小学六年级奥数 第六讲行程公式类行程问题优秀.doc

第六讲公式类行程问题教师随笔本讲主要是对可以应用公式解决的行程问题，这类行程问题主要包括火车过桥、发车间隔、流水行船扶梯。知识精讲一、行程问题基本公式：路程速度时间，平均速度总路程总时间；二、相遇问题：速度和相遇时间相遇路程；追及问题：速度差追及时间追及路程；三、火车过桥完全过桥：是指从车头上桥，到车尾离开桥的过程，一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度解法：火车车长桥(隧道)长度(总路程)火车速度通过的时间；完全在桥：是指从车尾上桥，到车头开始离开桥的过程，一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度解法：火车车长桥(隧道)长度(总路程)火车速度在桥的时间；火车树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)火车速度通过时间；火车人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，火车迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程)(火车速度人的速度)迎面错过的时间；火车同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程)(火车速度人的速度)追及的时间；火车火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长慢车车长(总路程)(快车速度慢车速度)错车时间；超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长慢车车长(总路程)(快车速度慢车速度)错车时间；四、数车问题如果行人和汽车相向(反向)行驶，那么从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系： 同样的如果行人和汽车同向行驶，则有关系式： 五、流水行船顺水速度船速水速，逆水速度船速水速；静水速度(顺水速度逆水速度)，水速(顺水速度逆水速度)六、扶梯问题与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，扶梯运行的速度相当于水流速度，人在扶梯行走的速度相当于船在静水中的速度自动扶梯的速度有以下两条关系式：例1一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由点开始爬行一周 在三条边上它每分钟分别爬行11，33，22 (如右图)它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？ 【分析】 假设每条边长为66厘米，则总时间(分钟)，爬行一周的平均速度(厘米/分钟)【铺垫】如图，从到是6千米下坡路，从到是4千米平路，从到是4千米上坡路铮铮步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时问从到的平均速度是多少？【分析】 从到的时间为：(小时)，从到的时间为：(小时)，从到的时间为：(小时)，从到的总时间为：(小时)，总路程为：(千米)，那么从到的平均速度为：(千米/时)【巩固】汽车往返于，两地，去时速度为40千米时，要想来回的平均速度为48千米时，回来时的速度应为多少？【分析】 假设两地之间的距离为(千米)，那么总时间(小时)，回来时的速度为(千米/时)提高班学案1：2008年三帆中学试题甲、乙两车往返手A、B两地之间。甲车去时的速度是每小时60千米，回来时速度是每小时80千米。乙车往返的速度都是每小时70千米。甲、乙往返一次所用时间的比是 .【分析】 设（千米）甲车所用时间（小时），乙车用去的时间为（小时），甲乙所用的时间比为【巩固】巍巍驾车从甲地开往乙地交货。如果他往返都以每小时60千米的速度行驶，正好可以按时返回甲地，可是，当到达乙地时，他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时55千米。如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？【分析】 设甲乙两地间的路程为，原计划用时为（小时），回来的速度为（千米/时）【拓展】（年“希望杯”第二试）赵伯伯为锻炼身体，每天步行小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行千米，上山每小时行千米，下山每小时行千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？【分析】 设赵伯伯每天上山的路程为千米，那么下山走的路程也是千米，上山时间为小时，下山时间为小时，上山、下山的平均速度为：（千米/时），由于赵伯伯在平路上的速度也是千米/时，所以，在每天锻炼中，赵伯伯的平均速度为千米/时，每天锻炼小时，共行走了（千米）（米）例2一列火车驶过米长的隧道用了秒。若将火车的速度提高一半，则通过长米的隧道只用了秒，则这列火车的全长为 米，火车行驶的速度为每秒 米【分析】 若火车速度没有提高，通过米的隧道应该是用（秒），所以火车速度是（米/秒），火车长度为（米）。基础班学案1：(2008年四中考题)一列火车通过396米的大桥需要26秒，通过252米的隧道需要18秒，这列火车车身长是多少米？【分析】 火车的速度为：(米/秒)，火车的车长为：(米)尖子班学案1：一列火车完全驶过米长的隧道用了秒完全通过长米的隧道时，结果速度提高了一倍，结果只用了秒，则这列火车的全长为 米.【分析】 如果通过隧道时速度没有提高，那么将需要秒，火车速度为（米/秒），火车全长（米）例3(2008年三帆中学考题)一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比是一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这艘船往返共用10小时，问：甲、乙两港相距 千米【分析】 根据题意顺水速度与逆水速度比为，因此水流速度为（千米/时），暴雨天水流速度为6千米/时，暴雨天顺水速度为15千米/时，暴雨天逆水速度为3千米/时，暴雨天顺水速度为逆水速度的5倍，那么顺行时间为逆行时间的，故顺行时间为往返总时间的，为小时，甲、乙两港的距离为(千米)基础班学案2：（1997年第6届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛）轮船从武汉到九江要行驶5小时，从九江到武汉要行驶7小时，问一长江漂流队员要从武汉乘木筏自然漂流到九江需要多少小时？【分析】 根据题意顺水速度与逆水速度比为，设顺水速度为份，逆水速度为份，则水流速度是，因此顺水速度是水流速度的倍，因此漂流用的时间应为顺水用的时间的倍，因此乘木筏自然漂流到九江用时为小时提高班学案2：(2009年五中分入学测试题)一位少年短跑选手铮铮，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒，则在无风时他跑100米要用 秒【分析】 根据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为米/秒，逆风速度为米/秒，那么他在无风时的速度为米/秒在无风时跑100米，需要的时间为秒尖子班学案2：（年第七届希望杯五年级二试改编题）如图，甲、乙两艘快艇不断往返于、两港之间。若甲、乙同时从港出发，它们多少小时后第一次同时返回港.【分析】 甲第一次回到港用时为，以后再回到港就应是的整数倍，同理乙回到港用时为的整数倍，所以两船第一次同时到达港时间就应为.例4(2009年“学而思杯”六年级)甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行千米，乙艇每小时行千米现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地水流速度是每小时 千米 【分析】 两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为小时相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶27千米需要小时，那么甲艇的逆水速度为(千米/小时)，则水流速度为(千米/小时)【铺垫】、两码头间河流长为千米，甲、乙两船分别从、码头同时起航如果相向而行小时相遇，如果同向而行小时甲船追上乙船求两船在静水中的速度分析 相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差，所以，两船在静水中的速度之和为：(千米/时)，两船在静水中的速度之差为：(千米/时)，甲船在静水中的速度为：(千米/时)，乙船在静水中的速度为：(千米/时)【巩固】铮铮畅游长江，逆流而上，在处丢失一只水壶，他向前又游了分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离处千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？【分析】 此人丢失水壶后继续逆流而上分钟，水壶则顺流而下，两者速度和此人的逆水速度水速此人的静水速度水速水速此人的静水速度，此人与水壶的距离两者速度和时间此人发现水壶丢失后返回，与水壶一同顺流而下两者速度差等于此人的静水速度，故等于丢失水壶后至返回追寻前的两者速度和，而追及距离即此人发现水壶丢失时与水壶的距离，所以追及时间等于丢失水壶后至发现丢失并返回追寻的这一段时间，即分钟【拓展】(2009年迎春杯复赛高年级组)A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒【分析】 本题采用折线图来分析较为简便如图，箭头表示水流方向，表示甲船的路线，表示乙船的路线，两个交点、就是两次相遇的地点由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是和的长度相同，和的长度相同那么根据对称性可以知道，点距的距离与点距的距离相等，也就是说两次相遇地点与、两地的距离是相等的而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了千米和千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为米/秒，那么两船在静水中的速度为米/秒例5一架自动扶梯，涛涛沿着扶梯运行方向行走发现，如果自己每秒迈一步台阶30秒从一楼到二楼；如果自己每秒迈两步台阶，20秒到达二楼；那么涛涛如果每秒迈3步台阶，他多长时间能到二楼?【分析】 每秒迈一步台阶时，小明走了30级台阶；每秒迈两步台阶时，小明走了40级；前一种情况小明少走了10级台阶，那么扶梯就多走了10级台阶，那是因为前一种情况扶梯多走了3020=10秒，那么扶梯的速度=1010=1级/秒，静止时扶梯的台阶数为30+30=60级。当小明每秒迈3级台阶时，到二楼所用时间为60(3+1)=15秒。本题是牛吃草问题的变式基础班学案3：在地铁站入口，从地面到站台有一架向下的自动扶梯，扶梯共有80级，运行速度是2级/秒，昊昊上学起晚了，步入电梯后，自己以3级/秒的速度顺着扶梯的方向往下走，那么现在昊昊需要多久才从地面到站台？【分析】 扶梯在往下走，昊昊也在往下走，昊昊实际的速度为扶梯的运行速度和昊昊的运行速度之和，那么他从站台到地面需要：80（2+3）=16 (秒)。提高班学案3：铮铮沿一架自上向下运行的电梯向上逆行，电梯每秒运行2级台阶，铮铮每秒向上走4级台阶，经过半分钟铮铮从一层走到了二层，那么一、二层之间有多少级台阶？【分析】 铮铮走完扶梯的速度实际上为级/秒，一、二层有级电梯。尖子班学案3：在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯涛涛乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过级台阶到达地面从站台到地面有 级台阶【分析】 涛涛每秒走一阶，需要秒；每秒走2阶，需要秒设电梯每秒钟需要走阶，由电梯长度可得：，解得那么扶梯长度为（阶）本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯涛涛乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于涛涛多走的阶数：阶，电梯的速度为阶/秒，扶梯长度为（阶）【拓展】在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上80级台阶回到顶部。自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设包包单位时间内下的台阶数是她的台阶数的1.5倍。该自动楼梯从底到顶的台阶数是多少？【分析】 要知道电梯向上与向下运行时间的比为，设该自动楼梯的速度为级/单位时间，则有，解得，那么自动楼梯从底到顶的台阶数为级。例6甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，铮铮和昊昊分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；铮铮每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；昊昊每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车已知电车行驶全程是56分钟，那么铮铮与昊昊在途中相遇时他们已行走了 分钟【分析】 方法一：由题意可知，两辆电车之间的距离电车行8分钟的路程电车行5分钟的路程铮铮行5分钟的路程电车行6分钟的路程昊昊行6分钟的路程设发车间隔为，因此电车的速度为，铮铮的速度为，昊昊的速度为，因此铮铮和昊昊相遇时间为（分钟）方法二：由题意可知，两辆电车之间的距离电车行8分钟的路程电车行5分钟的路程铮铮行5分钟的路程电车行6分钟的路程昊昊行6分钟的路程由此可得，铮铮速度是电车速度的，昊昊速度是电车速度的，铮铮与昊昊的速度和是电车速度的，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的，即分钟，所以铮铮与昊昊在途中相遇时他们已行走了60分钟基础班学案4：2009年湖北省小学数学奥林匹克六年级决赛试题巍巍、涛涛两人在一个圆形跑道上跑步，两人从同一个地点出发，巍巍用40秒就能跑完一圈，两人反向跑时每隔15秒相遇一次，那么，两人同向跑时涛涛每隔 秒钟追上巍巍一次。【分析】 设圆形跑道一圈的长度为,巍巍的速度为，涛涛的速度为，追及时间为（秒）提高班学案4：从电车总站每隔一定时间开出一辆电车昊昊与包包两人在一条街上反方向步行昊昊沿电车发车方向每分钟步行米，每隔分钟有一辆电车从后方超过自己；包包每分钟步行米，每隔分遇上迎面开来的一辆电车那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？【分析】 发车间隔距离，所以，所以电车总站每隔（分钟）开出一辆电车.尖子班学案4：铮铮骑自行车去昊昊家聚会，在途中铮铮注意到，每隔分钟就有一辆公交车从后方超过自己，半路上自行车发生故障，铮铮只好弃车打的前往昊昊家，这时铮铮又发现出租车也是每隔分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是铮铮骑车速度的倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，那么公交车的发车时间间隔为多少分钟？【分析】 由题目条件可以得到两条等量关系：； ；设发车间隔距离为所以，；由此可知，所以公交速度为；所以公交车站每隔分钟发一辆公交车超常挑战在1，2，3，2008中选取8个不同的数，使得它们的和大于8039，把这样的选法总数计为；在1，2，3，2008中选取8个不同的数，使得它们的和小于8032，把这样的选法总数计为；那么与的大小关系是 (填、或)【分析】 在1，2，3，2008中选取8个不同的数，使得它们的和小于8032，即，那么，这8个数也是1，2，3，2008中的数，而它们的和，可见在1，2，3，2008中选取8个不同的数使得它们的和小于8032的选法与在1，2，3，2008中选取8个不同的数使得它们的和大于8040的选法是一一对应，所以在1，2，3，2008中选取8个不同的数使得它们的和大于8040的选法总数也是由于在1，2，3，2008中选取8个不同的数，使得它们的和大于8039，既包括它们的和大于8040的情况，又包括和等于8040的情况，所以在1，2，3，2008中选取8个不同的数，使得它们的和大于8039的选法总数大于使得它们的和大于8040的选法总数，即附加题1. 如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2长方形EFGH的面积为 【分析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,所以长方形EFGH面积为312. （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀赛决赛）如图，矩形ABCD被分割成9个小矩形.其中有5个小矩形的面积如图所示.矩形ABCD的面积为_.【分析】 在图中，右上方矩形面积为，从而左下方四个小矩形面积之和为 于是矩形ABCD的面积为.3. 从一个正方形的木板上锯下宽的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为，问锯下的长方形木条面积是多少？ 【分析】 我们用构造“弦图”的方法，取同样大小的4个剩下的长方形木板拼成一个大正方形（如右下图），同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（）那么，阴影小正方形的面积所以，整个大正方形的面积是，求得大正方形的边长为那么，剩下的长方形木条的长宽，长宽，可得剩下的长方形木条的长为，宽为所以，锯下的长方形木条面积是越玩越聪明一个小猴子边上有100根香蕉，它要走过50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被压死了），它每走1米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里 提示：他可以把香蕉放下往返的走，但是必须保证它每走一米都能有香蕉吃也可以走到n米时，放下一些香蕉，拿着n根香蕉走回去重新搬50根 【分析】 小猴子在50米内必有一个落脚点，回去重新搬50根，然后把两次剩余的香蕉搬回家里 设落脚点距100根香蕉处为，则，得路上小猴子总共吃掉 根，搬回家里的香蕉只有，要使最大，越小越好；所以取，搬回家里的香蕉有16根家庭作业1 巍巍骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时千米，下桥速度为每小时千米，而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问巍巍骑车过这座桥的平均速度是多少？【分析】 假设这座桥长为千