反比例函数 (5).doc

反比例函数（第1课时）绵阳富乐国际学校 侯 静一、内容和内容解析【内容】反比例函数的概念【内容分析】反比例函数是初中函数学习的重要内容通过反比例函数概念的学习，既加深对函数概念的理解，又加强对反比例变换规律的认识从函数角度看，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，即对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应；从反比例变换规律看，在变化过程中，这两个变量的乘积始终为定值成反比例函数的两个变量的乘积为定值是反比例函数的特征通过对现实生活和数学中问题的分析，发现变量间的反比例关系，归纳得出反比例函数的概念，再运用反比例函数的概念对数学和现实生活中的问题进行分析，通过具体实例，确定反比例函数的解析式，是本节课的研究思路二、目标和目标解析【目标】（1）理解并掌握反比例函数的概念； （2）能根据已知条件确定反比例函数的解析式【目标解析】达成目标（1）的标志是：通过对实际问题和数学问题的分析，抽象概括得出反比例函数的概念，知道自变量和对应量的函数值成反比例的特征达成目标（2）的标志是：能根据问题中的变量关系，确定反比例函数的解析式三、教学问题诊断分析学生虽然已学过几种类型的函数，但对函数基本概念的理解未必深刻在对实际问题和数学问题进行分析过程中，需加强对函数概念的理解：对于自变量的每一个确定的值，因变量有唯一确定的值与之对应反比例函数与一次函数、二次函数的不同在于两个变量的乘积为定值同时，学习过程中要回顾类比反比例关系，分式的概念及其运算 【教学重点】理解并掌握反比例函数的概念【教学难点】 抽象得到反比例函数的概念，区别反比例函数与成反比例关系；对比所得解析式的差异四、教学条件支持由于学生将实际问题转化成函数的能力是有限的，所以我借助多媒体辅助教学，指导学生通过类比、转化，直观形象的观察与演示，让学生亲身经历函数模型的转化过程，为学生攻克难点创造条件，同时考虑到本课的重点是反比例函数的概念，也考虑到概念教学要从大量实际出发，通过具体事例帮助完成定义。因此，我采用了“问题式探究法”的教法，利用多媒体设置丰富的问题情境，让学生的思维由问题开始，将问题深化。五、教学过程设计（一）创设情景，导入新课活动1 京沪线路全程1463 km某次列车的平均速度v（单位：kmh）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化师生活动：学生观看章前图，教师提出问题，引导学生分析路程、速度、时间三者的关系，并回答下列问题：（1） 平均速度v与时间t存在着怎样的关系？（2） 这三者中哪些是变量，哪个是常量？（3） 两个变量间具有函数关系吗？请说明理由（4） 能写出列车的平均速度v随此次列车的全程运行时间t的函数关系式吗？ 【设计意图】结合章前图，创设问题情境，让学生感受量与量之间的函数关系，体会实际问题中蕴含的函数关系，激发探究兴趣 教师追问：全程为s（单位：km）的同一条铁路线上，由于不同车次列车运行时间t（单位：h）有长有短，所以他们的平均速度v（单位：kmh）有快有慢从比例角度看，平均速度v和时间t存在着怎样的关系？平均速度v随列车时间t的变化而变化，可用怎样的函数关系式表示？师生活动：教师提出问题，引导学生回答让学生进一步感受两个变量之间乘积为定值【设计意图】回顾已学知识，明确路程一定时，速度与时间成反比例关系，引导学生从函数角度分析两个变量之间的关系，为建立反比例函数模型奠定基础（二）实践体验，探索概念活动2 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？（1）某住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化（2）北京市总面积为1.68104 平方千米，人均占地面积S（单位：平方千米人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化师生活动：教师给出问题，学生小组讨论，教师参与讨论，组织交流，引导学生写出解析式，并提出下列问题让学生思考回答：在每个问题中，谁是常量，谁是变量？两个变量间具有函数关系吗？试说说理由它们的解析式有什么共同特点？【设计意图】通过对问题的讨论分析，让学生学会用函数的观点分析生活中变量之间的关系，并能够用反比例关系式表示出来，初步建立反比例函数模型（三）反思提炼，归纳定义问题1 观察上述两个问题中与这两个解析式有什么共同的特点？1引导学生归纳总结共同特点 每个表达式中都有2个变量（因变量随自变量变化而变化）1个常数； 表达式右面是分式形式且常数在分子位置、分母位置只有一个变量；问题2 你能根据上述分析的特点给出反比例函数的概念吗？板书定义： 一般地，形如 的函数叫做反比例函数 其中x是自变量，y是x的函数，k叫做比例系数自变量x的取值范围是 问题3 请同学通过下面问题串，领悟形如（k为常数，k0）的函数 （1）根据定义，使为反比例函数，则需满足的条件是 （2）反比例函数右边实质上也可视为一个分式，那从分式有意义的条件，需满足 （3）结合（1）、（2）两个结论你能得到 （4）根据（2）、（3）两个结论，请大家思考反比例函数图象与坐标轴相交吗？为什么？ （5）在（k为常数，k0）中，y是关于x的反比例函数；反过来，x能视为关于y的反比例函数吗？ （6）在（k为常数，k0）中，若y表示矩形的长，x表示矩形的宽，则k表示的几何意义是 师生活动：教师给出问题，学生小组讨论，教师参与讨论，组织交流，引导学生归纳总结形如，（k为常数，k0）的函数有如下内涵与外延： 定义要求：k0 分式意义要求：x0 因为k0，x0，所以y0 因为x0，y0，所以反比例函数的图像与坐标轴都没有交点 y是x的函数，反过来，x也是y的函数（） 在（k为常数，k0）中，若y表示矩形的长，x表示矩形的宽，则k表示的几何意义是矩形的面积【设计意图】 通过活动1与活动2中的两个式子引导学生从不同的数学关系式中抽象出反比例函数的一般形式，让学生感受反比例函数的基本特征，发展学生用数学语言描述反比例函数的能力，体会从实际问题中抽象出反比例函数的方法从文字、式子和图形的角度理解反比例函数的内涵与外延.并初步形成对反比例函数性质的认识，为后续反比例函数性质的探究做铺垫（四）巩固应用，内化概念活动3例1 下列函数中那些是关于变量y与x的反比例函数？并指出其k值（1）y = 3x1 （2）y = 2x2 （3） （4） （5）xy = 0 （6）y = 3x1 （7）xy = 123 （8） （9） （10） （11）师生活动：教师提出问题，从学生的回答中，让学生收集整理所得反比例函数的几种形式，并和学生一起归纳总结分析：反比例函数是从形式上定义的，因此具有这种形式的函数叫做反比例函数，不具有这种形式的函数就不叫反比例函数例题小结：反比例函数的三种形式（注意：下列各式均须满足k为常数，k0）（1）（） （2）xy = k （3）y = kx1 【设计意图】加深学生对概念的理解，认清反比例函数的多种形式；让学生通过小组合作，探讨出反比例函数的其他几种形式，进而从多方面认识并了解反比例函数。活动4例2 已知y是x的反比例函数，并且当x = 2时，y = 6 （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x = 4时，求y的值分析：因为y是x的反比例函数，所以可设，把x = 2和y = 6代入上式，就可以解得常数k的值解 （1）设（k0），因为当x = 2时，y = 6，所以有 ，解得k = 12，因此（x0）法二 （1）设xy = k（k0），因为当x = 2时，y = 6，所以有26 = k，解得k = 12，因此（x0）（2）把x = 4代入，得例题小结： 题中已指明它是反比例函数，因此可用待定系数法 设出解析式 标注x的取值范围是我们今后要注意的一个重点 对于每一个自变量x的值，y都有唯一值与之对应 【设计意图】使学生会根据已知条件求反比例函数的解析式，进一步熟悉函数值的求法问题深化：已知y是x的反比例函数，当x =2时，y =6，写出y关于x的函数解析式；反比例函数图象上一点（x，y）关于原点的对称点（x，y）在反比例函数的图象上吗？试说明理由师生活动：教师提出问题，并引导学生从例2及其问题深化分析，从特殊到一般，得到如下结论：因为k = xy =（x）（y），所以说明反比例函数图象上任意一点（x，y）关于原点的对称点（x，y）也在该反比例函数的图象上由此可进一步得到：反比例函数（k为常数，k0）的图象关于原点对称【设计意图】由特殊到一般，引导学生通过观察、分析、论证、归纳得出反比例函数（k为常数，k0）的图象关于原点对称 例题演变： 变式1 已知y与x成反比例，当x =3时，y = 4，则y与x的函数关系式为 变式2 已知y与x2成反比例，当x = 3时，y = 4，则y与x的函数关系式为 变式3 已知（y + 1）与（x2）成反比例，当x = 3时，y = 4，则y与x的函数关系式为 【设计意图】 通过具体的函数解析式引导学生理解反比例函数与成反比例关系的联系与区别；另外，在解决这几道变式题时，需要用到“整体”的数学思想，既巩固知识点，又讲授数学思想，可谓一举两得活动5例3 已知y关于x的函数式，m是常数（1） 是否存在m的值使y关于x为正比例函数？（2） 是否存在m的值使y关于x为反比例函数？师生活动：教师引导学生辨析正比例函数与反比例函数以及特殊函数分析：注意形如y = kx（k0）的函数为正比例函数，形如y = kx1的 函数为反比例函数，比照到列出等式与不等式解 （1）因为要使y关于x的函数式为正比例函数，所以 解得m =5故存在m =5使得y关于x的函数为正比例函数（2）因为要使y关于x的函数式为反比例函数，所以 解得m = 3故存在m = 3使得y关于x的函数为反比例函数例题小结：判定形如y = kxb 的函数到底是正比例函数还是反比例函数的方法是，严格根据其定义：若为正比例函数，则k0，b = 1；若为反比例函数，则k0，b =1【设计意图】将反比例函数与以前学过的正比例函数加以比较，加深对概念的理解问题：若m =3，例2中y还是x的函数吗？ 师生活动：引导学生分析若k =0，则y = 0对每一个确定的x的值都有唯一确定的y值与之对应所以当k = 0时，y是函数，它是一种特殊的函数【设计意图】让学生理解并掌握y = 0这种特殊的函数例题演变变式：（1）已知函数是反比例函数，则m = （2）已知函数是反比例函数，则m = 【设计意图】变式紧跟在例1后面，是对例1的加深与巩固（五）小结梳理，布置作业活动6 课堂小结通过本节课的学习我们掌握了对反比例函数的概念（数学核心概念）的学习和研究思路是：实际问题抽象成概念理解概念的内涵与外延演绎变式概念的应用小结同化1知识点：（1）反比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，k0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数（2）反比例函数的三种形式：（注意，下列各式均须满足k为常数，k0） （） xy = k y = kx1 2求反比例函数解析式的方法：待定系数法布置作业：教科书第3页练习1，习题26.1第1、2题，教材第21页第1题课后思考，拓展提升：已知：函数y = y1 + y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x = 1时，y = 4；当x = 2时，y = 5（1）求y与x的函数关系式；（2）当x = 4时，求y的值【设计意图】本题比课堂上的题目难度稍有提升，结合了本节新学习的反比例函数与之前学习的一次函数，但是，此题仍在学生可解决的范围之内，只需学生认真思考即可有解题思路，对于部分学生来说，可能此题需要其他同学的帮助，因此，将此题留作课后思考，既留下充分的思考时间，又留有讨论空间，学生通过一定的努力，又可以解决问题，获得一定的成就感六、目标检测设计1下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？y =2x； ； y = x21； xy = 6； y = 7x1； 【设计意图】进一步明晰概念，用反比例函数的概念判断函数是否为反比例函数：从形式上看写成一般式，实质上是两个变量的乘积为定值2已知y与（x + 2）成反比例，当x = 3时，y =4（1）写出y与x的函数解析式；（2）当x = 4时，求y的值；（3）当y = 4时，求x的值【设计意图】加深概念理解，明确反比例与反比例函数的区别与联系教学反思1通过问题情境调动学习兴趣，深化数学思维本节课首先从实际问题出发，列出具体的反比例函数表达式，教师又引导学生对这组函数关系式进行观察、比较、分析，辨析一次函数、正比例函数和即将研究的反比例函数这样的问题设计符合果尔维茨的最近发展区的认识理论，深化了学生的数学思维2着力深化概念，渗透数学思想方法概念教学的关键是让学生理解概念，并能灵活应用概念解决问题本节课教师从四个方面对反比例函数概念进行了剖析，使学生对反比例函数概念的内涵和外延有了更加清晰的认识，并能从多角度辨析反比例函数这样教学设计，既夯实了基础概念，又拓宽了学生数学视野本节课教师在深化概念教学的前提下，通过高质量的教学问题，渗透了归纳、转化、对应、函数模型等数学思想方法，例如：在合作交流、抽象反比例函数概念的环节中，教师首先引导分析问题串中得到的反比例函数中因变量随着自变量增大而减小（增大），以及得到的几个具体的反比例函