关于一致收敛.doc

关于一致收敛，我提出了一些自然应该产生的问题，主要看定义和提出的问题，希望可以看完定义和从这个定义出发的许多问题，这里大部分比较简单，尤其是根据定义验证性质的希望可以验证一下，根据定义便可以得出的，其他的了解一下，可以等寒假或者以后再想。尤其举反例部分不用着急想，比如weierstrass函数的反例和最后的一段比较难，不用浪费精力去着急想，了解一下即可，但心里要装着这些问题，不要放弃。1一致收敛的定义：关键是共同的N（与x无关），任意号与存在号的选择与排序问题，比如有四个空，每个空填写任意与存在，一共有24种可能，另外还可以对这些做排序（4！），就有24*4！=384种不同的结果，但其中只有一种是可以描述一致收敛的定义，因而这样的话，定义的准确性就显得很是必要了，这里仅仅有一种正确刻画了一致收敛（一致性体现在，有共同的N不依赖于x，试若把放在，前，则是逐点收敛的定义（N依赖于x），从逻辑上完全不是同一句话）注：2对定义的提问：1 well-defined？（是不是恰到好处的）比如对集合E要有什么要求？如果说函数列分别按照逐点收敛和按照一致所得的极限函数存在的话，这个极限函数唯一吗？2如果是well-defined，那么它的否定的正面描述是什么？并且举出一致收敛和不一致收敛的例子来体会定义（好例子的标准：1简洁（而并非去整自己去找很难的例子）2能反映一些重要性质体会到为什么一致收敛，为什么不一致收敛）既要有正面例子，又要有反面的例子3一致收敛于逐点收敛的区别及其蕴含关系是什么？4每一种收敛方式都对应于一个基本列的表述方式，对比于n维实空间，连续函数空间也是一个距离空间，那么它的基本列是什么定义，基本列与收敛列之间的关系呢？即它完备吗？注意到在考虑函数空间时候，我们考虑的是把函数作为一个“元素”放到整个函数空间中去看，因此我们在函数空间中引入了一致收敛的概念，注意力集中到函数作为一个元素上去，因而一致收敛的时候要求N与x要无关5类似地可以问，连续函数空间中的子集有界是什么意思？也就有了一致有界的概念（感觉上应该这个界也和x无关）类似有开球的概念特别连续函数列是一致有界的如果它能包含在一个球里为了强调这里的有界和x无关，称其一致有界，可以证明函数列一致有界的定义的等价叙述如下：类似的拓扑的语言都合适地可以移到连续函数空间上来，如什么是开集，什么是闭集，什么是紧集（这个时候的有界指的是一致有界闭集是否还是紧致（等价于列紧可以证明一般的距离空间中的紧致和列紧是一回事）的呢？），什么是内点，孤立点，极限点，边界点，闭包为了简便和具体些，下面函数列定义在一个实数的子集合I上6可以问一致收敛是否是一致有界的？如果回答否定还可以问：有界函数列（对每个固定的n，存在一个大M，使得对一切，这里是一致有界的意思吗？一致有界和普通的函数有界有什么区别？）一致收敛的话，极限函数有界吗，这些函数列在集合I上一致有界吗？进而如果在I上考虑的函数列一致收敛，且它的极限函数有界，这个函数列是否一致有界呢？如果不是的话，这个函数列是否会从某项开始一致有界呢？7可以考虑逐点收敛和一致收敛的函数列的代数性质（无论命题成立与否都要有一些适当的例子放在心里）两个函数列逐点收敛，他们的和函数列与积函数列逐点收敛吗？两个函数列一致收敛，他们的和函数列与积函数列一致收敛吗？两个对了，那么有限个应该也对，为什么？8一致有界函数列的和与积是否一致有界呢？9设函数列定义在一个闭区间I（一般定义在一个紧致集合上）上逐点收敛意义下的函数列与极限函数之间的关系有下面的问题可以问函数列连续，极限函数连续吗？函数列可导，极限函数也可导？如果可导的话，先对函数列求导，再求极限函数，与先求极限函数再求极限函数的导数是一回事吗？类似的可积应该也有与可导的问题，这样已经有5个问题了10如果收敛方式改为一致收敛呢？就得到10个问题了（其中会遇到一个问题，例子不大好举，即是否有可导函数列一致收敛，它的极限函数处处连续，但是不可导，如果存在的话，不可导点是有限的，可数的，不可数，甚至处处不可导的例子又能否举出来？即weierstrass函数，这样的函数有些病态，那么可以考察一些常见的病态函数（如黎曼函数R（x），狄利克雷函数D(x)，）的基本的解析性质，如连续性，可导性，可积性。如果性质不太好的话，能不能适当地改造让它的性质变得好一些？又比如这些函数可能在一点处不连续或者不可导，那么我能不能利用这些函数基础上造出一个函数，我想让它在哪点不连续或不可导，就让它在哪点不连续不可导？）11 如果把闭区间I改成开区间呢？又得到很多的问题，即函数列所定义的集合对这些问题的结果有没有影响？12每当遇到一个定理时候要问它的逆定理是否成立？无论成立与否都要有典型的例子之后还要考察这个定理中的哪些条件是不可或缺的，哪些条件是可以适当减弱或者替换的比如闭区间上一致收敛连续函数的极限函数是连续的，反之对吗？如果不对在什么条件下对？于是就得到迪尼定理，于是迪尼定理给了一个判别一致收敛的充分条件，下面要问什么条件下一个函数列是一致收敛的？ 1按照定义或者其柯西准则（即基本列等价于收敛列） 2迪尼定理（注意定理中紧致的条件）3如果连续函数列的极限函数不连续，必定不一致收敛4所谓的优数列的充分条件（请找一个例子说明它是非必要的）证明：证明fn一致收敛到f自然地有一个问题可以问：任何函数列都有优数列吗？例如，或者改成开区间，都是不一致收敛的利用这个例子可以给出很多反例，这个例子虽然简单，貌似不起眼，但能找到一些问题的症结之处，到底哪里出了问题使得极限函数的解析性质不是那么好1逐点收敛的连续函数列的极限函数不连续2逐点收敛的可导函数列的极限函数不可导，事实上它连连续都不连续那么自然可以问存在着可导函数列，它的极限函数存在连续，但是却不可导的反例吗？这个例子的解决是比较棘手的，但是自然就引出了weierstrass函数的例子3 可以注意到迪尼定理中极限函数连续的条件是必要的，如果改为开区间，可以看出迪尼定理中紧致的条件也是很必要的，不能缺少。最后一部分4 可以验证，直观上可以理解为它在除去一个长度可以任意小的集合上是一致收敛的（叫作几乎处处一致收敛），另外它在除去x=1这个长度为0的集合外都逐点收敛到0函