二元函数极值判别(数学专业本科毕业论文定稿).doc

. . *大学毕 业 论 文 题目： 二元函数极值存在的判别法 学 院 * 学 院 专业班级 *专业*级*班 届 次 2012届 学生姓名 * * * 学 号 * 指导教师 * 教授 二O一二 年 六月 十 四 日装订线. . . 目录前言11二元函数极值的概念及传统判别法31.1 二元函数极值的概念31.2 二元函数极值的一阶判别法31.3二元函数极值的二阶判别法42 利用低阶偏导数判别二元函数极值的几个结论83 二元函数极值的高阶判别法123.1利用三阶偏导数判别二元函数极值123.2利用2n+1阶偏导数判别二元函数极值143.3利用四阶偏导数判别二元函数极值164 条件极值19结论21参考文献22CONTENTSPreface11 The concept of the binary function extremum and traditional discriminant method31.1 The concept of the binary function31.2 First-order discriminant of the binary functions extremum31.3 Second-order discriminant of the binary functions extremum42 Several conclusions of using low-order discriminant to distinguish the binary functio-ns extremum83 Higher order discriminant of the binary functions extremum123.1 Using third-order partial derivative to distinguish the binary functions extremum123.2 Using (2n+1) th-order partial derivative to distinguish the binary functions extremum143.3 Using fourth-order partial derivative to distinguish the binary functions extremum164 Conditional extremum19Ending21References22二元函数极值存在的判别法专 业Speciality信息与计算科学Information and Computing Science学 生Undergraduate*指导教师Supervisor* 教授Professor *摘要：极值是函数形态的重要特征，是微积分学的成功运用.对二元函数极值问题的研究，不仅有着重要的经济和社会效益，而且对于解决多元函数极值问题，也有着重要的理论指导意义.现行教材对二元函数极值问题的论述，仅限于一阶、二阶判别法，在解决实际问题的过程中存在一定的局限性.本文先理清二元函数极值的一些基本概念，论述了二元函数的一阶、二阶判别法，指出现行一些教材在二阶判别法证明过程中存在的问题.然后，给出了一些利用一阶、二阶导数判别二元函数极值的新方法.接着，给出了二元函数极值的高阶判别法，并用一些例子说明这些判别法的适用范围.最后，简单总结了二元函数条件极值问题的解决方法.关键词：二元函数；极值；高阶判别法；条件极值Abstract: Extremal function forms an important feature of the successful application of calculus. Extremal problem of the binary function, not only has important economic and social benefits, but also has important theoretical significance in solving the problem of extreme value of function,. The current textbook discussing the extreme problem of the binary function is limited to the first order, second-order discriminant, there are some limitations in the process of solving practical problems.This article first clarify some basic concepts of the extreme value of the binary function, then discusses the dual function of the first-order, second-order discrimination law, the problems in the process of law to prove that existing materials in the second-order discriminant. Then, given some of the first order, the second derivative to distinguish the new method of binary function extremum. Then, given a binary function extreme discrimination in higher order discrimination law, and some examples of these discriminant boundaries of the law. Finally, a brief summary of the dual function of conditional extremum problem-solving approach.Key words: binary function; extreme value; higher order discriminant; conditional extreme value23*大学学士论文前言1.研究意义任何现象都体现着质与量的辩证统一.要研究现象的本质，必须进行严格的定性分析与定量分析.定量分析离开数学就无法进行.数学的应用贯穿到人类文明的发展进程中.从古代的结绳记数、丈量土地，到如今的存款利率、国民收入等诸多方面.今日，数学的发展水平及其在社会经济中的应用程度，已经是一个国家综合实力的重要指标.数学应用的一个重要方面便是极值问题.极植，本意是指稀有的、极端的、偏激的，或在人们经验范围内很少出现或发生的事件.极值问题是一个古老的数学命题.微积分创立之后，极值作为函数性态的重要特征，也得到了充分而系统的研究.上个世纪初期，统计学家们在对独立同分布随机变量最大值的渐近分布进行研究时提出了极值理论.近年来，诸如恐怖事件、金融风暴、特大自然灾害之类的事件频频发生，极值问题的研究得到了进一步的关注.在社会生产的各个领域，函数极值有着广泛的应用.我们仅选取经济学领域两个具有代表性的方面进行说明：（1） 消费者均衡问题消费是一切经济活动的目的，而生产只是实现目的的手段，人之所以进行再生产，是为了满足自身的各种消费需要.在现实的经济活动中，消费者的货币收入总是有限的，如果一个理性的消费者在他有限的货币收入购买各种商品时，不仅满足了自己的各种需要，且是各种商品的效用总和达到最大化，他就实现了消费者均衡.所谓效用，是指商品或劳务满足消费者的需要或欲望的能力.而消费者均衡是指在一定收入和一定价格条件下，购买各种商品的一定数量的消费者所能获得的总效用达到最大值的状态，它反映出一个有理性的消费者所取得合理的购买行为.通过建立函数，研究函数的极值，结合实际问题背景，我们便可以给出消费者均衡的条件，从而实现效用的最大化.（2） 最优化问题. 微观经济分析中，一般假定厂商把利润最大化作为唯一的追求目标.但是，也有一些经济学家认为，厂商往往除了追求利润最大外，还会追求其他经济目标和社会目标，例如追求营业额最高，通过捐助社会公益事业提高声誉等.但也有观点认为，厂商的这些行为的最终目的还是追求利润最大化，只不过把利润最大作为长期目标追求而已.在经济管理中，常常要寻求经济函数在一定范围内的最大值、最小值，而利润最大化是企业决策的最终目的，选择利润最大的产出水平是数学在经济领域中最显著的作用.同样的，最优化问题最终也化为函数极值问题.对于一元函数极值问题研究，已经有相对完善的结论.而二元函数与多元函数的极值判别理论，还有待进一步补充与系统化总结.二元函数极值判别的研究，可以对多元函数极值判别提供思路.因此，对二元函数极值判别的研究，有着重要的理论与现实意义.2.研究现状关于二元函数极值判别，有两个众所周知的结论.结论一是利用一阶偏导数给出二元函数极值存在的一个必要条件，结论二是利用二阶偏导数给出二元函数极值存在的一个充分条件.利用结论一，我们可以通过计算函数在某个点一阶偏导数的值来判别某个点不是二元函数的极值点，我们称之为一阶判别法；利用结论二，我们可以在特定条件下求得函数的极值点，我们称之为二阶判别法.然而，当函数在某个点的一阶、二阶偏导数均为0时，一阶、二阶判别法均失效.文献1中已经指出，这种情况下应该研究更高阶的偏导数.然而，国内现行教材对此缺乏相关论述，各类文献对这个问题的研究也是分散的、不系统的.因此，有必要对高阶判别方法进行一下总结.3.本文结构本文重点讨论了一般极值.首先我们对二元函数极值的概念和一阶、二阶判别法进行了重新论述.对于二阶判别法的证明，采用了菲赫金哥尔茨的微积分学教程中的证明.证明过程中没有涉及到黑塞矩阵的概念而是运用了基础数学方法，更为直观.然后，我们给出利用低阶偏导数判别二元函数极值的几个结论.这些结论在特定条件下可以弥补传统方法的不足.接着，我们给出了二元函数极值的高阶判别法，即三阶、阶以及四阶判别法.通过引入代数方程理论的两个引理，运用泰勒公式进行了证明，并用几个例子来说明高阶判别法的适用情况.而对于条件极值，我们先举出两个例子进行说明，然后总结了其一般解决方法，即利用拉格朗日乘数法化为一般极值问题进行解决.1二元函数极值的概念及传统判别法1.1 二元函数极值的概念定义 设函数在点的某邻域内有定义.若对于任何点,成立不等式（或）,则称函数在点取得极大（或极小）值，点 称为极大（或极小）值点；极大值、极小值统称极值.极大值点、极小值点统称极值点. 有个观念值得澄清：一元函数极大极小值总是交替地出现，二元函数谈不上交替，甚至只有一种极值.1.2 二元函数极值的一阶判别法定理1.1 若函数在点存在偏导数,且在取得极值,则有 . （1.1）证明 由二元函数极值定义可知，固定，在处取得极值；固定 ，则在处取得极值.由一元函数取得极值的条件即得，定理证毕.换句话说，如果在某一点存在偏导数但不是稳定点，则该点必取不到极值.我们将此结论称为二元函数极值的一阶判别法.需要说明的是,二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值,如函数在原点无偏导数,但在原点取得极小值.1. 3二元函数极值的二阶判别法定理1.2 若函数在点某邻域存在二阶连续偏导数,且点为函数的稳定点,记 ,则（1），时,在取极大值；（2），时,在取极小值；（3）时,在不取极值.证明 记 将按照具有拉格朗日型余项的泰勒公式展开到第二项,结合稳定点条件有(1.2)令，由二阶偏导数的连续性,有，时，、均趋于0.令 ,其中 ,于是有(1.3)(1)时这时,故，(1.3)式括号中前三项可表示为 (1.4)显然(1.4)式恒不为零,且与A同号.其绝对值为内的的连续函数，有最小值.另一方面,时,由于、均趋于0，则对一切都有， (1.5)只要充分小.因此：时,函数取极小值；时,函数取极小值.(2)时(i)若，仍可利用(1.4)的变换.时,内表达式变为,故为正.反之，若由条件 ()确定，则内将变成，故为负. 充分小时，(1.3)式括号中后三项，不论在或时都可成为任意小，故的符号即由前三项的符号决定. 这样，在被考察的点的任意近处，在由角度及确定的射线上，有异号的值.因此，在这点，函数不可能有极值.(ii)若，(1.3)式括号中前三项就变成此时必有,故可这样来确定使，于是，当及时，上面的三项式就有相反的符号，讨论可同上面一样完成. 所以，时，在取极值，有极大值，有极小值；时，在取不到极值，定理证毕.定理1.2给出了二元函数极值存在的一个充分条件，运用二阶偏导数来判别二元函数极值，我们将其称为二元函数极值的二阶判别法.以上这段证明参考自菲赫金哥尔茨的微积分学教程，利用初等方法证明，较国内一些教材(如华东师范的数学分析)运用黑塞矩阵的正定性和负定性来证明的方式更为直观. 然而，国内现行的某些教材对于定理1.2的证明存在漏洞,其过程大致如下：在内任取一点，则有 (1.6)上式第二个括号中的式子是较高阶的无穷小，从而断言(1.6)式的符号由第一个括号中的式子决定. 这个断言是不全面的.事实上，只有时，这一结论才成立.时则不尽然.下面给出一个例子来说明这个问题.例1.1 函数有稳定点，且,而，当沿趋于原点时，有.显然，当充分小时，其符号由第二项决定.二阶判别法在二元函数极值判别问题中被广泛运用.众所周知的吉米多维奇习题解中的绝大多数二元函数极值判别问题都是运用该方法解决.在此选出两个具有代表性的例子.判别下面二元函数的极值：例1.2 解 解方程组得稳定点，由于，故极值不存在.下面看一个较为复杂的例子例1.3 .解 解方程组解得稳定点及.在处，,.于是,故在取得极大值 .同法可得函数在点取得极小值.我们有必要对运用一阶、二阶判别法解决二元函数极值的方法进行如下总结：（1）求可疑点.可疑点包括 （i）稳定点;（ii）使至少某一阶偏导数不存在的点.（2）对可疑点进行判断:基本方法是:(i)用定义判断;(ii)根据实际背景进行判断；(iii)利用二阶偏导数：如定理1.2中记号，时,在取极大值；，时,在取极小值；时,在不取极值.2 利用低阶偏导数判别二元函数极值的几个结论定理2.1 设二元函数在点的邻域:内有连续偏导数,是该邻域内任意一点.(1)如果 ,则在取极大值.(2)如果 ,则在取极小值.证明 引入函数 , () (2.1) 则,且在内连续, 在内可微.由拉格朗日中值定理, 使得即 (2.2) 其中,由于，故有即 .又由于,代入(2.2)得如果对任意,则有, 故在取极大值.而当时 (),故故在取极小值，定理证毕.例2.1求的极值.解由，得稳定点.对, 由于,所以在取得极大值.定理2.1所使用的二元函数极值的一阶偏导数判别法比二阶判别法使用起来更方便、更简捷, 而且条件要弱一些, 因此能用此一阶偏导数判别法判别的, 未必能用二阶偏导数判别法判别,例2.1便是如此.定理2.2 设存在，函数在区域内连续.假定除的有限个值外，函数的导数当时均存在.那么(1) 若时，而当时，则为极小值；(2) 若时，而当时，则为极大值.证明 (1)对于中不落在直线上的任一点(),必存在，使，于是 而在以为端点的闭区间上连续，在相应的开区间上可导，由中值定理有 ，在与之间，所以当时，于是，从而，在与之间，所以当时，,于是，从而，而当时，于是，此时亦有. 在内若有点使，则由的连续性知，当充分小时()有，这就和前已证明的矛盾.同样可知，不存在点使，综上所述知，对于内的一切点恒有，所以是极小值.同理可证(2) ，定理证毕.类似定理2.2，还有如下定理定理 设存在，函数在区域内连续.假定除的有限个值外，函数的导数当时均存在.那么(1)若时，而当时，则为极小值；(2)若时，而当时，则为极大值.例2.2 易知(1,-2)为函数稳定点,这里 当时，而当时，由定理2知在取得极小值.定理2.3 设存在，函数在点的邻域内连续.假定除、的有限对值、外，函数的导数当时均存在（在的表达式中，参变量、是二维单位矢量的分量，并且）,那么 若(),则为极大值； 若(),则为极小值； 注意到对于点的邻域中的任一点，必存在二维单位矢量，使，()，再重复定理2.2的证明方法即可证明定理2.3.例2.3 现考察点，这里注意到为二维单位矢量，因此只要则当时，由定理3知是极小值. 定理2.3相比定理1.2有更广的适用范围，即若用定理1.2可以判定的函数的极值点，用定理2.3亦可判定；但反过来，能用定理2.3、定理2.2或2.2判定出的极值点则不一定能用定理1.2判定.关于这个问题的详细讨论请参考文献7.3 二元函数极值的高阶判别法3.1利用三阶偏导数判别二元函数极值前面我们已经提到，一阶、二阶判别法存在着局限性.下面我们将讨论当函数在点的一 、二阶偏导数全为0的情况.此时一阶、二阶判别法均失效.那么该如何判别在的极值.文献1中已经指出，这种情况下应该借助于高阶偏导数.接下来我们建立二元函数的三阶判别法.定理3.1 设在点某邻域内有三阶连续偏导数，且在点一、二阶偏导数全为0.如果是极值，则在点三阶偏导数必全为0.证明：由泰勒公式及所给条件有其中，.于是对充分小的，只要，就有与同号.因为(1) 若,取,则因为，当时，则；当时，.从而的符号是不确定的.即当时,在点不取极值.(2) 当时,取,则同理可得,此时在点不取极值.(3) 当且，若，此时 取充分小，使得，则的符号由决定，从而取正值或负值时，导致的符号在附近是不确定的，即当，时，在点不取极值. 同理，当，时，在点不取极值. 综上所述，若在点三阶偏导数不全为0，则在点不取极值，定理证毕.例3.1 讨论在(0,0)点是否有极值.容易算得在点一、二阶偏导数全为0，此时利用传统方法无法判断.但由于，故由定理1推论立得非极值.3. 2利用阶偏导数判别二元函数极值 现在我们有了二元函数的一阶、三阶判别法，在此基础上我们建立二元函数的阶判别法.首先，我们引入一个引理.引理 3.1 设2n+1次齐次函数(),其中(i=0,1,2,2n+1)不全为0，则在(0,0)点的任何邻域内恒变号(确切地说,在过原点的直线束中,除至多2n+1条直线外函数在任意直线y=x上原点两侧异号). 引理3.1 的证明涉及到代数方程理论，在此略去.定理 3.2 (阶判别法) 设在点某邻域内有阶连续偏导数，且在点阶（）偏导数全为0.如果在点阶偏导数中有一个不为0，则非极值.证明 由定理条件及二元泰勒公式,(3.1)记,由2n阶偏导数的连续性，可令 其中，时， () 代入(3.1)得 显然当并保持不为0时，是比高阶的无穷小.现在假设不全为0，则由引理3.1可知，可取得直线，当限制在其上时，在原点两侧恒不为0且异号.而此时点相应限制在直线上.由于,()故当充分小时，由(3)式知与同号,也就是在充分小的邻域内,在直线上两侧异号,故推得非极值,定理得证.阶判别法是理想的,使用也方便.事实上，三阶判别法可以看做阶判别法的一个特例.3.3利用四阶偏导数判别二元函数极值 下面我们将建立二元函数的四阶判别法. 为建立定理3.3，记 ,.作下列方程: (3.2)然后，我们引入一个引理.引理3.2 设二元齐次函数，由下列方程任取一实根,使，记 ()则有下列结论：(i) 若，在点任何空心邻域内恒不变号，且当(或)时，恒正；当(或)时，恒负；(ii) 若，中有一个，在点任何邻域内变号（确切地说，总存在过原点的相异直线和，使在上的值与上的值除原点外异号）；(iii) 若或其中一个负一个0，则除在过原点的一条或两条直线上为0外，在其余任何过原点的直线上（除原点外）保持同一符号.同样地，我们略去该引理的证明.定理3.3 （四阶判别法） 设在点某邻域内有四阶连续偏导数，在点()阶偏导数全为0，(是由(3.2)任取的一个实根).记则 (i)若，是极值.且当（或）时,是极小值；当（或）时，是极大值；(ii)若，中有一个，非极值；(iii)若或其中一个负一个0，则是否为极值无法判断.证明：由定理条件及二元泰勒公式有 = =, 即 = (3.3)其中当时，同样当并保持不为0时，.由定理2知(i) 若，对一切不变号，要么恒正，要么恒负.由(4)式在点充分小邻域内,与同号,而由引理2,又与(或)同号.故当(或)时，是极小值;当(或)时，是极大值.(ii) 若，中有一个，由引理3.2可使在过原点的两条相异直线，上除原点外异号，从而仿照定理3.2证明方法可推出非极值.(iii) 若或其中一个负一个0，由引理3.2存在一条或两条，不妨假设存在两条过原点的直线，使在，上恒为0.于是当限制在，上时，(3.3)式中，即；换言之，当点相应地限制在过的直线，上时，的符号取决于，故无法判断.而引理3.2又说，在过原点的其他任意直线上保持同一符号（原点除外），故相应地当充分小时，在过点的其它任何直线(与，不同)上也保持同一符号，总之此时既不能定是极值，也不能定非极值，定理证毕.例3.2 讨论在(0,0)点是否有极值.可以算得在(0,0)点一至三阶偏导数全为0,此时利用传统方法无法判断.容易求出,由定理.，此时三次方程(3.2)为,任取实根，算得，故立得是极值.而故是极小值.(由本身也显然知道此结论正确).现在我们有了二阶、四阶判别法，一个自然的问题是能否建立阶判别法？答案是否定的.关于这个问题的讨论请参考文献8.上面的高阶判别法也存在局限性,这是不可避免的,事实上依赖偏导数的任意阶方法均摆脱不了这一缺陷.虽然四阶判别法还待进一步改进,但本文中建立的高阶方法在一 、二阶判别法失效的情况下是有价值的.4 条件极值 最后，我们讨论二元函数的条件极值问题，首先来看两个例子.求下列函数的条件极值点.例4.1 ,若.解 设.解方程组得，.由于当时，故.从而得知：点，为条件极值点，且为极大值. 如将改写为,化为一元函数极值问题同样可以求得极值点.例 4.2 ，若.解 设.解方程组可得，,其中相应地，. 由于函数在闭圆周上连续且不为常数，故必取得最大值和最小值.并且最大值与最小值不相等.这里可疑点仅两个. 因此，当，时，函数值必为最小值，从而是极小值；当，时，为最大值，从而是极大值.接下来，我们对二元函数条件极值问题的解决方法做一下总结.在关系式存在的条件下