第七章 梁弯曲时位移计算与刚度设计2011.ppt

第七章梁弯曲时位移计算与刚度设计 本章重点1 积分法求梁的变形2 叠加法求梁的变形3 静不定梁解法4 梁的刚度设计 7 1积分法求梁的变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大 就会影响零件的加工精度 甚至会出现废品 桥式起重机的横梁变形过大 则会使小车行走困难 出现爬坡现象 但在另外一些情况下 有时却要求构件具有较大的弹性变形 以满足特定的工作需要 例如 车辆上的板弹簧 要求有足够大的变形 以缓解车辆受到的冲击和振动作用 一 挠曲线近似微分方程1 挠曲线 挠曲线 2 挠度和转角 规定 向上的挠度为正逆时针的转角为正 挠曲线方程 转角方程 挠度y f 横截面形心处的铅垂位移 转角 横截面绕中性轴转过的角度 3 梁的挠曲线近似微分方程 曲线的曲率为 梁纯弯曲时中性层的曲率 梁的挠曲线近似微分方程 式中积分常数C D由边界条件和连续条件确定 二 积分法求弯曲变形 约束对位移的影响 没有约束无法确定位移 约束对位移的影响 连续光滑曲线 铰支座对位移的限制 约束对位移的影响 连续光滑曲线 固定端对位移的限制 光滑连续条件 P C 例1 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和ymax 解 由边界条件 得 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 最大转角和最大挠度分别为 A B 例2 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和ymax 解 由边界条件 得 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 最大转角和最大挠度分别为 B 例3 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和ymax 解 由边界条件 得 由对称条件 得 AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为 最大转角和最大挠度分别为 例4 图示变截面梁悬臂梁 试用积分法求A端的挠度 解 AC段 CB段 由边界条件 由连续条件 得 AC段挠度方程为 令 得 7 2叠加法求梁的变形 在材料服从胡克定律 且变形很小的前提下 载荷与它所引起的变形成线性关系 当梁上同时作用几个载荷时 各个载荷所引起的变形是各自独立的 互不影响 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形 然后叠加 例5 用叠加法求 解 将梁上的各载荷分别引起的位移叠加 逐段刚化法 变形后 AB AB BC B C 变形后AB部分为曲线 但BC部分仍为直线 C点的位移为 wc 例6 求外伸梁C点的位移 l a C A B P 解 将梁各部分分别引起的位移叠加 1 BC部分引起的位移fc1 c1 2 AB部分引起的位移fc2 c2 C A B P B2 B2 例7 欲使AD梁C点挠度为零 求P与q的关系 解 例8 若图示梁B端的转角 B 0 则力偶矩m等于多少 解 例9 求图示梁C D两点的挠度fC fD 解 例10 求图示梁B D两处的挠度fB fD 解 qa B处约束力 例11 用叠加法求图示变截面梁B C截面的挠度fB fC P EI 2EI a a A B C 解 例12 用叠加法求图示梁 端的转角和挠度 P a a a A B C qa 解 例13 用叠加法求图示梁跨中的挠度fC和B点的转角 B k为弹簧系数 q A B C EI k l 2 l 2 解 弹簧缩短量 例14 图示梁 处为弹性支座 弹簧刚度求C端挠度fC q EI k a 2a A B C 解 1 梁不变形 仅弹簧变形引起的C点挠度为 2 弹簧不变形 仅梁变形引起的C点挠度为 3 C点总挠度为 例15 图示平面折杆AB与BC垂直 在自由端C受集中力P作用 已知该杆各段的横截面面积均为A 抗弯刚度均为EI 试按叠加原理求截面C的水平位移和铅垂位移 解 水平位移 铅垂位移 7 3静不定梁的解法 用 多余 反力代替 多余 约束 就得到一个形式上的静定梁 该梁称为原静不定梁的相当系统 亦称基本静定系 基本静定系可不止一个 例16 求图示静不定梁的支反力 q A B l 解法一 将支座B看成多余约束 变形协调条件为 解法二 将支座A对截面转动的约束看成多余约束 变形协调条件为 例17 为了提高悬臂梁AB的强度和刚度 用短梁CD加固 设二梁EI相同 试求 1 二梁接触处的压力 2 加固前后AB梁最大弯矩的比值 3 加固前后B点挠度的比值 P A B C D a a 解 1 变形协调条件为 2 3 自行完成 例18 图示结构AB梁的抗弯刚度为EI CD杆的抗拉刚度为EA 已知P L a 求CD杆所受的拉力 解 变形协调条件为 7 3梁的刚度设计 一 刚度条件 为了保证构件的刚度 通常将变形限制在一定的允许范围内 弯曲变形 限制其最大挠度和最大转角不超过允许值 梁的刚度设计准则 例19 某船厂用45a号工字钢制成吊车大梁 材料的许用应力 弹性模量E 200GPa 跨度L 10m 荷载P 50kN 梁的挠度许用值 考虑自重 试校核梁的强度和刚度 解 考虑自重 相当于梁上加一均布荷载q 查表 q 梁跨中点C挠度最大 梁满足强度和刚度要求 q 二 提高弯曲刚度的措