第二章 测量误差分析处理.ppt

第二章测量误差和数据处理 第一节测量误差的来源第二节随机误差分析第三节系统误差分析第四节误差的合成 间接测量的误差传递与分配第五节测量数据的处理 难点重点 正态分布的标准差 近似标准差 贝塞尔公式 直接测量的数学表达式误差的合成间接测量误差的传递 第一节测量误差的来源 1 仪器误差2 人员误差3 环境误差4 方法误差 只有随机误差 累进系统误差 恒定系统误差 周期性系统误差 第二节随机误差分析 就单次测量而言 随机误差没有规律 但当测量次数足够多时 则服从正态分布规律 随机误差的特点为对称性 有界性 单峰性 抵偿性 问题 测量总是存在误差 而且误差究竟等于多少难以确定 那么 从测量值如何得到真实值呢 例如 测量室温 6次测量结果分别为19 2 19 3 19 0 19 0 22 3 19 5 那么室温究竟是多少呢 x A 置信概率为px的真值落在 A A 区间内的概率为p A和 如何确定呢 一 测量值的数学期望和标准差 1 数学期望对被测量x进行等精度n次测量 得到n个测量值x1 x2 x3 xn 则n个测得值的算术平均值为 当测量次数时 样本平均值的极限定义为测得值的数学期望 当测量次数时 测量值的数学期望等于被测量的真值 数学期望 根据随机误差的抵偿特性 当时即 所以 当测量次数时 测量值的数学期望等于被测量的真值 分析 数学期望 2 剩余误差 残差 当进行有限次测量时 测得值与算术平均值之差 数学表达式 对上式两边求和得 所以可得剩余误差得代数和为0 4 标准差 标准误差 均方根误差 对方差开平方 反映了测量的精密度 小表示精密度高 测得值集中 大 表示精密度底 测得值分散 3 方差 二 随机误差的正态分布分析 1 正态分布高斯于1809年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式 称高斯分布规律 随机误差 标准误差 曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率 例如 从正态分布曲线可看出 绝对值越小 愈大 说明绝对值小的误差出现的概率大 大小相等符号相反的误差出现的概率相等 愈小 正态分布曲线愈尖锐 愈大 正态分布曲线愈平缓 说明 反映了测量的精密度 1 2 2 极限误差 从上式可见 随机误差绝对值大于3 的概率很小 只有0 3 出现的可能性很小 因此定义 随机误差的特点 单峰性误差绝对值越小 出现密度越大 误差绝对值越大 出现密度越小对称性绝对值相同 符号相反的误差出现的概率相等抵偿性当测量次数n 时 误差总和为零有界性误差落 3 3 的概率为0 99733 也称为极限误差或者误差限 3 贝塞尔公式 采用残差代替随机误差 2 有限次测量标准误差的最佳估计值 近似标准误差 1 标准差 标准误差 均方根误差 贝塞尔公式 3 算术平均值的标准差 4 平均值标准误差的最佳估计值 近似平均值标准误差 三 有限次测量下测量结果表达式步骤 1 列出测量数据表 2 计算算术平均值 3 计算和 置信概率0 9973 置信概率0 9545 置信概率0 6827 4 给出最终测量结果表达式 第三节系统误差分析 N t A x N t A x N t A x 累进系统误差 恒定系统误差 周期性系统误差 一 分类 恒定系统误差变化系统误差 二 系统误差的判断 1 理论分析法 可通过对测量方法的定性分析发现测量方法或测量原理引入的系统误差 2 校准和比对法 测量仪器定期进行校准或检定并在检定书中给出修正值 3 改变测量条件法 根据在不同的测量条件下测得的数据进行比较 可能发现系统误差 4 剩余误差观察法 根据测量数据列剩余误差的大小及符号变化规律可判断有无系统误差及误差类型 这种方法不能发现定值系统误差 三 消除系统误差产生的根源 要减少系统误差要注意以下几个方面 1 采用的测量方法及原理正确 2 选用的仪器仪表的类型正确 准确度满足要求 3 测量仪器应定期校准 检定 测量前要调零 应按照操作规程正确使用仪器 对于精密测量必要时要采取稳压 恒温 电磁屏蔽等措施 4 条件许可 尽量采用数显仪器 5 提高操作人员的操作水平及技能 四 削弱系统误差的方法 1 零示法 2 替代法 置换法 在测量条件不变的情况下 用一标准已知量替代待测量 通过调整标准量使仪器示值不变 于是标准量的值等于被测量 这两种方法主要用来消除定值系统误差 四 削弱系统误差的方法 3 利用修正值或修正因数加以消除 4 随机化处理5 智能仪器中系统误差的消除 1 直流零位校准 2 自动校准 四 削弱系统误差的方法 第四节误差的合成 间接测量的误差传递与分配 一 误差合成由多个不同类型的单项误差求测量中的总误差是误差合成问题 1 随机误差合成若测量结果中有k个彼此独立的随机误差 各个随机误差互不相关 各个随机误差的标准方差分别为 1 2 3 k则随机误差合成的总标准差 为 若以极限误差表示 则合成的极限误差为 当随机误差服从正态分布时 对应的极限误差 1 随机误差合成 2 系统误差的合成 1 确定的系统误差的合成又称已定系统误差 是指测量误差的大小 方向和变化规律是可以掌握的 只要是已定的系统误差 都应当用代数的方法计算其合成误差 表达式 由于所得结果是明确大小和方向的数值 故可直接在测量结果中修正 在一般情况下最后测量结果不应含有已定系统误差的内容 2 不确定系统误差的合成 不确定系统误差又称未定系统误差 指测量误差既具有系统误差可知的一面 又具有不可预测的随机误差一面 在通常情况下 未定系统误差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围 绝对值合成法 当m大于10时 合成误差估计值往往偏大 一般应用于m小于10 表达式 2 方和根合成法 一般应用于m大于10 表达式 例5 0 5级 量程0 600kPa 分度值2kPa h 0 05m 读数300kPa 指针来回摆动 1个格 环境温度30 C 偏离1 C的附加误差为基本误差的4 1 仪表精度等级引起的误差 2 读数误差 即分度误差 2kpa 3 环境温度引起误差 4 安装位置引起的误差 前三项属于未定系统误差 最后一项属于已定系统误差 前三项按绝对值合成法 3 随机误差与系统误差的合成 其中 为已定系统误差 e为未定系统误差 l为随机误差的极限误差 二 间接测量的误差传递 研究函数误差一般有以下三个内容 已知函数关系及各个测量值的误差 求函数即间接测量的误差 已知函数关系及函数的总误差 分配各个测量值的误差 确定最佳测量条件 使函数误差达到最小 1 函数误差传递的基本公式 假设间接测量的数学表达式为 将上式按泰勒级数展开 直接测量值 间接测量值 略去高阶项绝对误差 相对误差 1 函数误差传递的基本公式 2 系统误差的函数传递 当系统误差为已定系统误差时将各直接测量的系统误差代入上式计算即可 当系统误差为未定系统误差 当各分项数小于10可采用绝对和法 当各分项数大于10可采用方和根法 绝对和法 方和根法 1 和差函数的误差传递设 则绝对误差 若误差符号不确定 相对误差 2 积函数误差传递设 则绝对误差 若误差符号不确定 相对误差 3 商函数误差传递设 则绝对误差 相对误差 若误差符号不确定 4 幂函数的误差传递设 则绝对误差 相对误差 若误差符号不确定 例6 已知 R1 1k R2 2k 求 解 结论 相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差保持不变 例7 温度表量程为100 精度等级1级 t1 65 t2 60 计算温差的相对误差 解1 已知 求 解 例8 3 随机误差的函数传递 已知各个直接测量的标准误差 则 部分误差 相对误差 三 间接测量的误差分配 解决误差分配问题 通常采取的方法为 等作用原则 调整原则 所谓等作用原则 即假设各直接测量的部分误差相等D1 D2 Dn 按照等作用原则进行误差分配并不合理 主要原因 在实际应用中 有些量达到高精度测量比较困难 要付出很高代价 而有些则相对较容易 故需要根据实际情况进行调整 例9 散热器装置 设计工况L 50L h 进出口温差 按照题意 误差应写成极限误差的形式 即 分析 直接测量为流量L 散热器进出口温度t1 t2 间接测量为热量Q 要求测量误差小于等于10 按照等作用原则 可得流量及温差的部分误差分别为7 1 再根据实际情况选择调整 第五节测量数据的处理 一 有效数字的处理1 有效数字 从数字的左边第一个不为零的数字起 到右面最后一个数字 包括零 止 2 舍入原则 小于5舍 大于5入 等于5时采取偶数法则 12 5写作12 13 5写作143有效数字的运算规则 运算时各个数据保留的位数一般以精度最差的那一项为基准 加减法运算以小数点后位数最少的为准 乘除法运算以有效数字位数最少的数为准 乘方 开方运算结果比原数多保留一位有效数字 二 等精度测量结果的处理 处理步骤 1 利用修正值等方法对测得值进行修正 将数据列成表格 3 列出残差 并验证 2 求算术平均值 4 计算标准偏差 5 按照原则判断测量数据是否含有粗差 若有则予以剔除并转到2从新计算 直到没有坏值为止 6 根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差 若有应查明原因 消除后从新测量 7 求算术平均值的标准偏差 8 写出最终结果表达式 二 等精度测量结果的处理 例题 使用某水银玻璃棒温度计测量室温 共进行了16次等精度测量 测量结果列于表中 该温度计的检定书上指出该温度计具有0 05 的恒定系统误差 请写出最后的测量结果 例题解答 1 例题解答 2 判断是否存在粗大误差修正恒定系统误差求出算术平均值 205 30 计算残差 列于表中计算标准偏差 最佳估计值 判断有无坏值 剔除坏值 重新计算残差 列于表中 重新计算标准偏差 对残差做图 判断有无系统误差 计算算术平均值的标准偏差 最佳估计值 写出测量结果 例题解答 3 作业1 1 某蒸汽供热系统的蒸汽压力控制指标为1 5Mpa 要求指示误差不大于 0 05Mpa 现用一只刻度范围为0 2 5Mpa 精度等级为2 5级的压力表 是否满足使用要求 为什么 应选用什么级别的仪表 2 测量孔板内径得测量数据为 25 34 25 45 24 97 24 86 25 23 24 89 25 06 24 91 25 13 单位mm 试求孔板的真实内径 3 采用仪表精度等级均为1级的表间接测量电阻上