《数学课程标准（2011年版）》教研.ppt

1 义务教育数学课程标准 2011年版 课程基本理念解读与思考 武汉市江岸区小学教研室 2012年 进入课程改革的一个新时期 2011年12月28日 教育部颁布了 义务教育数学课程标准 2011年版 在内的19种课程标准 为落实课程标准 教育部强调 组织开展全员学习和培训 全面理解 准确把握修订后课程标准的精神实质和主要变化 根据修订后印发的各学科课程标准 组织教科书的修订和审查工作 今年秋季将在所有起始年级使用新教材 其他年级也要依据新课程标准组织教学 改进评价方法 加强组织领导 统筹规划 全面部署新课程标准的学习 宣传 培训和教研工作 确保新课程标准的全面落实 教基二司 2011 9号文 2011年12月28日 中国教育报 2012年2月8日CCTV1新闻直通车2月12日 2 3 义务教育数学课程标准 2011年版 该 课标 是在2000年颁布的 课标 实验稿 基础上修订而成 修订工作从2005年5月16日启动 2007年完成草稿后多方征求意见 多次修改 2010年底上报教育部 2011年4月教育部组织会议审议 再经教育部党组讨论通过 部长签发 课标 2011年版 已于2011年12月28日由教育部颁布 北师大出版社出版 课标 2011年版 的 解读 也将由北师大出版社出版 4 课程标准 是国家的法定文件 应该特别重视 我国基础教育现在实行 一纲多本 的政策 课标 的地位和重要性远远高于各出版社出版的教材 教师备课 应该避免 重教材 轻课标 的情况 看 课程标准 应该避免 重内容部分 轻理念部分 的情况 教材由于编写和审查需要时间 一本一本地逐年出版 不可能通过几次培训使自己的课堂发生翻天覆地的变化 但要坚持 等待 课程标准 对于教学内容 是按照学段表述的 不是按照年级表述的 5 学习的提纲 一 课标 2011年版 在理念上的变化二 课标 2011年版 四大领域的具体变化三 思考与建议 6 7 一 课标 2011年版 在理念上的变化 理念上的变化 数学是研究数量关系和空间形式的科学 原 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画 逐渐抽象概括 形成方法和理论 并进行广泛应用的过程 8 理念上的变化 人人都能获得良好的数学教育 不同的人在数学上得到不同的发展 知识技能 数学思考 问题解决 情感态度四个方面的课程目标的整体实现 是学生受到良好数学教育的标志 原 人人学有价值的数学 人人获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发展 9 理念上的变化 10个数学课程与教学中应当注重发展的核心概念 数感 符号意识 空间观念 几何直观 数据分析观念 运算能力 推理能力 模型思想 应用意识 创新意识 原 数感 符号感 空间观念 统计观念 应用意识 推理能力 10 理念上的变化 明确提出 四基 原 双基 基础知识和基本技能 11 双基 为什么要发展为 四基 双基 发展为 四基 在 课标 中的表述为 通过义务教育阶段的数学学习 学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识 基本技能 基本思想 基本活动经验 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 三维目标结合数学学科的特点的具体化 12 双基 的历史贡献应该肯定 但是 对于 双基 的内容 即对于什么是学生应该掌握的 基础知识 和 基本技能 在 知识爆炸 的时代 在现代信息技术突飞猛进的时代 在获取知识 技能的渠道大大增加的时代 应该与时俱进 过去提到数学的 双基 时 通常是指 数学的基本概念 基本公式 基本运算 基本性质 基本法则 基本程式 基本定理 基本作图 基本推理 基本语言 基本方法 基本操作 基本技巧 等等 13 许多年来 双基 概念一直在发展中深化 至2000年 中华人民共和国教育部制定的 九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲 试验修订版 中的表述 数学 基础知识是指 数学中的概念 法则 性质 公式 公理 定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法 基本技能是指 能够按照一定的程序与步骤进行运算 作图或画图 进行简单的推理 并且 双基 在此已经是与思维能力 运算能力 空间观念等相互联系表述的 在 知识爆炸 的时代 对于过去数学 双基 的某些内容 如繁杂的计算 细枝末节的证明技巧等 需要有所删减 而对于估算 算法 数感 符号意识 收集和处理数据 概率初步 统计初步 数学建模初步等 又要有所增加 这就是数学 双基 内容的与时俱进 14 为什么有了 双基 还不够 现在还要增加两条 成为 四基 第一 因为 双基 仅仅涉及上述三维目标中的一个目标 知识与技能 新增加的两条则还涉及三维目标的另外两个目标 过程与方法 和 情感态度与价值观 第二 因为某些教师有时片面地理解 双基 往往在实施中 以本为本 见物不见人 而教育必须以人为本 新增加的 数学思想 和 活动经验 就直接与人相关 也符合 素质教育 的理念 第三 因为仅有 双基 还难以培养创新性人才 双基 只是培养创新性人才的一个基础 但创新性人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养 获得数学思想和数学活动经验等也十分重要 这就是新增加的两条 15 理念上的变化 明确提出 发现问题 提出问题 能力的培养 分析问题和解决问题固然重要 而发现问题和提出问题更是培养学生创新意识所需要的 16 17 二 课标 2011年版 四大领域的具体变化 内容上的变化 义务教育阶段数学课程内容分为 数与代数 图形与几何 统计与概率 和 综合与实践 四个方面 每一部分内部的结构和具体内容做了适当调整 原 数与代数 空间与图形 统计与概率 和 实践与综合应用 18 四大领域的具体变化 数与代数一 主要内容变化 原 数与代数 的内容主要包括数与式 方程与不等式 函数 它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型 可以帮助人们从数量关系的角度更准确 清晰地认识 描述和把握现实世界 新 数与代数 的主要内容有 数的认识 数的表示 数的大小 数的运算 数量估计 字母表示数 代数式及其运算 方程 方程组 不等式 函数等 19 数与代数二 总体目标变化 知识技能 原 经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程 掌握数与代数的基础知识和基本技能 并能解决简单的问题 新 经历数与代数的抽象 运算与建模等过程 掌握数与代数的基础知识和基本技能 数学思考 原 经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程 建立初步的数感和符号感 发展抽象思维 新 建立数感 符号意识 初步形成运算能力 发展形象思维与抽象思维 20 四大领域的具体变化 数与代数三 具体内容变化 第一学段 1 3年级 1 增加的内容在现实情境中理解万以内数的意义 知道用算盘可以表示数 能结合具体情境比较两个一位小数的大小 能比较两个同分母分数的大小 能口算一位数乘除两位数 认识小括号 能进行简单的整数四则混合运算 两步 21 四大领域的具体变化 数与代数三 具体内容变化 第一学段 1 3年级 2 一些目标的表述更加准确和完整将 结合现实素材感受大数的意义 改为 在生活情境中感受大数的意义 将 能结合具体情境进行估算 并理解估算过程 改为 能结合具体情境 选择适当的单位进行简单的估算 体会估算在生活中的作用 将 能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题 并能对结果的合理性进行判断 改为 能运用数及数的运算解决生活的简单问题 并能对结果的实际意义做出解释 将 发现给定的事物中隐含的简单规律 改为 探索简单情境下的变化规律 22 四大领域的具体变化 数与代数三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 1 删除的内容会口算百以内一位数乘 除两位数 比较百分数的大小 删去 能借助计算器进行复杂的运算 中的 较复杂的 删去 能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图 中的 有坐标系 23 四大领域的具体变化 数与代数三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 2 增加的内容经历与他人交流各自算法的过程 并能表达自己的想法 了解公倍数和最小公倍数 了解公因数和最大公因数 在具体情境中 了解常见的数量关系 总价 单价 数量 路程 速度 时间 并能解决简单的实际问题 结合简单的实际情境 了解等量关系 并能用字母表示 结合实际情境感受大数的意义 并能进行估计 认识中括号 在了解运算定律后增加 加法的交换律和结合律 乘法的交换律和结合律 乘法分配律 了解自然数 24 四大领域的具体变化 数与代数三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 3 一些目标的表述更加准确和完整将 理解等式的性质 改为 了解等式的性质 将 会用等式的性质解方程 如3x 2 5 2x x 3 改为 能解简单的方程 如3x 2 5 2x x 3 将 会用方程表示简单情境中的等量关系 改为 能用方程表示简单情境中的等量关系 了解方程的作用 25 四大领域的具体变化 四大领域的具体变化 图形与几何一 主要内容变化 原 空间与图形 的内容主要涉及现实世界中的物体 几何体和平面图形的形状 大小 位置关系及其变换 它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具 新 图形与几何 的主要内容有 空间和平面的基本图形 图形的性质 分类和度量 图形的平移 旋转 轴对称 相似和投影 平面图形基本性质的证明 运用坐标描述图形的位置和运动 26 图形与几何二 总体目标变化 知识技能 原 经历探究物体与图形的形状 大小 位置关系和变换的过程 掌握空间与图形的基础知识和基本技能 并能解决简单的问题 新 经历图形的抽象 分类 性质探讨 运动 位置确定等过程 掌握图形与几何的基础知识和基本技能 数学思考 原 丰富对现实空间及图形的认识 建立初步的空间观念 发展形象思维 新 体会代数表示运算和几何直观等方面的作用 初步建立数感 符号意识和空间观念 发展形象思维和抽象思维 27 四大领域的具体变化 图形与几何三 具体内容变化 第一学段 1 3年级 1 增加的内容能在方格纸上画一个简单图形沿水平方向 竖直方向平移后的图形 将相关要求放在第二学段 能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形 将相关要求放在第二学段 会看简单的路线图 将相关要求放在第二学段 体会并认识千米 公顷 将相关要求放在第二学段 28 四大领域的具体变化 图形与几何三 具体内容变化 第一学段 1 3年级 2 降低要求对于 东北 西北 东南 西南 四个方向 不要求给定一个方向辨认其余方向 降低要求为 知道这些方向 29 四大领域的具体变化 图形与几何三 具体内容变化 第一学段 1 3年级 3 一些目标的表述更加准确和完整将 通过实物和模型辨认长方体 正方体 圆柱和球等立体图形 中的 立体图形 改为 几何体 辨认从正面 侧面 上面观察到简单物体的形状 改为 能根据具体事物 照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状 将 通过观察 操作 能用自己的语言描述长方形 正方形的特征 改为 通过观察 操作 初步认识长方形 正方形的特征 将 体会千米 米 厘米的含义 改为 体会并认识长度单位千米 米 厘米 将 指出并能测量具体图形的周长 改为 结合实例认识周长 并能测量简单图形的周长 将 能估计给定的长方形 正方形的面积 改为 能估计给定简单图形的面积 将 结合实例 感知对称现象 改为 结合实例 感知轴对称现象 30 四大领域的具体变化 图形与几何三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 1 删除的内容了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点 体会图形的相似 31 四大领域的具体变化 图形与几何三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 2 增加的内容会绘制并描述简单的路线图 能在方格纸上用数对来表示位置 知道数对 限于整数 与方格纸上点的对应 在具体情境中 体验利用方格纸确定数对位置的过程 知道扇形 认识面积单位 千米2 公顷 能在方格纸上补全一个图形的轴对称图形 32 四大领域的具体变化 图形与几何三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 3 一些目标的表述更加准确和完整将 能区分直线 线段和射线 改为 结合实例了解线段 射线和直线 将 能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置 改为 能辨认从不同方向 前面 侧面 上面 看到的物体的形状图 将 探索并掌握圆的周长公式 改为 通过操作 了解圆的周长与直径的比为定值 掌握圆的周长公式 将 用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴 能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形 改为 进一步认识轴对称图形的对称轴 能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形 将 通过观察实例 认识图形的平移与旋转 能在方格纸上将简单图形平移或旋转90 改为 通过观察实例 在方格纸上认识图形的平移与旋转 能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移 能在方格纸上将简单图形旋转90 将 欣赏生活中的图案 灵活运用平移 对称和旋转在方格纸上设计图案 改为 能从平移 旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案 运用它们在方格纸上设计简单的图案 将 能根据方向和距离确定物体的位置 改为 能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置 将 在具体情境中 能用数对来表示位置 并能在方格纸上用数对确定位置 改为 能在方格纸上用数对表示位置 知道数对 限于正整数 与方格纸上点的对应 在具体情境中 体验利用方格纸确定数对的位置的过程 33 四大领域的具体变化 四大领域的具体变化 统计与概率一 主要内容变化 原 统计与概率 主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象 通过对数据收集 整理 描述和分析以及对事件发生可能性的刻画 帮助人们作出合理的推断和预测 新 统计与概率 主要内容有 收集 整理和描述数据 包括简单抽样 整理调查数据 绘制统计图表等 处理数据 包括计算平均数 中位数 众数 极差 方差等 从数据中提取信息并进行简单的推断 简单随机事件及其发生的概率 34 统计与概率二 总体目标变化 知识技能 原 经历提出问题 收集和处理数据 作出决策和预测的过程 掌握统计与概率的基础知识和基本技能 并能解决简单的问题 新 经历在实际问题中收集和处理数据 利用数据分析问题 获取信息的过程 掌握统计与概率的基础知识和基本技能 数学思考 原 经历运用数据描述信息 作出推断的过程 发展统计观念 新 体会统计方法的意义 发展数据分析观念 感受随机现象 35 四大领域的具体变化 统计与概率三 具体内容变化 第一学段 1 3年级 1 删除的内容通过实例 认识统计表和象形统计图 条形统计图 1格代表1个单位 并完成相应的图表 通过丰富的实例 了解平均数的意义 会求简单数据的平均数 结果为整数 相关要求放在第二学段 知道可以从报刊 杂志 电视等媒体中获取数据信息 不确定现象的所有具体目标 相关要求放在第二学段 36 四大领域的具体变化 统计与概率三 具体内容变化 第一学段 1 3年级 2 一些表述更加准确和完整原 能按照给定的标准或选择某个标准 如数量 形状 颜色 对物体进行比较 排列和分类 在比较 排列 分类的活动中 体验活动结果在同一标准下的一致性 不同标准下的多样性 新 能根据给定的标准或者自己选定的标准 对事物或数据进行分类 感受分类与分类标准的关系 原 对数据的收集 整理 描述和分析过程有所体验 能根据简单的问题 使用适当的方法 如计数 测量 实验等 收集数据 并将数据记录在统计表中 新 经历简单的数据收集和整理过程 了解调查 测量等收集数据的简单方法 并能用自己的方式 文字 图画 表格等 呈现整理数据的结果 原 根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题 能和同伴交换自己的想法 新 通过对数据的简单分析 体会运用数据进行表达与交流的作用 感受数据蕴涵信息 37 四大领域的具体变化 统计与概率三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 1 删除的内容与中位数 众数有关的内容 相关要求放在第三学段 能设计统计活动 检验某些预测 初步体会数据可能产生的误导 可能性部分 能设计一个方案 符合指定的要求 38 四大领域的具体变化 统计与概率三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 2 增加的内容能选择适当的方法 如调查 试验 测量 收集数据 体会平均数的作用 能计算平均数 能用自己的语言解释其实际意义 39 四大领域的具体变化 统计与概率三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 3 一些目标的表述更加准确和完整具体目标仍分为两个版块 把原第二版块 可能性 名称改为 随机现象发生的可能性 将 体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性 会求一些简单事件发生的可能性 改为 在具体情境中 通过实例感受简单的随机现象 能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果 将 对事件发生的可能性作出预测 并阐述自己的理由 改为 通过试验 游戏等活动 感受随机现象结果发生的可能性是有大小的 能对一些简单的随机现象发生的可能性大小做出定性描述 并能进行交流 40 四大领域的具体变化 四大领域的具体变化 综合与实践一 主要内容变化 原 实践与综合应用 将帮助学生综合运用已有的知识和经验 经过自主探索和合作交流 解决与生活经验密切联系的 具有一定挑战性和综合性的问题 以发展他们解决问题的能力 加深对 数与代数 图形与几何 统计与概率 内容的理解 体会各部分内容之间的联系 新 综合与实践 是一类以问题为载体 以学生自主参与为主的学习活动 在学习活动中 学生将综合运用 数与代数 图形与几何 统计与概率 等知识和方法解决问题 综合与实践 的教学活动应当保证每学期至少一次 可以在课堂上完成 也可以课内外相结合 提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中 41 综合与实践二 总体目标变化 知识技能 增 参与综合实践活动 积累综合运用数学知识 技能和方法等解决简单问题的数学活动经验 数学思考 原 经历观察 实验 猜想 证明等数学活动过程 发展合情推理能力和初步的演绎推理能力 能有条理地 清晰地阐述自己的观点 新 在参与观察 实验 猜想 证明 综合实践等数学活动中 发展合情推理和演绎推理能力 清晰地表达自己的想法 问题解决 原 初步学会从数学的角度提出问题 理解问题 并能综合运用所学的知识和技能解决问题 发展应用意识 形成解决问题的一些基本策略 体验解决问题策略的多样性 发展实践能力与创新精神 新 初步学会从数学的角度发现问题和提出问题 综合运用数学知识解决简单的实际问题 增强应用意识和提高实践能力 获得分析问题和解决问题的一些基本方法 体验解决问题方法多样性 发展创新意识 42 四大领域的具体变化 综合与实践三 具体内容变化 第一学段 1 3年级 原 经历观察 操作 实验 调查 推理等实践活动 在合作与交流的过程中 获得良好的情感体验 获得一些初步的数学实践活动经验 能够运用所学的知识和方法解决简单问题 感受数学在日常生活中的作用 新 通过实践活动 感受数学在日常生活中的作用 体验运用所学的知识和方法解决简单问题的过程 获得一些初步的数学实践活动经验 在实践活动中 了解要解决的问题和解决问题的办法 经历实际操作的过程 进一步理解所学内容 43 四大领域的具体变化 综合与实践三 具体内容变化 第二学段 4 6年级 原 有综合运用数与代数 空间与图形 统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的成功体验 初步树立运用数学解决问题的自信心 获得综合运用所学知识解决简单实际问题的活动经验和方法 初步感受数学知识间的相互联系 体会数学的作用 新 经历有目的 有设计 有步骤 有合作的实践活动 结合实际情境 体验发现和提出问题 分析和解决问题的过程 在给定目标下 感受针对具体问题提出设计思路 制订简单的方案解决问题的过程 通过应用和反思 进一步理解所用的知识和方法 了解所学知识之间的联系 获得数学活动经验 44 四大领域的具体变化 45 三 思考与建议 46 一 加强学习 领会 数学课程标准 2011年版 的内容和精神 二 学习与实践相结合 用 数学课程标准 2011年版 的理念指导教学 三 更新观念 适当调整评价的方式和内容 课标解读 中 课程目标 部分的解读稿 47 48 二 关于数学的 基本思想 数学课程固然应该教会学生许多必要的结论 但绝不仅仅以教会这些定理 公式和计算程序 解题方法为目标 更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想 数学思想是数学科学发生 发展的根本 也是数学课程教学的精髓 但是 课标 在这里并没有展开阐述 数学的基本思想 这就给我们留下了讨论的空间 而且由于它过去并没有被充分地讨论过 所以可能仁者见仁 智者见智 不同的学者可能会有不完全一样的说法 我这里也谈谈自己不成熟的观点 与大家交流 49 数学思想的内涵和外延都很丰富 通俗地说 例如有从数学角度看问题的出发点 把客观事物简化和量化的思想 周到 严密 系统地思考问题 以及建立数学模型的思想 合理地运筹帷幄 等等 一个人进入社会后 如果不是在与数学相关的领域工作 他学过的数学定理和公式可能大多都用不到 而在学习数学知识的过程中获得的这些数学思想却一定会使他终生受益 虽然有些人对此是有意识的 有些人是无意识的 课标 在这里的措词为数学的 基本思想 而不是数学的 基本思想方法 我以为 这是明智的 恰当的 因为 思想方法 可能更多地让人联想到具体的 方法 如换元发 代入法 配方法 层次就降低了 且冲淡了 思想 这个关键词 并且 其实双基中已经含有数学的这些具体方法 50 数学的基本思想 主要可以有数学抽象的思想 数学推理的思想 数学模型的思想 数学审美的思想 人类通过数学抽象 从客观世界中得到数学的概念和法则 建立了数学学科及其众多的分支 通过数学推理 进一步得到大量结论 数学科学得以丰富和发展 通过数学模型 把数学应用到客观世界中 产生了巨大的社会效益 又反过来促进了数学科学的发展 通过数学审美 看到数学 透过现象看本质 和谐统一众多事物 中美的成份 感受到数学 以简驭繁 天衣无缝 给我们带来的愉悦 并且从 美 的角度发现和创造新的数学 51 当然 由上述数学的 基本思想 演变 派生 发展出来的数学思想还有很多 例如由 数学抽象的思想 派生出来的可以有 分类的思想 集合的思想 变中有不变 的思想 符号表示的思想 对应的思想 有限与无限的思想 等等 例如由 数学推理的思想 派生出来的可以有 归纳的思想 演绎的思想 公理化思想 数形结合的思想 转换化归的思想 联想类比的思想 逐步逼近的思想 运筹的思想 代换的思想 特殊与一般的思想 等等 例如由 数学建模的思想 派生出来的可以有 简化的思想 量化的思想 函数的思想 方程的思想 优化的思想 随机的思想 统计的思想 等等 例如由 数学审美的思想 派生出来的可以有 简洁的思想 对称的思想 统一的思想 和谐的思想 以简驭繁的思想 透过现象看本质 的思想 等等 52 举例说 分类的思想 和 集合的思想 可以是这样由 数学抽象的思想 派生出来的 人们对客观世界进行观察时 常常从研究需要的某个角度分析联想 排除那些次要的 非本质的因素 保留那些主要的 本质的因素 一种有效的做法就是对事物按照其某种本质进行分类 分类的结果就产生了 集合 把它们上升到思想的层面上 就形成了 分类的思想 和 集合的思想 53 在用数学思想解决具体问题时 对某一类问题反复推敲 会逐渐形成某一类程序化的操作 就构成了 数学方法 数学方法也是具有层次的 处于较高层次的 例如有 逻辑推理的方法 合情推理的方法 变量替换的方法 等价变形的方法 分情况讨论的方法 等等 低一些层次的数学方法 还有很多 例如有 分析法 综合法 穷举法 反证法 抽样法 构造法 待定系数法 数学归纳法 递推法 消元法 降幂法 换元法 坐标法 配方法 列表法 图像法 等等 54 数学方法不同于数学思想 数学思想 往往是观念的 全面的 普遍的 深刻的 一般的 内在的 概括的 而 数学方法 往往是操作的 局部的 特殊的 表象的 具体的 程序的 技巧的 数学思想常常通过数学方法去体现 数学方法又常常反映了某种数学思想 数学思想是数学教学的核心和精髓 教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想 让学生体会和领悟数学思想 提高学生的数学素养 55 三 关于数学的 基本活动经验 数学教学 本质上是师生共同进行数学活动的教学 所以学生获得相关的活动经验当然应该是数学课程的一个目标 特别是 其中有些精神 只能意会 难以言传 必须要学生自己在亲身经历的过程中获得经验 有些内容虽能言传 但是如果没有学生在数学活动中亲身体会 理解也难以深刻 但是 课标 并没有展开阐述 数学的基本活动经验 这也给我们留下了讨论的空间 我在这里也谈谈自己不成熟的观点 与大家交流 56 什么是数学活动经验 我以为 活动经验 与 活动 密不可分 所说的 活动 当然要有 动 手动 口动和脑动 它们既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动 也包括与数学课程相联系的学生实践活动 既包括生活 生产中实际进行的数学活动 也包括数学课程教学中特意设计的活动 活动 是一个过程 因此也体现出 不但学习结果是课程目标 而且学习过程也是课程目标 57 其次 活动经验 还与 经验 密不可分 当然就与 人 密不可分 学生本人要把在活动中的经历 体会总结上升为 经验 这既可以是活动当时的经验 也可以是延时反思的经验 既可以是学生自己摸索出的经验 也可以是受别人启发得出的经验 既可以是从一次活动中得到的经验 也可以是从多次活动中互相比较得到的经验 特别关键的是 这些 经验 必须转化和建构为属于学生本人的东西 才可以认为学生获得了 活动经验 应该注意的是 所说的 活动 都必须有明确的数学内涵和数学目的 体现数学的本质 才能称得上是 数学活动 它们是数学教学的有机组成部分 教师的课堂讲授 学生的课堂学习 是最主要的 数学活动 这种讲授和学习 应该是渐进式的 启发式的 探究式的 互动式的 此外 还有其他形式的 数学活动 例如学生的自主学习 调查研究 独立思考 合作交流 小组讨论 探讨分析 参观实践 以及作业练习和操作计算工具 等等 58 还应该强调的是 学生在进行 数学活动 的过程中 除了能够获得逻辑推理的经验 还能够获得合情推理的经验 例如 根据条件 预测结果 的经验和根据结果 探究成因 的经验 这两种经验对于培养创新人才也是非常重要的 数学活动的教育意义在于 学生主体通过亲身经历数学活动过程 能够获得具有个性特征的感性认识 情感体验 以及数学意识 数学能力和数学素养 59 让学生获得 数学活动经验 还能够培养学生在活动中从数学的角度思考问题 直观地 合情地获得一些结果 这些是数学创造的根本 是得到新结果的主要途径 数学活动经验并不仅仅是实践的经验 也不仅仅是解题的经验 更加重要的是思维的经验 是在数学活动中思考的经验 因为 创新依赖的是思考 是数学活动中创造性的思维 而思维方法是依靠长期活动经验积累获得的 思维品质是依靠有效的 多方面的数学活动改善的 并不是仅仅依靠接受教师的传授获得的 爱因斯坦说 独立思考是创新的基础 获得数学活动经验 最重要的是积累 发现问题 提出问题 的经验 以及 分析问题 解决问题 的经验 总之 是 从头 想问题 思考问题 做问题全过程的经验 60 学生形成智慧 不可能仅依靠掌握丰富的知识 一定还需要经历实践及在实践中取得经验 数学思想也不仅在探索推演中形成 还需要在数学活动经验积累的基础上形成 61 数学的基本活动经验可以按不同的标准分成若干类型 比如 有的学者把它分为如下四种 直接的活动经验 间接的活动经验 设计的活动经验和思考的活动经验 直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验 如购买物品 校园设计等 间接的活动经验是学生在教师创设的情景 构建的模型中所获得的数学经验 如鸡兔同笼 顺水行舟等 设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获得的经验 如随机摸球 地面拼图等 思考的活动经验是通过分析 归纳等思考获得的数学经验 如预测结果 探究成因等 3 学生只有积极参与数学课程的教学过程 经过独立思考 经过探索实践 经过合作交流 才有可能积累数学活动经验 62 课标 中还专门设计了 综合与实践 的课程内容 强调以问题为载体 让学生在综合运用知识 技能解决问题的实践中获得数学活动经验 在学生积累和获得数学的基本活动经验的过程中 就必然有情感态度与价值观的提升 这样 四基 就全面体现了 纲要 中 三维目标 的要求 63 四 四基 是一个有机的整体 四基 虽然是由四个部分构成的 但 四基 不应仅仅看作是四个事物简单的叠加或混合 而应是一个有机的整体 是互相联系 互相促进的 64 基础知识和基本技能是数学教学的主要载体 需要花费较多的课堂时间 数学思想则是数学教学的精髓 是统领课堂教学的主线 数学活动是不可或缺的教学形式与过程 四基 既然比原来增加了两条 教师在课堂教学的安排上就应该有意识地给数学思想的教学预留适当的时间 但是数学思想的教学不能空洞地进行 一定要以数学知识为载体进行 并且应该注意将数学知识与数学思想融为一体 因势利导 水到渠成 画龙点睛 教师在讲解数学思想时 应该避免 两层皮 避免生硬牵强 避免长篇大论 在课堂数学活动的时间安排上 大量的应该是教师启发式传授和学生在教师指导下独立思考 自主探究的时间 其他形式的数学活动也应安排适当的时间 此外 四基 既然比原来增加了两条 那么 在教学评价上也应该给数学思想和数学活动以适当的位置和空间 65 课标 在 四基 的表述前用了 获得适应社会生活和进一步发展所必需的 这样一个限制性定语 这样 一方面避免了在 四基 的名义下不适当地扩大教学内容 一方面也强调了学生获得数学 四基 的现实意义和长远意义 其现实意义是 学生适应社会生活所必需 其长远意义是 学生进一步发展所必需 如果数学课程能够使我们的学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识 基本技能 基本思想 基本活动经验 那么培养全面发展的创新性人才就具备了很好的条件 66 67 68 三 数学思想 的教学举例 小学 初中 学习数学思想提高数学素养十分重要 小学 中学和大学 学习内容不同 但这一点是共同的 69 小学的案例 课标 中若干案例 原序号 该案例体现什么数学思想该案例还体现 课标 的其他哪些方面 70 第一学段 例1用算盘上的算珠表示三位数 符号表示的思想 71 例6 学校组织987名学生去公园游玩 如果公园的门票每张8元 带8000元钱够不够 简化的思想 估算的方法第一学段学习估算的核心 是选择合适的单位 而不是 凑整计算 72 例8 估计每分钟脉搏跳动的次数 阅读的字数 跳绳的次数 走路的步数 优化的思想 设计的数学活动 解决问题的多种策略 73 例10在下面的图1中 描出横排和竖排上两个数相加等于10的格子 再分别描出相加等于6 9的格子 你能发现什么规律 数形结合的思想 和谐的思想 数学审美的思想 情感态度和价值观 74 图1 例17分别选择三个不同的标准把全班同学分为两类 记录调查结果 分类的思想 统计的思想从数据出发的观念 75 例18新年联欢会准备买水果 调查班级同学最喜欢吃的水果 设计购买方案 数据分析的思想 设计的数学活动 统计 无对错 但是要符合最初设定的原则 76 例19对全班同学的身高进行调查分析 数据分析的思想 情感态度和价值观养成保存资料的习惯 在数学活动中体会数学思维和数学精神 77 在三个学段 标准 都举了对全班同学的身高进行分析的例子 并且鼓励学生把每年测量身高的数据都保留下来 根据不同学段的特点对于数据进行整理 描述和分析 提取信息 从而经历数据分析的过程 具体阐述和要求如下 三个学段中对于数据分析过程的例子第一学段 课标 例19 对全班同学的身高进行调查分析 说明 学校一般每年都要测量学生的身高 这为学习统计提供了很好的数据资源 因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段 根据不同学段的学生特点 要求可以有所不同 希望学生把每年测量身高的数据都保留下来 养成保存资料的习惯 在第一学段 主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息 第二学段 课标 例38 对全班同学的身高的数据进行整理和分析 说明 在上面的例子中 已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析 在这个学段中 要求学生结合以前积累的身高数据 进行进一步的整理 然后进行分析 整理的目的是为了便于分析 例如 条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异 扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异 折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况 预测未来身高变化趋势 学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高 自己的身高在全班的什么位置 第三学段 课标 例70 比较自己班级与别的班级同学的身高状况 78 例20 扣子 图形分类 分类的思想 集合的思想 79 图6 说明 本活动适合于本学段的各个年级 可以在要求上有所区分 本活动的目的是希望学生能够清楚 分类是要依赖分类标准的 例如扣子的形状 扣子的颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准 而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的 本活动将有利于培养学生把握图形的特征 抽象出多个图形的共性的能力 另一方面 活动还要求学生运用文字 图画或表格等方法记录对扣子进行分类后的结果 这有利于培养学生整理数据的能力 80 教师在此活动的教学中可以作如下设计 1 教师提出问题 引导学生讨论分类标准 可以启发学生这样思考 先关注一个指标作为分类标准 如先关注颜色 在此基础上 再进一步关注两个指标作为分类标准 如进一步关注颜色和形状 最后再关注颜色 形状和扣眼数 这样可以避免出现混乱 2 根据已经讨论确定的分类标准对学生分组 引导学生实际操作 合作完成计数 各小组呈现统计结果 3 教师组织学生报告统计结果 引导学生作出评价 帮助学生整理思路 81 82 扣子分类问题的延伸 按不同的标准分类 结果不同 兼用两种标准分类 兼用两种标准分类 顺序不同 注意其结果 再兼用两种标准分类 顺序不同 注意其结果 猜测规律 交换率 验证规律 穷举法 规律能否推广 任何两个独立的指标 在 运算 时都满足交换率 试验推广的规律 按行和列两个独立的指标加方表中的数 找出不独立的两个指标的情况 平面的旋转和平移 灌水和烧水 例21生活中的轴对称图形 对称的思想 数学审美的思想 直接的活动经验 思考的活动经验 情感态度和价值观 83 例22上学时间 让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间 并从这些数据中发现有用的信息 数据分析的思想 随机的思想数据较多时的稳定性 培养学生认真做事的习惯 84 第二学段 例24某学校为学生编号 设定末尾用1表示男生 用2表示女生 例如 200903321表示 2009年入学的三班的32号同学 该同学是男生 那么 201004302表示什么 统计的思想 数据分析的观念数 具有表示的作用 可以表示数量 基数 也可以表示顺序 序数 还可以用来测量 计算和命名 数感 85 例26李阿姨去商店购物 带了100元 她买了两袋面 每袋30 4元 又买了一块牛肉 用了19 4元 她还想买一条鱼 大一些的每条25 2元 小一些的每条15 8元 请帮助李阿姨估算一下 她带的钱够不够买小鱼 能不能买大鱼 估算的方法 取合适的单位 适当放大和适当缩小 86 例28利用计算器计算15 15 25 25 95 95 并探索规律 变中有不变 的思想15 15 225 1 2 100 25 25 25 625 2 3 100 25 35 35 1225 3 4 100 25 87 例29彩带每米售价3 2元 购买2米 3米 10米彩带分别需要多少元 在方格纸上把与数对 长度 价钱 相对应的点描出 并且回答下列问题 1 所描的点是否在一条直线上 2 估计一下买1 5米的彩带大约要花多少元 3 小刚买的彩带长度是小红的3倍 他所花的钱是小红的几倍 数形结合的思想 数学审美的思想 88 数 和 形 是数学中最基本的两个概念 数学家华罗庚先生说 数无形时不直观 形无数时难入微 这就是数形结合思想 在分数的教学中 我们常用饼形图帮助学生理解分数的含义 而在有理数的教学中 我们需要借助数轴表示相反数 理解绝对值的意义 比较有理数大小 表示不等式组的共解集等 在平时的教学中 教师要对具体的数学知识进行深入的分析 挖掘这部分内容蕴涵的数学思想 进行反复渗透 提高学生的认识水平 89 例30联欢会上 小明按照3个红气球 2个黄气球 1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室 你知道第16个气球是什么颜色吗 变中有不变 的思想 符号表示的思想 90 AAABBCAAABBC 91 变中有不变 思想的其他例子 有理数的乘法法则 等差数列 定义的教学 从五个例子总结 三角形三内角之和 180度 规律的 层次 例31一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个 如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个 那么有几个椅子和几个凳子 数学推理的思想 归纳的思想 符号表示的思想 数学模型的思想探索规律的观念 由简至繁的方法 解决问题多种策略椅子数凳子数腿的总数1604 16 641514 15 3 1 631424 14 3 2 62 扩展 鸡兔同笼 92 数学模型的思想 事实上 这个问题可以用三种方法建立模型 在第二学段讨论过的方法是基于四则运算 还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决 启发学生从不同的角度思考同一个问题 有利于学生进行比较 加深对于模型的理解 例51题目与例31完全一样 但是有方程语言的阐述 可以让学生比较解决问题的不同策略 93 例32观察下图 图8 请指出从前面 右面 上面看到的相应图形 图9 空间观念 94 例34测量一个土豆的体积 转换的思想 化繁为简的方法等量替换的方法 95 例35图画还原 打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面 请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤 图11空间观念 符号表示的思想 96 例37小青坐在教室的第3行第4列 请用数对表示 并在方格纸上描出来 在同样的规则下 小明坐在教室的第1行第3列应当怎样表示 数形结合的思想 坐标法 渗透 97 例38对全班同学身高的数据进行整理和分析 统计的思想 数据分析的方法 98 例40袋中装有5个球 4个红球和1个白球 只告诉学生袋中球的颜色为红色和白色 不告诉他们红球数目与白球数目 让学生通过多次有放回的摸球 统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例 由此估计袋中红球和白球数目的情况 随机的思想 统计的思想 数据分析的方法 99 例42绘制学校平面图 按照确定的比例和方位 绘制校园的平面图 包括围墙 主要建筑 主要活动场所 道路等等 空间观念 综合与实践的活动 100 例44象征性长跑 为了迎接奥运会的召开 某小学决定组织 迎接圣火 跑向北京 的象征性长跑活动 学校向同学们征集活动方案 请你参与设计 其中要解决的问题有 1 调查你所在的学校到北京天安门的距离约有多少千米 2 如果一个人每天跑一个 马拉松 要几天能完成这项长跑 3 如果全班用接力方式开展这项活动 请你设计一个合理的活动方案 4 全班交流 展出同学们的不同方案 说明各个方案的特点 同学之间评价方案的优缺点 推荐本班的最佳活动方案 综合与实践的活动 生生互评 101 初中的案例 课标 中若干案例 原序号 该案例体现什么数学思想该案例还体现 课标 的其他哪些方面 102 例54小明的父母出去散步 从家走了20分钟到一个离家900米的报亭 母亲随即按原速返回 父亲在报亭看了10分钟报纸后 用15分钟返回家 下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系 哪一个图形是表示母亲的行走过程 103 数形结合的思想 例77看图说故事 如图27 设计两个不同问题情境 使情境中出现的一对变量 满足图示的函数关系 结合图象 讲出这对变量的变化过程的实际意义 104 数形结合的思想 说明 通过这个活动 激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例 以加深对函数理解 学生可以设计多种情境 比如 把这个图看成 小王跑步的s t图 可以说出下面的故事 小王以常速度400米 分 跑了5分钟 在原地休息了6分钟 然后以常速度500米 分 跑回出发地 再比如 有一个容积为2升的开口空瓶子 小王以常速度0 4升 秒 向这个瓶子注水 灌了5秒后停水 等待6秒 然后以常速度0 5升 秒 倒空瓶中水 老师可以鼓励学生 创设不同的符合函数关系和实际情况的情境 105 函数的思想 例55某书定价8元 如果一次购买10本以上 超过10本部分打8折 分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系 说明 这是一个分段函数 函数的三种表示法均适用于这个例子 一般来说 列表法适用于变量取值是离散的情况 分段函数应当画图 并且关注分段点处函数的变化情况 可以分组讨论三种方法 然后让学生分析比较 106 数学推理的思想 例62探索并了解 过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等 说明 通过探索和了解此结论的证明 帮助学生体验发现结论到验证结论的过程 教学中可以参考安排如下的过程 1 发现结论 在透明纸上画出如图19 1的图 设PA PB是 O的两条切线 A B是切点 让学生操作 沿直线OP将图形对折 启发学生思考 或者组织学生交流 学生可以发现 PA PB APO BPO 这是通过实例发现图形性质的过程 启发学生由特殊到一般 通过合情推理推测出切线长定理的结论 107 2 证明结论的正确性 如图19 2 连接OA和OB 因为PA和PB是 O的切线 则 PAO PBO 90 即 POA和 POB均为直角三角形 又因为OA OB和OP OP 则 POA与 POB全等 于是有PA PB APO BPO 这是通过演绎推理证明图形性质的过程 由此可见 合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式 都是研究图形性质的有效工具 上述证明过程没有采用形式化的三段论 但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑 108 例74直觉的误导 有一张8cm 8cm的正方形的纸片 面积是64cm2 把这张纸片按图25 1所示剪开 把剪出的4个小块按图25 2所示重新拼合 这样就得到了一个长为13cm 宽为5cm的长方形 面积是65cm2 这是可能的吗 109 说明 这是一个直觉与逻辑不符的例子 希望学生通过学习体会到 对于数学的结论 完全凭借直觉判断是不行的 还需要通过演绎推理来验证 一般来说 学生应当是不会相信图25 2中纸片的面积是65cm2 但又无法说明为什么观察的结果是错误的 进一步引导学生思考 如果观察是错误的 那么错误可能出在哪里呢 学生通过逻辑思考 可以推断只有一个可能 图25 2中纸片所示图形不是长方形 因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积 然后 可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角 发现确实不像是直角 可以告诉学生 这个想法是正确的 但最好能够给出证明 引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程 在实际教学中可以引导学生先看图 再让学生分组将图剪开 动手操作发现矛盾 64 65 然后 尝试找出理由并尝试证明 最后表达收获 110 111 数学推理的思想 综合与实践 例80 零指数 的教学设计 实施建议之第三学段 本案例希望体现课程目标在课堂教学中的整体落实 通过本节课的学习 学生不仅理解和掌握有关的知识技能 而且初步了解指数概念是如何扩充的 感受零指数 规定 的合理性 通过计算23 23提出问题 如果应用同底数幂的运算性质 可以得到23 23 23 3 20 那么20有什么意义呢 等于多少呢 我们需要做出解释 数学面临了挑战 我们先回顾简单的事实 23 23 8 8 1 于是可以