第8章 离散控制系统.ppt

第7章线性离散控制系统 内容提要 采样 离散 控制系统与连续控制系统的根本区别在于采样系统中既包含有连续信号 又包含有离散信号 是一个混和信号系统 分析和设计采样系统的数学工具是Z变换 采用的数学模型是差分方程 脉冲传递函数 本章介绍采样控制系统即线性离散控制系统理论与前几章讨论的连续控制系统的控制理论不同 离散系统与连续系统间的根本区别在于 连续系统中的控制信号 反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数 模拟信号 而在离散系统中则不然 在一般情况下 控制系统中至少有一处或几处信号在时间上为离散的脉冲或数字信号 7 1基本概念 炉温自动控制系统原理图 当炉温偏离给定值时 热敏电阻的阻值发生变化 使电桥失去平衡 检流计指针发生偏移 转角为S 同步电机带动凸轮使检流计指针上下周期性地运动 检流计指针每隔T秒与电信号接触一次 每次接触时间为 秒 此时电位器输出是一串宽度 周期为T的脉冲电压信号 用表示 信号仅仅在检流计指针与电位器接触时才能通过 它经过放大器 电动机 减速器控制炉门角度来改变气体的进气量 使炉温趋于给定值 当检流计离开电位器时 有误差信号 但执行电机不动作 相当于开关断开 炉温采样控制系统示意图 检流计的输出是连续偏差信号 而通过指针 电位器的输出为离散信号 即连续信号 经采样周期为T的采样开关变为一系列脉冲信号 数字控制系统结构图 数字控制系统 分析离散系统可以采用Z变换法 或状态空间法 Z变换法和线性定常离散系统的关系 恰似拉氏变换法和线性定常连续系统的关系 因此 Z变换法是分析单输入 单输出线性定常离散系统的有力工具 它是本章的重点内容 状态空间法特别适用于多输入 多输出线性离散系统的分析 离散控制系统的特点由数字计算机构成的数字校正装置 比连续式校正装置好 且控制规律易于通过软件编程改变 控制功能强 采样信号 特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声 从而显著提高了系统的抗干扰能力 同时信号传递和转换精度高 允许采用高灵敏度的控制元件 以提高系统的控制精度 可用一台计算机分时控制若干个系统 提高了设备的利用率 经济性好 容易实现一些复杂的控制算法和实现 最优控制 对于具有传输延迟 特别是大滞后的控制系统 可以引入采样的方式使之稳定 综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能指标 离散控制系统的研究方法研究连续线性系统所用的方法 例如拉氏变换 传递函数和频率特性等不再适用 通过z变换这个数学工具 可以把我们以前学习过的传递函数 频率特性 根轨迹法等概念应用于离散控制系统 z变换具有和连续系统中拉氏变换同等的作用 是研究线性离散系统的重要数学工具 与连续系统对比 只是运用了不同的数学工具 所研究的内容范围一样 7 2采样过程与采样定理 7 2 1采样过程 实现采样控制首先遇到的问题 就是如何把连续信号变换为脉冲序列 信号 的问题 按一定的时间间隔对连续信号进行采样 将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程 实现采样过程的装置叫采样器或采样开关 采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示 其间隔周期为T 每次闭合时间为 实际上 由于采样持续时间 通常远小于采样周期T 也远小于系统连续部分的时间常数 因此 在分析采样系统时 可近似认为 趋近于0 在这种条件下 当采样开关的输入信号为连续信号e t 时 其输出信号e t 是一个脉冲序列 采样瞬时e t 的幅值等于相应瞬时e t 的幅值 即e 0T e T e 2T e nT 如图所示 采样过程 采样过程可以看成是一个脉冲调制过程 理想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生器 它能够产生一系列单位脉冲 采样开关相当于一个单位脉冲发生器 采样信号的调制过程如图所示 采样信号的调制过程 调制器 载波 脉冲序列的拉普拉斯变换表达式 若用j 代替s 得脉冲序列的频域表达式 2 采样过程的数学描述 另外 还可得脉冲序列的另一种表示形式 单位脉冲序列是周期为T的周期函数 其采样频率 可展开成付里叶级数 脉冲序列的另一种拉普拉斯变换表达式 若用j 代替s 得的频域表达式 采样定理 shannon香农采样定理 给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率 所以在设计离散控制系统时是很重要的 7 2 2采样定理 从采样过程及信号频谱的变化 给出采样定理 上式表明 采样信号的拉氏变换式E s 是以 s为周期的周期函数 另外 上式表示了采样函数的拉氏变换式E s 与连续函数拉氏变换式E s 之间的关系 连续信号e t 经采样后的脉冲信号表达式 通常E s 的全部极点均位于S平面的左半平面 因此可用j 代替上式中的复变量s 直接求得采样信号的频率特性 上式即为采样信号的频谱函数 它反映了离散信号频谱和连续信号频谱之间的关系 一般说来 连续函数的频谱是孤立的 其带宽是有限的 即上限频率为有限值 连续函数的频谱 而离散函数e t 则具有以 s为周期的无限多个频谱 在离散函数的频谱中 n 0的部分E j T称为主频谱 它对应于连续信号的频谱 除了主频谱外 E j 还包含无限多个附加的高频频谱 1 若时 采样信号频谱的各频谱分量彼此不发生重叠 2 若时 采样信号频谱的各频谱分量彼此相互重叠 为了准确复现采样的连续信号 必须使采样后的离散信号的频谱彼此不重叠 这样就可以用一个比较理想的低通滤波器 滤掉全部附加的高频频谱分量 仅仅保留主频谱 由图可见 相邻两频谱互不重迭的条件是 如果满足条件 采样后的离散信号e t 经理想滤波器上 则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号 幅值相差l T倍 倘若 s 2 max 则会出现相邻频谱的重叠现象 这时 即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来 因而就难以准确复现原有的连续信号 对一个具有有限频谱为的连续信号采样 当采样频率的条件下 采样后的离散信号e t 才有可能无失真地恢复到原来的连续信号 它给出了无失真地恢复原有连续信号的条件 所以成为设计采样系统的一条重要依据 香农 Shannon 采样定理 实际中应注意两点 1 如果是以非周期连续函数的信号 即频谱中的最高频率是无限的 采用信号损失允许值来近似处理 2 采样定理给出了采样频率的最低限度 但采样频率也不能过大 实现有困难 同时干扰影响也增大 7 3采样信号保持器 实现采样控制遇到的另一个重要问题 是如何把采样信号恢复为原连续信号 根据采样定理 在满足 s 2 max的条件下 离散信号的频谱彼此互不重叠 这时 就可以用理想滤波器滤去高频频谱分量 保留主频谱 从而无失真地恢复原有的连续信号 理想滤波器频率特性 理想滤波器实际上是不能实现的 因此 必须寻找在特性上接近理想滤波器 而且在物理上又是可以实现的滤波器 在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器 保持器是一种时域的外推装置 即根据过去或现在的采样值进行外推 通常把具有恒值 线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶 一阶和二阶保持器 其中最简单 最常用的是零阶保持器 7 3 1零阶保持器 零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器 它把前一采样时刻nT的采样值e nT 恒定不变保持到下一采样时刻 n 1 T 其输入信号和输出信号的关系如图 零阶保持器的输出信号是阶梯信号 它与要恢复的连续信号是有区别的 包含有高次谐波 若将阶梯信号的各中点连接起来 可以得到比连续信号滞后T 2的曲线 这反映了零阶保持器的相位滞后特性 零阶保持器的传递函数 零阶保持器频率特性 零阶保持器具有如下特性 低通滤波特性 由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减 说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器 但与理想滤波器特性相比 在 s 2 其幅值只有初值的63 7 且截止频率不止一个 所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外 还允许部分高频分量通过 从而造成数字控制系统的输出中存在纹波 相角特性 由相频特性可见 零阶保持器要产生相角迟后 且随 的增大而加大 在 s 2时 相角迟后可达 180 从而使闭环系统的稳定性变差 时间迟后 零阶保持器的输出为阶梯信号eh t 其平均响应为e t T 2 表明输出比输入在时间上要迟后T 2 相当于给系统增加一个延迟时间为T 2的延迟环节 对系统的稳定性不利 7 4Z变换 线性连续系统用线性微分方程来描述 可以应用拉氏变换的方法来分析其动态及稳态过程 线性采样系统中包含离散信号 用差分方程来描述 同样可以应用一种Z变换的方法来进行分析 Z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形 7 4 1Z变换定义 设连续时间函数f t 的拉氏变换为F s 连续时间函数f t 经采样周期为T的采样开关后 变成离散信号f t 离散信号的拉氏变换为 上式中各项均含有e kTs因子 为便于计算定义一个新变量z esT 其中T为采样周期 z是复数平面上定义的一个复变量 通常称为z变换算子 得到以z为自变量的函数F z 是相互补充的两种变换形式 前者表示s平面上的函数关系 后者表示z平面上的函数关系 若所示级数收敛 则称F z 是f t 的z变换 记为Z f t F z 应该指出 式所表示的z变换只适用于离散函数 或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性 而不能反映其在采样时刻之间的特性 人们习惯上称F z 是f t 的z变换 指的是经过采样后f t 的z变换 采样函数f t 所对应的z变换F z 是唯一的 但是 一个离散函数f t 所对应的连续函数却不是唯一的 而是有无穷多个 7 4 2Z变换方法 求离散函数的z变换方法有很多 介绍其中三种 1 级数求和法 由离散函数 及其拉氏变换 根据z变换的定义有 已知函数在采样时刻kT k 0 1 2 3 4 的采样值便可求取离散函数z变换的级数展开式 对常用离散函数的z变换应写成级数的闭合形式 例1 试求函数f t 1 t 的z变换 解 f kT 1 kT 1 k 0 1 2 3 例2 试求函数f t e at的z变换 2 部分分式法设连续函数f t 的拉氏变换式为有理函数 可以展开成部分分式的形式 即 式中pi为F s 的极点 Ai为常系数 对应的时间函数为其Z变换为 可见 f t 的Z变换为 利用部分分式法求z变换时 先求出已知连续时间函数f t 的拉氏变换F s 然后将有理分式函数F s 展成部分分式之和的形式 最后求出 或查表 给出每一项相应的z变换 例3 求的Z变换 例4 求f t sin t的Z变换 解 的原函数为 其Z变换为 3 留数计算法 已知连续信号f t 的拉氏变换F s 及它的全部极点 可用下列的留数计算公式求F z 函数在极点处的留数计算方法 若Si为ri重极点 则 若Si为单极点 则 解 F s 的极点为单极点 例5已知系统传递函数为 应用留数计算法求F z 例6 求 t 0 的Z变换 解 F s 有两个s 0的极点 即 若对于任意常数a和b 则有 7 4 3Z变换的基本定理 1 线性定理 若连续函数x t 当t 0时 x t 0 且 2 实数位移定理又称平移定理 则有 及 定理表明 原函数在时域中延迟k个采样周期 相当于其z变换乘以 3 复域位移定理 若则有 定理的含义是 函数x t 乘以指数函数e at的Z变换 等于在x t 的Z变换表达式X z 中 以取代原算子z 例 试用复数位移定理计算函数te at的Z变换 解 令x t t 查附表知 根据复数位移定理 有 4 复数微分定理 若Z x t X z 则 5 初值定理 若Z x t X z 且当t 0时 x t 0则 6 终值定理 若Z x t X z 且 z 1 X z 的全部极点位于Z平面的单位圆内 则 例 设Z变换函数为试用终值定理确定稳态值 解 由终值定理得 7 卷积定理 若 称为两个采样信号的离散卷积 且 则有 7 4 4Z反变换 与拉氏反变换类似 z反变换可表示为 下面介绍三种常用的z反变换法 1 长除法 2 部分分式法 3 留数法 7 5离散系统的数学模型 线性离散系统的数学模型有差分方程 脉冲传递函数和离散系统的状态空间表达式三种 7 5 1线性定常离散系统差分方程 1 差分的定义一阶前向差分的定义为二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为 同理一阶后向差分为n阶后向差分为 一个方程中除含有函数本身外 还有函数的差分 此方程为差分方程 即 2 差分方程 对于输入为r t 输出为c t 的线性定常离散系统 其差分方程为 3 差分方程的解 1 迭代法 2 z变换法用z变换法解差分方程 类似拉斯变换解微分方程 z变换将差分方程变为z变量的代数方程 通过z反变换 就可求出差分方程的解 例 系统的差分方程为c k 2 3c k 1 2c k 0初始条件c 0 0 c 1 1 试求c k 解 迭代法 由差分方程得c k 2 3c k 1 2c k 当k 0时 c 2 3c 1 2c 0 3k 1时 c 3 3c 2 2c 1 7k 2时 c 4 3c 3 2c 2 15 Z变换法 方程两边取z变换得 代入初始条件并整理得 Z反变换得 k 0时 c 0 0k 1时 c 1 1k 2时 c 2 3k 3时 c 3 7k 4时 c 4 15 7 5 3脉冲传递函数 z传递函数 在线性连续系统中 我们把初始条件为零下系统 或环节 输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变拉之比 定义为系统或环节的传递函数 并用它来描述系统 或环节 的特性 与此相类似 在线性离散系统中 把初始条件为零下系统 或环节 的输出离散信号的Z变换与输入离散信号的z变换之比 定义为系统或环节的脉冲传递函数G z 又称为z传递函数 脉冲传递函数是离散系统的一个重要概念 是分析离散系统的有力的数学工具 1 脉冲传递函数的定义 在零初始条件下 线性定常离散系统的离散输出信号z变换C z 与离散输入信号z变换R z 之比 称为该系统的脉冲传递函数G z 或z传递函数 应该指出 多数实际采样系统的输出信号是连续信号 如图所示 在这种情况下 可以在输出端虚设一个采样开关 并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作 这样就可以沿用脉冲传递函数的概念 在连续系统中 传递函数是系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换 同样 对离散系统脉冲传递函数是系统单位脉冲响应的z变换 2 脉冲传递函数的求法 1 根据脉冲传递函数的定义 若已知系统连续部分的传递函数G s 或系统脉冲响应g t 则系统的脉冲传递函数G z 为 2 若已知系统的差分方程 在零初始条件下 差分方程式两边求z变换 输出的z变换和输入的z变换之比即为系统脉冲传递函数 即 例12 若采样系统的差分方程为 试求其脉冲传递函数 解 对差分方程两边进行z变换 并令初始条件为零 有 例13系统如图 其中连续部分的传递函数为 试求系统的开环脉冲传递函数 解 由z变换公式得 3 采样系统的开环脉冲传递函数 对于离散系统 由于采样开关的数目和位置不同 即使系统的组成环节完全相同 求出的开环脉冲传递函数也会截然不同 1 采样函数的拉氏变换具有周期性 2 采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘后再离散化 则可以从离散符号中提出来 即 1 串联环节之间无采样开关 串联环节之间无采样开关时 等效开环脉冲传递函数等于各环节传递函数之积的z变换 2 串联环节之间有采样开关 串联环节之间有采样开关时 等效开环脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数之积 3 带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数 设有零阶保持器的开环系统如图 a 所示 经简单变换为如图 b 所示等效开环系统 有零阶保持器时 开环系统脉冲传递函数 例14设离散系统为具有零阶保持器的开环系统 解 求系统的脉冲传递函数G z 4 采样系统的闭环脉冲传递函数 在采样系统中 由于设置采样器方式是多种多样的 所以闭环系统的结构形式也不是统一的 下图是比较常见的闭环系统结构图 图中输出端的采样开关是为了方便于分析而虚设的 另一虚线开关是等效的 典型离散闭环系统结构图 由图中信号关系得 闭环脉冲传递函数 闭环误差脉冲传递函数 与连续系统类似 令或的分母多项式为零 便可得到离散系统的特征方程 需要指出 离散闭环系统脉冲传递函数不能从和直接求Z变换得来 即 通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数 但只要误差信号e t 处没有采样开关 则输入采样信号r t 就不存在 此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲传递函数 而只能求出输出采样信号的Z变换函数C z 例14设闭环离散系统结构如图所示 试证其闭环脉冲传函为 离散系统结构 证明 例15设闭环离散系统结构如图 试求其输出采样信号的z变换函数 闭环系统结构图 解 由图可得 离散化有 取Z变换有 7 6采样控制系统的稳定性分析 7 6 1采样系统的稳定条件 在线性连续系统中 判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置 若系统特征方程的所有根均在s平面左半平面 则系统稳定 对线性离散系统进行了Z变换以后 对系统的分析要采用Z平面 因此需要弄清这两个复平面的相互关系 1 s域到z域的映射 复变量s和z的相互关系为z esT 式中T为采样周期 s域中的任意点可表示为 映射到z域则为 于是 s域到z域的基本映射关系式为 设复变量s在S平面上沿虚轴移动 这时s j 对应的复变量 后者是Z平面上的一个向量 其模等于1 与频率 无关 其相角为 T 随频率 而改变 可见 S平面上的虚轴映射到Z平面上 为以原点为圆心的单位圆 当s位于S平面虚轴的左边时 为负数 小于1 反之 当s位于s平面虚轴的右半平面时 为正数 大于1 s平面的左 右半平面在z平面上的映像为单位圆的内 外部区域 Z平面和S平面的对应关系 S 线性采样系统结构图 2 线性采样系统稳定的充分必要条件 线性采样系统的特征方程为 闭环系统特征方程的根 1 2 n 即闭环脉冲传递函数的极点 在z域中 离散系统稳定充分必要条件是 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内 或者所有特征根的模均小于1 相应的线性定常离散系统是稳定的 7 6 2离散系统劳斯稳定判据 对于线性连续系统 可以应用劳斯判据分析系统的稳定性 但是 对于线性采样系统 直接应用劳斯判据是不行的 因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部 对于离散系统 必须采用一种新的变换 使z平面上的单位圆 在新的坐标系中的映象为虚轴 这种新的坐标变换 称为双线性变换 也称为W变换 复变函数z与w双线性变换公式 令 或 式中z和w均为复变量 分别把它们表示成实部和虚部相加的形式 即 对应关系 1 对于w平面上的虚轴 即u 0 则对应z平面以原点为圆心的单位圆上 2 z平面上单位圆内 对应于w平面u为负 即虚轴的左半平面 3 Z平面上单位圆外 对应于w平面u为正 即虚轴的右半平面 Z平面和W平面的对应关系 对于线性采样系统经过双线性变换后 可以使用劳斯判据了 例16设闭环离散系统如图所示 其中采样周期T 0 1s 试求系统稳定时K的变化范围 解 求系统的开环脉冲传递函数 代入上式 得 系统特征方程为 闭环系统脉冲传递函数为 化简后 得W域特征方程 列劳斯表 从劳斯表第一列系数可以看出 为保证系统稳定 必须使K 0 2 736 0 632K 0 即0 K 4 33 7 7采样系统的稳态误差 线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广到采样系统中来 设单位反馈采样系统如图所示 系统的开环脉冲传递函数为G z 由图可得给定信号r t 作用下误差的z域表达式 利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 上式表明 离散系统的稳态误差与G z 及输入信号的形式有关 与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念 由于的关系 线性连续系统开环传递函数G s 在s 0处极点的个数v作为划分系统型别的标准 可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G z 在z 1处极点的数目v作为离散系统的型别 称v 0 1 2 的系统为0型 I型 II型离散系统 典型输入作用下的稳态误差 1 单位阶跃输入时的稳态误差 式中称为静态位置误差系数 对0型离散系统 没有z 1的极点 则Kp 从而ess 0 对I型 II型以上的离散系统 有一个或一个以上z 1的极点 则Kp 从而ess 0 因此 在单位阶跃函数作用下 0型离散系统在采样瞬时存在位置误差 I型或II型以上的离散系统 在采样瞬时没有位置误差 这与连续系统十分相似 2 单位斜坡输入时的稳态误差 式中称为静态速度误差系数 对于0型系统的kv 0 I型系统的为有限值kv 常数 II型和II型以上系统的kv 有如下结论 0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用 I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差 II型和II型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差 3 单位加速度输入时的稳态误差 式中称为静态加速度误差系数 由于0型及I型系统的ka 0 II型系统的为常值 III型及III型以上系统ka 因此有如下结论成立 0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用 II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差 只有III型及III型以上的离散系统在单位加速度函数作用下 才不存在采样瞬时的稳态位置误差 在三种典型输入信号作用下 离散系统的静态误差系数的计算与连续系统非常相似 但离散系统的稳态误差除了与系统的结构和参数有关外 还与系统的采样周期T有关 7 8采样系统的暂态响应与脉冲传递函数零 极点分布的关系 一 闭环零 极点分布与瞬态响