做法是利用脉冲反应分析结果解释使用VAR模型时 人们关注的是结构式模型 而不是简化式模型中冲击造成的动态效果 即关注的是 Xi t s vjt而不是 Xi t s ujt 57 对VAR模型的批评意见 VAR是一种很好的 短期 预测模型 但并没有严谨的经济学理论基础 结果对以下因素的选择非常敏感 包括哪些变量滞后期的长短估计参数的维数问题 当变量增加或滞后期延长时 需要估计的参数迅速增加 58 格兰杰因果关系检验 对于VAR p 模型Xt 1Xt 1 pXt 1 1Yt 1 pYt p ut检验Y是否为X的格兰杰原因H0 1 p 0格兰杰因果关系 在模型中存在X过去值的条件下 如果Y的过去值无助于推断Xt 那么我们说Y并不是X的格兰杰原因 同样地可以检验X是否是Y的格兰杰原因 需要注意的是 格兰杰因果关系仅仅基于信息传递标准 因而不同于逻辑因果关系 59 格兰杰因果关系检验 考虑VAR 1 模型Xt 1 1Xt 1 1Yt 1 u1tYt 2 2Xt 1 2Yt 1 u2t单方向因果关系如果 1 0但 2 0 那么因果方向为Y X 如果 1 0但 2 0 那么因果方向为X Y 双向因果关系如果 1 0和 2 0 那么因果关系为双向的 相互独立关系如果 1 0和 2 0 那么X和Y相互独立 60 格兰杰因果关系检验 外生性 Exogeneity 与非因果关系 Non causality 人们常用格兰杰因果检验来考察模型中的解释变量是否是外生的 这是一种错误的做法 外生性意味着非因果关系 但非因果关系并不一定意味着外生性 61 协整 Cointegration 协整检验方法是由Engel和Granger最早提出的 这一方法已经在经济学研究中得到广泛应用 区域市场之间的整合 价格是否能够有效地传递 期货与现货市场之间的整合 期货价格是否能够很好地预测现货价格 股票市场 外汇市场关于协整的定义 若向量Xt X1t X2t Xkt 中所有序列都是d阶单整 且存在一个向量 1 2 k 使得线性组合 X 1X1 2X2 kXk成为 d b 阶单整 则向量X是d b阶协整 记为X CI d b 向量 称为协整向量 62 协整 协整只涉及非平稳变量的线性组合 协整只涉及阶数相同的单整变量 同阶单整变量之间不一定存在协整同阶单整变量之间的协整可能涉及两个以上序列如果X中有n个非平稳序列 则有n 1个线性独立的协整向量 大多数关于协整的研究针对的是一阶单整变量 现实经济数据多数亦为一阶单整 63 两个或多个时间序列间的协整 考虑以下的二元时间序列模型 如果Yt和Xt均为非平稳的I 1 序列 那么误差项et很可能也为I 1 序列 但可能出现Yt和Xt为I 1 序列而误差项et为I 0 序列的情况 此时说Yt和Xt之间存在着协整关系 协整关系被解释为 X和Y之间存在某种长期性均衡 两者之间有某种长期性稳定关系 两者间偶然的偏离会自动趋于收敛 因而任何对均衡状态的偏离均是短暂的 从图形上看 存在协整关系的变量具有相似的动态变化模式 64 非协整 若Xt和Yt是非协整的 那么有 Zt Yt Xt I 1 令DZt ut此时有Yt Xt Yo Xo tuj这意味着 若最初时两者偏离均衡 那么这种偏离会随着t的延伸而不断增大 65 协整检验 Cointegrationtest 当b已知时 很容易检验两者之间是否存在协整 定义Zt yt bxt 然后对Z做DF检验如果检验结果拒绝存在单位根的虚假设 那么两个序列存在协整关系 如果b是未知的 那么需要先对其做出估计 得到b的估计后 做D t对 t 1的回归 然后将 t 1项系数的t统计值与DF检验临界值做比较 如果存在着某种趋势 那么估计b时需要在方程中增加一个趋势变量 并在比较 t 1的t统计值时使用不同的临界值 66 协整检验 基于残差的检验检验残差序列是否存在单元根利用ADF检验或PP检验是否存在结构转变基于特征值 eigenvalues 的检验Johansen检验 67 Johansen检验 虚假设 H0 存在r or0 个协整Ha 存在r m or1 个协整检验值式中 i为残差矩阵的特征值通过查临