7年级第14讲 相交线和平行线.doc

第14讲 相交线和平行线知识方法扫描1相交线两条直线相交,得到四个角,其中有一条公共边的两个角互为邻补角; 而没有公共边的两个角叫做对顶角, 对顶角相等.两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角，那么这两条直线互相垂直。垂线有如下的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线内各点的连线中，垂线段最短。2平行线在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线。经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。本节的重点是平行线的判定和性质，即：同位角相等，两直线平行；反之有：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；反之有：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；反之有：两直线平行，同旁内角互补。经典例题解析 例1求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。证明：如图，AB、CD相交于O，则AOC与BOD成对顶角。设OE、OF分别为AOC、BOD的平分线， AOE=AOC BOF=BOD ，且 AOC=BOD AOE=BOF又 BOF+FOD+DOA=180 AOE+FOD+DOA=180，即 EOF=180 OE、OF在同一直线上。例2如果一个角的两条边分别同另一个角的两条边互相平行,那么这两个角之间有什么关系?答：这两个角相等或互补。（1）当组成这两个角的两对射线方向对应相同或相反时，这两个角相等，如下图中，1=2。（2）当组成这两个角的两对射线，一对方向对应相同，另一对方向相反时，这两个角互补。如下图中，1+2=180。例3（2005年第16届“希望杯”数学邀请赛试题）如图所示，两直线AB、CD平行，则解 如图，分别过E、F、G、H作AB、CD的平行线，则相邻两条平行线之间的一对同旁内角之和是180。，共有5对同旁内角，所以 故选（B）.例4（第12届“希望杯”初一第1试）已知,，证明证明 过C点作CFAB（如图），则CFABED例5如图，已知ADBC，EFBC，BEF=ADG，求证: DGBA。证明ADBC，EFBC，EFAD, BEF=BAD.BEF=ADG，ADG=BAD ,DGBA。例6（第4届全国初中数学公开赛试题）如图，六条直线满足交于一点，则图中同旁内角的对数是 。解 一个“三线八角”的图形，是由两条被截直线和一条截线组成，其中有两对同旁内角下面我们先按截线来分类计算“三线八”的图形的个数：截线为被截直线可为共有5个“三线八角”的图形。截线为被截直线可为共有6个“三线八角”的图形截线为同，共有5个“三线八角”的图形 。截线为同，共有6个“三线八角”的图形，截线为被截直线可为共有9个“三线八角”的图形截线为被截直线可为共有10个“三线八角”的图形 所以一共有5+6+5+6+9+10=41个“三线八角”的图形，从而有82对同旁内角例7（2006年第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题）平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36度，请说明理由解 任取一点O，过O作5条直线分别与已知的5条直线平行所得的5条直线将O点处的周角分为10个角，其中必有一个即已知5条直线所成的角中有一个不超过36例8 （1998年第9届“希望杯”数学邀请赛试题）（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法.（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交？如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.解（a）如图，在平面上作二直线m1m2m3，n1n2m3。由于彼此平行的直线不相交，所以图中每条直线都恰与另3条直线相交.（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点. 我们按直线去计数这些交点，共有3721个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为个，因交点个数应为整数，矛盾。（ 所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。原版赛题传真同步训练一选择题1（1991年第2届希望杯数学邀请赛试题）两条相交直线所成的各角中( )。（A）必有一个钝角（B）必有一个锐角（C）必有一个不是钝角（D）必有两个锐角1C 2 (2003年第8届全国公开赛试题)对于下图，有以下列判断：1与3是内错角；2与3是内错角；2与4是同旁内角；2与3时同位角. 其中，正确的说法有（ ）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2C 只有与正确。3（2000年第11届希望杯数学邀请赛试题）若平行直线EF和MN与相交直线AB,CD相交，图中所示的同旁内角共有( )（A）4对.（B）8对.（C）12对.（D）16对.3D 凡出现一个“两条直线被第三条直线所截”的图形，就对应两对同旁内角。这个图中出现了8个“两条直线被第三条直线所截”的图形，共有同旁内角16对4（2005年“五羊杯”数学竞赛试题）如图，已知的三等分线是又若则的度数为( )4. A5如图, 已知FDBE, 则ACDABHBAC（ ）（A）90（B）135（C）150（D）1805. D过A作MNBE, ACD=180-CAN, ABH=AGF=180-GAMCAN+GAM=180-GAMACDABHBAC (180-CAN)+( 180-GAM) BAC 180二 填空题6（1990年武汉市初中数学竞赛试题）如果一条直线上有两点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线的位置关系是_.6平行或相交.7（1994年缙云杯初中数学竞赛试题）如果两个角的两边分别平行，且一个角是另一个角的3倍少30，则这两个角的度数分别为 .715，15；52.5，127.5.当两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补。若这两个角相等，设它们均为x度，则x=3x-30, x=15;若这两个角互补,设它们为x度和(180-x) 度，则180-x =3x-30,x=52.5, 180-x=127.5故这两个角均为15度或一个是52.5度，一个是127.5度。8（1998年成都市初中数学竞赛试题）如图,已知AE平分BAC，BEAE，垂足为E，EDAC，BAE=36， 那么BED= 度。8126 9在同一平面内有2008条直线：a1,a2,a2008,如果a1a2，a2a3，a3a4，a4a5，那么a1与a2008的关系是_.9a1a2008 10如图, 已知CBAB, CE平分BCD, DE平分CDA, EDCECD90, 那么A= .10. 90因 EDCECD90, 又CE平分BCD, DE平分CDA, 故 ADCBCD180, 所以ADBC,故 A=B=90.三 解答题11(1994年天津市初二数学竞赛)如图所表示的各角，找出所有的同位角、内错角、同旁内角解 同位角：1和3；1和5；1和8；1和7+8；2和4；3和5 内错角：3和6；2和7；4和8；5和7；5和6+7；2和7+8.同旁内角：1和2；1和6；1和4；1和6+7；2和6；3和7；3和4；4和7；4和6+7；5和8；3和7+812（1989年武汉市初二数学竞赛试题）如图,ABCD.EAF=EAB,ECF=ECD,求证:AFC=AEC.12过E作EMAB，过F作FNAB，则ABEMFNCD。AEM=EAB，CEM=ECD，AFN=FAB，CFN=FCD因EAF=EAB，故FAB=EAB，同理FCD=ECD所以AFC=AFN+CFN=FAB+FCD=EAB +ECD=（AEM+CEM）=AFC。13（1994年缙云杯初中数学竞赛试题）求证:两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线必互相垂直.已知: 如图,ABCD,1=2,3=4.求证: EKFK.13 过K作KHAB,则有1=5,4=6, ABCD, BEF+EFD=180, 1=BEF, 4=EFD, 1+3=90, 5+6=90,即 EKFK.14已知:如图, ADBC， AD是 EAC的平分线，求证: B=C。14ADBC， EAD=B，CAD=C。AD是 EAC的平分线，EAD=CAD，B=C。15平面上有5条直线，证明：一定可以在这5条中找到3条。它们或者两两相交，或者两两平行。15.（1）若这5条直线中已有