第2章系统零输入响应.ppt

第2章连续信号与系统的时域分析 本章知识点先导案例2 1系统微分方程的建立及算子表示2 2系统的零输入响应2 3单位冲激函数2 4系统的单位冲激响应和零状态响应2 5卷积积分2 6系统的时域分析法举例 1 掌握微分方程的建立及算子表示 2 系统的零输入响应 3 单位冲激函数 4 系统的单位冲激响应和零状态响应 5 卷积积分 6 系统的时域分析法 返回 第2章连续信号与系统的时域分析 2 1系统微分方程的建立及算子表示 2 1 4系统方程的算子表示法如上面所示 描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微分方程形式看起来很复杂 为了方便起见 把微分算子用符号p来代表 如令 通过引入算子符号 可以把微积分方程在形式上变成代数方程 它的优点一是简化方程的列写 特别是联立方程消元 一是通过引入系统转移算子H p 的概念 便于形成系统分析的统一的方法 先引入算子的定义 再由定义导出其 运算 规则 最后介绍如何用算子法列写微分方程 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 1 算子的定义1 微分算子p2 积分算子 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 例2 2用算子法表示下面的微分方程 解 根据微分算子与积分算子的定义 上式可表示为 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 还可以将上式改写为 对于n阶系统 若设y t 为响应变量 f t 为激励 则系统微分方程的一般形式为 用微分算子p表示则为或写为 又可写为 2 1系统微分方程的建立及算子表示 式中 其中 b0 bm是常数 an 1 a0是常数D p 称为系统或微分方程式的特征多项式 2 1系统微分方程的建立及算子表示 2 1系统微分方程的建立及算子表示 例2 3利用广义微分算子与广义积分算子来表示下面的微分方程 解 由广义微分算子与广义积分算子可写微分方程的算子方程如下其中 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 5 转移算了H p 其意义为 若即表示 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 例2 4求下面微分方程的转移算子H p 解 可将上述方程改写为根据转移算子的定义 上式可进一步表示为 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 也即2 算子的运算规则 1 由P的多项式所组成的运算符号可以像代数式那样相乘和因式分解 特殊情况 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 特殊一 这里也像代数式中一样 分了分母中的p可以消去 但是这单除非x 0 否则分母和分子中的p就不能消去 这表明在一般情况下 有 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 特殊二 若将式两边积分 可得 c为积分常数 对于等式px py 双方的算子p一般也不好消去 以上讨论说明 代数量的运算规则对于算子符号一般也可以用 只是在分子分母中或在等式两边中的算子符号不能随便消去 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 3 算子方程组的消元为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组得到一个形式为的一元n阶算了方程 必须将原方程组中除响应变量 y t 以外的其他未知量系统消去 在掌握了算子的运算规则之后 就可以较为方便地做到这一点 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 例2 5列写图2 3所示电路的算子方程组 并分别求出由激励f t 至响应i1 t 与i2 t 的转移算子H1 p 与H2 P 解 用网孔分析法列写电路方程组为了分别求得i1 t i2 t 与f t 之间的关系 必须将另外一个变量消去 消去i2 t 得到关于i1 t 的方程 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 即可得用同样的方法 可以将i1 t 消去 得到关于i2 t 的算子方程 上一页 下一页 返回 2 1系统微分方程的建立及算子表示 即可得 上一页 返回 2 2系统的零输入响应 一 定义 系统在无外加激励作用下 仅由系统的初始状态所引起的响应称为系统的零输入响应 记为yx t 系统的零输入响应完全由系统的结构与状态决定 而与激励信号无关 在式 2 8 中令f t 0 得到齐次方程yx t 就是齐次方程 2 11 的解 下一页 返回 其中 D p 称为系统的特征多项式 方程D p 0叫做系统的特征方程 特征方程的根称系统的特征根 先来讨论比较简单的一阶 二阶齐次方程的情况 然后推广至n阶方程 2 2系统的零输入响应 2 2系统的零输入响应 2 2 1一阶与二阶齐次方程的解一阶齐次方程的一般形式为即通过分离变量 上式可改写为 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 对两边积分得其中 k是积分常数 从而可得其中 C ek是待定系数 由系统的初始条件决定 例如 将初始状态yx o 代入式 2 14 即可得 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 从而得到一阶齐次方程的解为二阶齐次方程的一般形式为其中 a b是常数 其算子方程为 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 将上式中的D p 作因式分解从而将式 2 16 改写为不难看出 1与 2是特征方程D p 0的两个特征根由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 它们的解分别为其中 C1 C2为待定系数 显然 yx1 t 与yx2 t 都是解 且彼此线性无关 因此零输入响应的计算通式为如果给定初始状态为 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 将这些条件代入式 2 19 及其微分式可得解之 可得Cl与C2的具体数值 从而最后确定yx t 例2 6某系统输入 输出微分算子方程为己知初始条件yx 0 3 y x 0 6 求系统的零输入响应yx t 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 解 由题意知因为所以把yx 0 3 y x 0 6 代入上式可得所以系统的零输入响应为 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 2 2 2n阶齐次方程的解上述二阶方程的解 可以推广至n阶方程即首先求出特征方程的n个根 1 2 n 然后将式 2 20 改写为 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 2 1是一个k重根 即则方程的解就变成其中 待定系数可由初始状态 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 例2 7己知系统的方程为初始状态为 求系统的零输入响应yx t 解 令f t 0 得齐次方程将D p 作因式分解得 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 可见 系统的特征根 1 1是单根 而 2 3是一个二重根 据此可写出yx t 为将初始状态代入上式得解之得因此 系统的零输入响应为 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 2 2 3由H p 求系统的零输入响应转移算子从以上的讨论可以看出 只要己知系统的特征多项式D p 及初始状态 就可以求出系统的零输入响应 因此 知道系统的转移算子H p 和初始状态 也就可以直接求出yx t 前面己指出 转移算子是一种把输入与响应联系起来的系统数学模型的简洁表示 即 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 因此 只要知道H p 就可以从它的分母D p 求出系统的特征根 亦即H p 的极点 1 n 从而写出系统的零输入响应的一般式再根据初始状态 求出待定系数Cj j 1 n 最后确定yx t 下面再来看看具体例子 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 例2 8己知系统微分方程为初始状态 计算零输入响应 解 用算子表示原微分方程 得转移算子容易看出 转移算了的极点为 1 2 2 3 从而可以直接写出y t 的零输入响应为 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 将初始状态代入上式得解之得将C1与C2代入yx t 得 上一页 下一页 返回 2 2系统的零输入响应 2 2 4算子法求解yx t 的步骤第一步 将D p