高精度有限体积格式.pptx

第10讲 高精度有限体积方法 1 三十 一维问题 2 回顾 有限体积方法1 全离散形式 把式应用于第j个控制体 有 其中 将该式沿时间方向在之间积分 有 到目前为止 我们没有引入任何近似 所以 积分得到的式子是精确成立的 3 定义数值解在单元内的平均值为 得到全离散有限体积方法的表达式为 其中 称为数值通量 一维问题有限体积方法的标准形式 数值通量为在之间的平均值 标准形式到目前为止 它是精确的 一旦求得数值通量 则我们可以通过计算出下一个时刻因变量在单元上的平均值 也就是说 有限体积方法的解是因变量在单元上的平均值 而不是因变量在某一点上的值 4 注意到即为了计算数值通量 我们必须求得之间的 但是 由标准式 已知量只有时刻单元平均值 所以 为了求出 必须解决如下的两个问题 1 由 求出时刻数值解沿x方向的分布 这一过程称为重构 reconstruction 2 由时刻数值解沿x方向的分布 求出之间的以及数值通量这一过程称为演化 evolution 过程 有限体积方法中将在这两个过程中引入各种近似 从而把积分型方程化为代数方程 下面分别讨论这两个过程 5 有限体积方法2 半离散形式 把式应用于第j个控制体 有 引入数值解单元平均值的定义 半离散形式的有限体积格式 在有限体积格式的构造过程中 我们将构造对的各种近似算法 的近似值记 也称为数值通量 这样半离散的有限体积格式可以写为下面的标准形式 6 重构 问题提法给定网格定义单元 控制体 单元中心和单元大小为定义单元特征尺寸 用来衡量近似程度 已知 函数在单元内的平均值 求 单元内至多k 1次的多项式 使得 7 问题解法 单元的重构 指定重构精度要求和多项式具体形式给定重构的模板 模板中单元数量 待定参数个数 适用于ENO WENO重构 模板中单元数量 待定参数个数 适用于最小二乘重构 在模板中的所有单元上 要求 k个待定参数 方程组 直接求解最小二乘 8 基于原函数的重构方法 定义函数的原函数给定物理量平均值 相当于已知其原函数在控制体界面处的值原函数P x 由Lagrange插值近似确定 9 两种等价的模板定义 基于平均值的重构基于原函数的重构 10 11 在实际实施过程中 感兴趣的是控制体界面处的左右状态 我们利用计算Shu给出了具体公式如下 一般情况均匀网格 12 关于重构的进一步说明 重构函数在界面的值的计算公式隐含了重构模板重构的基本要求 单元的重构模板必须包含本身某个单元的k阶精度重构 k 1次多项式 有k中不同的模板选择方法 即亦即存在k种重构方案 两个单元如果重构的模板相同 则重构多项式也相同 13 关于重构的进一步说明 界面上的值可一般的写为 而不必区分从左侧还是从右侧的插值多项式出发进行计算 隐含模板对应唯一插值多项式具体实施 利用计算先确定计算的模板 根据相应的模板得到的即为 14 具体公式 均匀网格 15 ENO WENO重构 某个单元的k阶精度重构 k 1次多项式 有k中不同的模板选择方法 无论选择哪一个单一模板 当k 1时 数值解在间断附近都会发生数值振荡 ENO WENO格式根据模板选择的多重特性 引入适当的非线性机制来抑制间断附近的振荡 16 ENO重构 ENO EssentiallyNon Oscillatory基本思路 从k种可能的重构多项式中选取一种最光滑的重构 确定重构多项式 确定重构模板根据某种光滑性指标判断重构多项式的光滑性 具体方案采用均差作为光滑性指标采用递推算法确定重构模板采用Newton插值方法对原函数进行插值 17 均差及其性质 定义性质光滑函数间断函数 18 重构过程 Newton插值多项式 模板 在上述模板的左或者右侧添加新的节点 19 重构过程 Newton插值多项式 模板 20 重构过程 Newton插值多项式 模板 21 重构过程 依次类推知道达到要求的阶数 确定重构模板后 界面处物理量可用计算 Newton插值过程可以省略 22 ENO重构算法 动态确定重构模板m 1M 2 k 23 ENO重构的问题 如果在解或者其导数为零的地方稍为有一些舍入误差 都有可能导致模板点选取的改变 在光滑区域 这种模板点的自由调整显然是不必要的 且可能产生随机性较强的扰动 在模板点的选取过程中 有k个候选模板点集被考虑到了 共覆盖了2k 1个单元 但是最终只有其中只有一个模板点集被用来形成重构式 从而只达到了k阶精度 如果所有这些2k 1个单元都被用到 那么就可以在光滑区域达到2k 1阶精度 24 WENO重构 基本思想舍弃ENO只选择一个模板来进行重构的做法 而是将所有候选的模板对应的重构多项式进行加权平均形成最终重构 25 WENO重构 关键问题 如何确定权 WENO重构涉及两种权函数线性权 最佳权 使界面处重构多项式的值逼近精确值到2k 1阶精度非线性权 由解的光滑性动态计算光滑区保持精度可抑制振荡 26 最佳权 如果函数在所有模板上都光滑 那么存在常数 使得 27 非线性权 如果则以为权 仍然可以逼近界面处的值到2k 1阶精度 28 非线性权 权的具体形式光滑度因子要求 抑制振荡第r模板解光滑第r模板解有间断要求 保持精度D非零且与r无关 但可能和有关 29 非线性权 最终形式 k 2 k 3 30 基于ENO WENO的有限体积格式 标量方程 单元 单元中心和单元大小 半离散格式通量 31 时间积分ENO WENO重构的目的是计算左右状态 32 ENO WENO重构 格式的空间精度取决于ENO或WENO重构的阶数 33 基于ENO WENO的有限体积格式 方程组用ENO WENO 插值方法计算单元界面左右两侧的守恒变量利用RiemannSolver计算通量函数选择合适的时间积分方法 如Runge Kutta方法 推进求解 34 计算的两种方案对守恒变量的每个分量分别进行ENO WENO重构简单 存在轻微振荡对特征变量的各个分量进行ENO WENO重构计算量大 效果好 35 基于特征变量重构 对于固定的12确定i和i 1单元内的ENO WENO重构需要用到的所有可能的模板对应的控制体 在这些控制体内计算3对于特征变量的每个分量进行ENO重构 计算4 36 三十一 多维问题的高精度有限体积方法 目的 给出一种简单实用的高精度有限体及方法构造方案 37 1有限体积方法的框架 高斯点 K 1阶格式高斯点数 RiemannSolver 38 2多维重构 两种重构方案重构多项式待定系数个数和模板中单元个数相同ENO WENO模板选择困难 重构过程可能有奇异性所需模板小重构多项式待定系数个数小于模板中单元个数K exact重构模板选择容易 重构过程奇异性小所需模板大 39 K exact重构 问题提法已知所有控制体上的在每个控制体上求一个k次多项式 使得在上成立是精确解 40 重构的基本要求守恒性紧致性由及其邻近的有限控制体决定 K exactness当在及附近是次数小于等于k的多项式 则 41 K exact重构实施过程 重构多项式的形式 待定系数 基函数 2D 42 模板 43 最小二乘重构 44 3限制过程 为了计算有间断的流动 必须对重构多项式进行限制 二阶有限体积格式结构网格 TVD MUSCL ENO WENO非结构网格 Barth Jespersen Venkatakrishnan ENO WENO高阶有限体积格式ENO WENO高阶有限体积方法的限制问题仍然是高精度格式发展中的瓶颈问题 45 WENO重构选择多个重构模板Dumbser JCP 2007 三角形 四面体单元 二维 个 三维 个 46 一次重构 K exactreconstruction二次重构采用相邻网格的一次重构的特殊延拓作为当前单元的候选多项式 高阶限制技术 二次重构 WENO 二次重构 选择多个模板进行多次重构编程复杂计算量大内存需求高候选多项式多 不需选择模板二次重构高效编程简单计算量小内存需求低候选多项式少 二次重构采用相邻网格的一次重构的特殊延拓作为当前单元的候选多项式 高阶限制技术 二次重构 一次重构 一次重构 二次重构采用相邻网格的一次重构的特殊延拓作为当前单元的候选多项式 高阶限制技术 二次重构 延拓 二次重构采用相邻网格的一次重构的特殊延拓作为当前单元的候选多项式 高阶限制技术 二次重构 不守恒 二次重构采用相邻网格的一次重构的特殊延拓作为当前单元的候选多项式 高阶限制技术 二次重构 修正 二次重构采用相邻网格的一次重构的特殊延拓作为当前单元的候选多项式 高阶限制技术 二次重构 由j单元的信息得到i单元的二次重构 二次重构采用相邻网格的一次重构的特殊延拓作为当前单元的候选多项式 高阶限制技术 二次重构 由j单元的信息得到i单元的二次重构 由k单元的信息得到i单元的二次重构 高阶限制技术 二次重构 高阶限制技术 二次重构 WENO 加权平均 光滑因子需数值积分 计算量大为了抑制振荡 需二次重构的单元较多 新的方法WBAP 加权偏平均 有限体积方法高阶限制器 WBAP 一次重构 二次重构 有限体积方法高阶限制器 WENObasedonthesecondaryreconstruction wherethesmoothnessindicatorcanbecomputedbyaquadrature freemethod Limitedpolynomial DefinetheWENOweightas Momentstoredinthezero meanbasis E g for3rdorderscheme ThisQFwaycanbeappliedonarbitrarygrids Candidatereconstructions SR WENO基于特征变量做3次1 2 3估算第1 2 3边中点物理量沿相应边的法向量方向计算特征值 左右特征向量计算 单元的一次 二次重构多项式对应的基于特征变量的重构多项式对特征重构多项式进行WENO加权平均计算高斯点 处的物理量最后的处理也可对上述三个多项式再做一次加权平均 线性权相同 58 L WBAP 加权偏平均 算子 有限体积方法高阶限制器 WBAP 25 04 2011 60 BAPlimiter Choi Liu J Comp Phy 144 1998 WBAPlimiter 有限体积方法高阶限制器 WBAP Biasedfunctions Weights n ifj 01 25 04 2011 61 简单 光滑 适用于非结构网格一致高精度良好的抑制振荡的性质作用于两个变量且时满足TVD条件 作用于多个变量且时满足极值原理 JCP 2011 用于高阶有限体积方法时需采用逐级限制的技术 有限体积方法高阶限制器 WBAP 有限体积方法高阶限制器 WBAP 逐级限制技术 SR SR 3rdorder 2ndorder 1storder SR CompactinformGenuinequadrature free 其他改进改进措施 采用Shockdetector只在间断附近做WENO重构在光滑区只用一次重构计算左右状态可证因此改善WENO格式光滑因子计算的效率 63 部分结果 64 65 无ShockDetector 66 有ShockDetector 67 ShockDetector得到的间断和光滑区域 68 69 三十二 DiscontinuousGalerkin方法与SpectralVolume方法 70 高精度FV DG 近似解的形式 i 物理量单元平均值 待定系数 均值为零的基函数 K次多项式 守恒性 守恒变量的分量 高精度FV DG 近似解的形式 有限体积 Taylor基 DG 正交基 高精度FV DG FV DG DG FV 1个关系 DOF 1个关系 外自由度内自由度 FV FV im 3 重构 Reconstruction FV FV 重构 Reconstruction im 3 DG DG DOF 1个关系 正交基 应注意的一些问题基函数 正交基与Taylor基为了计算有间断的流动 必须对解的分布进行限制 目前已经有多种限制方案 但仍然没有适用于高精度格式的比较完善的解决方案 DG方法对边界条件的处理比较敏感 对于曲线 曲面 的固体壁面边界 须考虑曲线 面 形状的影响 粘性项的处理是DG方法中比较困难的问题 目前有LDG BR1 BR2 rDG RDG 等多种方法 但仍需进一步发展 i 77 应注意的一些问题DG采用Runge Kutta方法进行时间推进时稳定性时间步长较小 k次多项式 k 1阶时空精度 DG方法如何构造高效的隐式求解方法仍然是需要研究的问题DG方法的Gauss积分 2D 解为线性 二次 三次多项式 体积分用3 6 12个高斯点解为线性 二次 三次多项式 面积分用2 3 4个高斯点 78 PnPm PnPm FV 模板不紧凑 计算量大 DG DOF1 DOF 重构 PnPm SV方法 王志坚 谱体积与控制体每个谱体积划分为一系列控制体k次多项式划分的控制体个数与自由度相同