范数及条件数.ppt

5 4向量的范数与矩阵的范数在线性方程组的数值解法中 经常需要分析解向量的误差 需要比较误差向量的 大小 或 长度 那么怎样定义向量的长度呢 我们在初等数学里知道 定义向量的长度 实际上就是对每一个向量按一定的法则规定一个非负实数与之对应 这一思想推广到n维线性空间里 就是向量的范数或模 用Rn表示n维实向量空间 用Cn表示n维复向量空间 首先将向量长度概念推广到Rn 或Cn 中 1 向量的范数向量的范数可以看作是描述向量 大小 的一种度量 范数的最简单的例子 是绝对值函数 有三个熟知的性质 1 x 0 x 0 x 0当且仅当x 0 2 ax a x a为常数 3 x y x y 1 向量的范数范数的另一个简单例子是三维欧氏空间的长度设x x1 x2 x3 则x的欧氏范数定义为 欧氏范数也满足三个条件 x y R3 a为常数 1 x 0 且 x 0 x 0 2 ax a x 3 x y x y 前两个条件显然 第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它两边长度之和 因此 称为三角不等式 向量范数的一般概念 定义1 设V是数域F上的向量空间 对V中任一向量 都有唯一实数 与之对应 满足如下三个条件 1 正定性 0 且 0 02 齐次性 k k 这里k F3 三角不等式 则称 为 的范数 定义了范数的向量空间称为赋范向量空间 简单性质 1 x 0 单位向量 2 x x 3 x y x y 当x y时 x y Cn上的常见范数有 1 1 范数2 2 范数称为欧氏范数3 范数不难验证 上述三种范数都满足定义的条件 注 上述形式的统一 1 p 例设x 1 0 1 2 T 计算 解 1 0 1 2 4 有了范数的概念 就可以讨论向量序列的收敛性问题 定义2 设给定Cn中的向量序列 xk 即x0 x1 xk 其中若对任何i i 1 2 n 都有则向量称为向量序列 xk 的极限 或者说向量序列 xk 依坐标收敛于向量x 记为 定理5 定义在Cn上的向量范数 x 是变量x分量的连续函数 f x x 定理6 在Cn上定义的任何两个范数都是等价的 即存在正数k1与k2 k1 k2 0 对一切x Cn 不等式k1 x b x a k2 x b成立 对常用范数 容易验证下列不等式 矩阵的范数 矩阵的范数性质 矩阵的范数性质 续1 矩阵范数 常见的矩阵范数 对称矩阵范数 例题 矩阵的谱半径 例题 谱半径 矩阵的谱半径 例 设A aij n n A 为其算子范数 如果 A 1 则I A可逆 且 5 5误差分析 求解时 A和的误差对解有何影响 设A精确 有误差 得到的解为 即 绝对误差放大因子 又 相对误差放大因子 设精确 A有误差 得到的解为 即 大 只要 A充分小 使得 cond A 取决于A 与解题方法无关 常用条件数有 cond A 1 cond A cond A 2 特别地 若A对称 则 条件数的性质 A可逆 则cond A p 1 A可逆 R则cond A cond A A正交 则cond A 2 1 A可逆 R正交 则cond RA 2 cond AR 2 cond A 2 精确解为 A 1 解 考察A的特征值 39206 1 测试病态程度 此时精确解为 2 0102 200 cond H2 27 cond H3 748 cond H6 2 9 106 cond Hn asn 注 一般判断矩阵是否病态 并不计算A 1 而由经验得出 行列式很大或很小 如某些行 列近似相关 元素间相差大数量级 且无规则 主元消去过程中出现小主元 特征值相差大数量级 近似解的误差估计及改善 设的近似解为 则一般有 cond A 改善方法 步骤1 近