第八章 位移分析与刚度设计 - 1.ppt

第八章位移分析与刚度设计 8 1杆件微段的位移微分方程及其积分 8 2用叠加法求杆的变形 8 3刚度设计 当杆件承受轴向载荷时 其轴向与横向尺寸均发生变化 杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形 与之垂直方向的变形称为横向变形 8 1 1杆件的拉压变形 8 1杆件微段的位移微分方程及其积分 EA 称为杆件的拉压刚度 对于承受轴向分布力的杆件 杆件的伸长量 微段的伸长量 杆件总的伸长量 等截面直杆 轴力为常量 C为积分常数 由杆件的约束条件确定 杆件横截面的位移 积分得到 2 求各段应力 AB FNAB A1 40 103N 320 10 6 m2 125 106Pa 125MPa BC FNBC A2 40 103 800 10 6 50MPa CD FNCD A2 48 103 800 10 6 60MPa 解 1 求内力 轴力 例杆AB段为钢制 横截面积A1 320mm2 BD段为铜 A2 800mm2 E钢 210GPa E铜 100GPa l 400mm 求杆各段的应力 应变和总伸长量 AD 画轴力图 4 杆的总伸长为 lAD lAB lBC lCD 0 68mm 2 求各段应变 eAB sAB E钢 125 210 103 0 6 10 3 3 求各段伸长 注意 l el sl E FNl AE lAB eABlAB 0 6 10 3 400mm 0 24mm lBC eBClBC 0 2mm lCD eCDlCD 0 24mm eBC sBC E铜 50 100 103 0 5 10 3eCD sCD E铜 0 6 10 3 例 一线弹性等直杆受自重和集中力作用 杆的长度为l 抗拉刚度为EA 材料的体积质量为 试求 1 杆中间截面C以及自由端截面B的位移 2 杆CB段的伸长量 解 1 求任一横截面的轴力 2 求杆沿轴线方向的位移 边界条件 固定端处的位移 0 X 0 C 0 X l 2 X l 3 CB段的伸长量 则 C截面位移 B截面位移 表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角 因此沿x积分即可得到相距为l的两个横截面的相对扭转角为 圆轴扭转变形的特征是两个横截面绕轴线发生相对转动 设等截面圆杆受一对扭转力偶矩作用 在讨论圆轴的应力计算时 曾得到 或写作 8 1 2圆杆的扭转变形 对于扭矩T 切变模量G及极惯性矩Ip都不随轴线变化的情况 两截面的相对扭转角为 若轴上作用几个不同的扭矩 或者横截面面积或剪切模量在不同的区段发生突变 而在每一个区段内上述参数为常值 也可利用上式分段求解 然后进行叠加 即 例 图示为一圆截面轴 受扭转力偶矩 与作试计算该轴的总扭转角 即截面C对截面A的相对转角 解 扭转变形分析 利用截面法 得两段的扭矩分别为 设上述二段轴的扭转角分别为和 由叠加原理可知杆的总转角为 例 钻杆横截面直径为20mm 在旋转时BC段受均匀分布的扭矩me的作用 已知使其转动的外力偶矩Me 120N m 材料的切变模量G 80GPa 试求钻杆两端的相对扭转角 解 1 地层对钻杆的阻力沿杆长方向均匀分布 列平衡方程 求me 2 求相对扭转角AB段任一截面上的扭矩T MeBC段任一截面的扭矩则得 一 挠度与转角由于外力的作用 梁的轴线将由直线变为曲线 变形后梁的轴线称为挠曲线 它是一条连续光滑的曲线 对于平面弯曲问题 挠曲线为一平面曲线 且与外力在同一平面内 8 1 3梁的弯曲变形 梁的变形可用横截面形心的线位移与截面角位移表示 横截面的形心 即轴线上的点 在垂直于梁轴线方向的位移称为挠度 不同截面的挠度一般不同 如果沿变形前的梁轴线建立坐标轴 则挠曲线方程为 在实际工程中 转角 一般都很小 基本不超过1 或0 0175rad 由挠曲线方程得 横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率 挠度以向上为正 转角以截面逆时针转动为正 二 挠曲线的近似微分方程纯弯曲 用中性层曲率表示的弯曲变形公式为 由梁微段的弯曲变形关系 可以得到 对挠曲线近似微分方程求解 即可求得梁的转角方程和挠曲线方程 式中C和D为积分常数 可通过梁的边界条件来确定 对挠曲线近似微分方程进行两次积分可得 例如 固定端的挠度和转角均为零 铰支座处的挠度为零 边界条件 分段连续条件 M x 不同时 需分段积分 分段处必须保证左右挠度 转角连续 可确定增加的常数 例 悬臂梁受均布载荷 E 为常数 求自由端的挠度和转角 解 梁的弯矩方程 则梁的挠曲线微分方程为 考虑边界条件 将上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式 可得出积分常数为 再进行第二次积分得 对上式进行一次积分得 将积分常数代入挠度和转角的表达式可得转角方程 挠曲线方程为 根据挠度和转角的符号规定 上述结果表明转角为顺时针 挠度方向为向下 最后 把x l分别代入转角和挠曲线方程 就可得到梁自由端的转角和挠度 例 如图所示一简支梁 受一集中载荷F作用 为常数 试求此梁的最大挠度以及最大转角 解 考察距离端处的弯矩 因集中载荷把梁分为两段 各段弯矩方程不同 故需分别写出它们的弯矩方程 即 可得挠曲线的近似微分方程 分别积分两次可得 简支梁的边界条件 因有四个积分常数 只有两个边界条件是不可能解决的 要加上两个连续性条件 由此可确定积分常数 将积分常数代入转角和挠度的表达式 可得转角和挠度的方程 将和分别代入对应的转角方程 即可得左右支座处