拉普拉斯转换.doc

拉普拉斯转换（Laplace Transform） 通常来说，一般我们日常生活中所接触到的信号，大都是以时间的函数来表示，因为这具有一般人可以理解的物理上直观的意义。可是因为信号在系统中相关的分析与应用上的需要，常常就必须使用其它的方式来表示这些信号。之前，在本电子报中所提到的傅立叶转换（Fourier transform），就是以频率的形式来表示信号的有效方法。在这篇文章中，我们将介绍另一种表示信号的方式，那就是十八世纪法国著名数学家拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace）在他的著作“Theorie analytique des probabilities”中所提出的拉普拉斯转换（Laplace transform）（以下简称为拉氏转换）。在拉氏转换相对应的空间领域里，通常惯用以变量符号的函数来作为信号的表述。而在事实上，由于拉氏转换拥有一对一的对应特性，因此并不会造成信号转换之间的混淆。换句话说，一个以时间函数所表示的信号，就只会有一个与其相对应的拉氏转换表述函数，但是特别要注意的是，并非所有的时间信号都会存在有与其相对应的拉氏转换。一般在拉氏转换的定义上，我们会有下列数学积分运算的关系式此外，我们也会把下列表述的关系式称做为一组拉氏转换对组（Laplace transform pair）其中符号表示的是拉氏转换的积分运算，而符号被称做反拉氏转换（inverse Laplace transform），也就是拉氏转换的逆运算。举例来说，当时间函数的时候，其相对应的拉氏转换经过上述计算后，就可以被表示成；而当信号被选为一个指数函数的形式时，也就是，它的拉氏转换就可以经计算而被写成。为了拉氏转换在使用上的方便，一些常用的时间函数信号的拉式转换，都可以直接从登载有拉式转换对组的转换表上查得。表(一)列出了一些常用的时间函数信号的拉氏转换对组，其中相关的系数和可以是任意的实数。表(一) 常用的时间函数信号的拉氏转换对组拉氏转换中的变量符号，基本上可以当作一个复数来看待，也就是可以写成，其中和都是实数，而。当选定时，也就是说变成只剩下这一项，如果把这个关系式代回去上述的拉氏转换数学式，那么整个式子就会变成了一般傅立叶转换的表述式。从这个层面来看，拉氏转换其实就可以称做是广义的连续时间（continuous time）的傅立叶转换。所以在傅立叶转换中所拥有的一些重要特性，譬如说线性加成（linearity）、时间微分（time differentiation）、时间积分（time integration）与回旋积分（convolution）等特性，拉氏转换也同样会拥有这些性质。我们在此把这几个重要定理依序在表(二)中列出来，其中相关的系数和可以是任意的实数。表(二) 拉氏转换的一些重要定理接着下来，我们就来讨论拉氏转换究竟有什么用途。简单来说，拉氏转换最大的好处就是它能够把较为复杂的关于积分与微分的问题，转变成运用比较容易计算的代数方法来解决。因此，在拉式转换的广泛应用上，通常是被使用来解决下列几种形式的问题：用来解常数系数（constant coefficient）的线性微分或积分方程式。用来分析线性非时变系统（linear time-invariant system）的输入与输出信号之间的关系。就让我们在这里举两个例子来看看如何有效的运用拉氏转换。 首先，我们来介绍如何利用拉氏转换来解一个线性微分方程式。假设现在有一个待解的微分方程式如下所示：利用拉氏转换在表(一) 与表(二)所列的关系式，我们先在这个微分方程式等号的两边取各自的拉氏转换，然后就可以得到以下的式子：因为的拉氏转换是，我们将这个结果与初始值代回去上述式子，经过移项整理后，我们可以得到接着在等号的两边除以“”这一项，经过进一步的整理可得既然是为一组拉氏转换对组，所以微分方程式的解就可以直接从上述的取反拉氏转换来获得，也即是因此，我们仅只使用代数四则运算的方法，以及查对拉氏转换的对组和定理，微分方程式的解就这么轻而易举的获得了。这个以拉氏转换来求解线性微分方程式的所有演算程序，即如图(一)中的红色箭号所示。傳統方法代數方程式解答的拉氏轉換數值方法代數運算微分方程式包括初始值得到解答图(一)利用拉氏转换解线性微分方程式的过程 接下来的这个例子，我们将要讨论利用拉氏转换来分析线性非时变系统的输入与输出信号之间的关系。在一般的线性非时变系统中，通常会使用图(二) 的方块图来表示输入与输出信号与系统之间的关系，其中是输入信号，是输出信号，是表示系统特性的脉冲响应（impulse response），而、和分别代表是它们相对应的拉氏转换表述。图(二)线性非时变系统输入与输出信号方块图在上述图(二) 的系统中，输入与输出信号在时域定义里相互之间的关系，可以用下列回旋积分的式子来表示：如果微积分的相关计算学得不太好的话，这个式子可能就不太有机会算得出来了。所幸我们可以利用拉式转换在表(二)中的特性，把这个复杂的积分式子转变成代数演算的问题来处理，也就是说：等到我们先将和的拉式转换表述项和相乘后，再取这整个乘积式子的反拉式转换，这样就可以得到我们想要得到的系统输出了。现在让我们举一个例子来试看看，假设在图(二) 的线性非时变系统中，所使用的输入信号是，并且，而表示系统特性的脉冲响应为，那么此时的系统输出信号是什么呢？当然，如果利用回旋积分的定义，输出信号就可以由下列关系式来求得：看来这个积分式子并不是三两下就可以被解答的。如果我们想直接利用拉式转换来解决这个问题，我们可以先找出和的拉式转换对应项，它们分别是和，然后把这两项相乘可得最后取上述式子的反拉式转换，我们就可以得到如下的系统输出总之，我们仅只使用代数运算的法则，以及查表找出拉氏转换的对组和定理，就这么轻而易举的得到了线性系统的输出信号。这个以拉氏转换来找出线性系统输出响应的所有演算过程，即如图(三)中的红色箭号所示。 图(三)利用拉氏转换来寻找线性系统的输出响应 看了以上几个运用拉氏转换的例子，想来大家己经能够感受到拉氏转换好用的地方。除了上述的几种应用之外，拉氏转换还可以用来探讨电阻-电感-电容的电路（RLC circuit）分析问题，也可以被使用来求取系统的转移函数（transfer function），进而利用它来决定系统的稳定性（stability）及频率响应（frequency response）。由于篇幅限制的因素，在此我们就不再多做叙述，有兴趣的读者可以去看看下列的参考书籍。总而言之，如果能够有效的活用拉氏转换这个数学工具，那么许多与微分或积分相关的复杂问题，都可以利用代数运算的方法简单地来分析与解答。参考书籍1 Abell, M. L. and Braselton, J. P. (1996). Modern Differential Equations: Theory, Applications, Technology. Orlando, FL: Saunders College Publishing.2 Lindner, D. K. (1999). Introduction to Signals and Systems. WCB/McGraw-Hill.3 Oppenheim, A. V., Willsky, A. S. and Nawab, S. H. (1997). Signals & Systems, 2nd ed. (International ed.) Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall Inc.4 Strum, R. D. and Kirk, D. E. (2000). Contemporary Linear Systems Using M