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第二章行列式 行列式是代数学中一个重要的工具 利用它可以用来判断一个n阶矩阵是否可逆 可以导出一个矩阵的逆矩阵公式以及著名的克拉姆法则 这一章我们先给出二 三阶行列式的定义 在此基础上归纳出一般n阶行列式的定义 然后讨论行列式的基本性质及其应用 2 1行列式及其性质 在数学发展史上 行列式是通过解线性方程组的求解而引出的 以二元线性方程组 的求解为例 为了消去未知数x2 两式分别乘以 定义1 2 1 式中横写的叫行 竖写的叫列 其中的数称为行列式的元素如为二阶行列式的第一行第二列的元素 二阶行列式的运算规则 定义2 三阶行列式有3行3列 32个元素 其右端的算式由3 个项组成 其中每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 所有乘积项前所带的符号为正负号各半 即各为项 与二阶行列式相似 它可以由一个很简单的规则来说明 这就是三阶行列式的对角线法则 即如下所示 实对角线上三个元素之乘积前冠以正号 虚对角线上三个元素之乘积前冠以负号 再把这些乘积加起来 就得到 2 2 式 2 3 上述三阶行列式的值 也可以表示为 我们来分析一下 2 4 式 首先 2 4 式右端的三项是D3中第一行的三个元素分别乘一个二阶行列式 而使乘的二阶行列式是划去该元素所在的行与所在的列所组成 其次 每一项之前都要乘以 1和j正好是的行标和列标 按照这一规律 我们可以用三阶行列式定义出四阶行列式 以此类推 我们可以给出n阶行列式的定义 定义3 这种利用低阶行列式逐次地给出高一阶行列式的定义的方法 称为递归 推 定义法 定义4 为了简化上述定义中的展开式的书写 我们引入代数余子式
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